للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

أولاً: المعادلات التي تنفصل متغيراتها:

في هذا النوع من المعادلات نستطيع أن نعزل كل الحدود التي تحتوي على $(x)$ مع $(d x)$ في طرف والحدود التي تحتوي على $(y)$ مع $(d y)$ في الطرف الآخر فنحصل على $g (y) d y = f (x) d x$ dx ثم تكامل الطرفين فنحصل على:

$\int g (y) d y = \int f (x) d x + c$ حيث يمثل $(c)$ ثابت التكامل.

(1)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 x + 5 \Rightarrow d y = (2 x + 5) d x \\ \int d y = \int (2 x + 5) d x \Rightarrow y = x^{2} + 5 x + c \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y} \Rightarrow y d y = (x - 1) d x \\ \int y d y = \int (x - 1) d x \Rightarrow \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} - x + c \overset{(\times 2)}{⟹} y^{2} = x^{2} - 2 x + 2 c \\ y = \pm \sqrt{x^{2} - 2 x + 2 c} \Rightarrow y = \pm \sqrt{x^{2} - 2 x + c_{1}} (c_{1} = 2 c (حيث)) \end{aligned}$

(3)- حل المعادلة $d y = \sin x \cos^{2} y d x$ حيث $y \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}, (\cos y \neq 0)$

نجعل المعادلة $g (y) d y = f (x) d x$

$\begin{aligned} d y = \sin x \cos^{2} y d x \overset{(\div \cos^{2} y)}{⟹} \frac{d y}{\cos^{2} y} = \sin x d x \\ \sec^{2} y d y = \sin x d x \\ \int \sec^{2} y d y = \int \sin x d x \Rightarrow \tan y = - \cos x + c \end{aligned}$

(4)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = e^{2 x + y}$ عندما $x = 0, y = 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = e^{2 x + y} \Rightarrow d y = e^{2 x} e^{y} d x \overset{(\div e^{y})}{⟹} \frac{d y}{e^{y}} = e^{2 x} d x \Rightarrow e^{- y} d y = e^{2 x} d x \\ \int e^{- y} d y = \int e^{2 x} d x \Rightarrow - \int e^{- y} (- 1) d y = \frac{1}{2} \int e^{2 x} (2) d x \\ - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{2 x} + c x = 0, y = 0 (بالتعويض) \end{aligned} \begin{aligned} - e^{0} = \frac{1}{2} e^{2 (0)} + c \Rightarrow - 1 = \frac{1}{2} + c \Rightarrow c = - \frac{3}{2} \\ - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} \Rightarrow - e^{- y} = \frac{1}{2} (e^{2 x} - 3) \\ \frac{- 1}{e^{y}} = \frac{e^{2 x} - 3}{2} \Rightarrow e^{y} (e^{2 x} - 3) = - 2 \Rightarrow e^{y} = \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} (الطرفين \ln نأخذ) \\ \ln e^{y} = \ln | \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} | \Rightarrow y = \ln | \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} | \end{aligned}$

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = \sin^{2} x \sin^{2} y$

$\begin{aligned} \frac{d y}{\sin^{2} y} = \sin^{2} x d x \Rightarrow \csc^{2} y d y = \sin^{2} x d x (للطرفين تكامل نأخذ) \\ \int \csc^{2} y d y = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2 x) d x \sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x) \\ - \cot y = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) + c \overset{x - 1}{⟹} \cot y = - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) - c \\ \cot y = - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) + c_{1} (c_{1} = - c (حيث)) \end{aligned}$

(6)- جد حلاً للمعادلة $\frac{d y}{d x} = 5^{2 x + y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 5^{2 x} \cdot 5^{y} \Rightarrow \frac{d y}{5^{y}} = 5^{2 x} d x \Rightarrow 5^{- y} d y = 5^{2 x} d x (للطرفين تكامل ناخذ) \\ \int 5^{- y} d y = \int 5^{2 x} d x \Rightarrow - \frac{1}{\ln 5} \int 5^{- y} (- \ln 5) d y = \frac{1}{2 \ln 5} \int 5^{2 x} (2 \ln 5) d x \\ [\frac{- 1}{\ln 5} \cdot 5^{- y} = \frac{1}{2 \ln 5} 5^{2 x} + c] (بـ بالضرب) \\ - 5^{- y} = \frac{1}{2} 5^{2 x} + cln 5 \overset{x - 1}{⟹} 5^{- y} = - \frac{1}{2} 5^{2 x} - cln 5 \Rightarrow 5^{- y} = - \frac{1}{2} 5^{2 x} + c_{1} (c_{1} = - c \ln 5 (حيث)) \end{aligned}$

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{'} - x \sqrt{y} = 0$ عندما $y = 9, x = 2$

$\begin{aligned} y^{'} - x \sqrt{y} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} - x y^{\frac{1}{2}} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{2}} \Rightarrow d y = x (y)^{\frac{1}{2}} d x \overset{(\div y^{\frac{1}{2}})}{=} \frac{d y}{y^{\frac{1}{2}}} = x d x \\ y^{- \frac{1}{2}} d y = x d x \Rightarrow \int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x d x \Rightarrow \frac{y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + c \Rightarrow 2 \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{2} + c \end{aligned}$

نعوض $y = 9, x = 2$ فينتج:

$\begin{aligned} 2 \sqrt{9} = \frac{(2)^{2}}{2} + c \Rightarrow 6 = 2 + c \Rightarrow c = 4 \\ 2 \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{2} + 4 \overset{\div 2}{\Rightarrow} \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \overset{(بالتربيع)}{⟹} y = {(\frac{1}{4} x^{2} + 2)}^{2} \end{aligned}$

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $(x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y$

$\begin{aligned} (x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y \Rightarrow (x + 1) d y = 2 y d x \Rightarrow \frac{d y}{2 y} = \frac{d x}{x + 1} \Rightarrow \frac{d y}{y} = 2 \frac{d x}{x + 1} \\ \int \frac{d y}{y} = 2 \int \frac{d x}{x + 1} \Rightarrow \ln | y | = 2 \ln | x + 1 | + c \Rightarrow \ln | y | = \ln (x + 1)^{2} + c \\ \ln | y | - \ln (x + 1)^{2} = c \Rightarrow \ln \frac{| y |}{(x + 1)^{2}} = c \overset{(للطرفين e نأخذ)}{=} \frac{| y |}{(x + 1)^{2}} = e^{c} \\ | y | = e^{c} (x + 1)^{2} \Rightarrow y = \pm c_{1} (x + 1)^{2} (c_{1} = e^{c} (حيث)) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى