اختبار الفصل

(1)- جد مجموعة حل للمعادلتين بيانياً:

$\{\begin{array}{l}y=1+x\\ y=2-x\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y=1+x\\ & y=2-x\end{array}$

نرسم المعادلتين في المستوي $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ ونقطة التقاطع هي $S=\left\{(\frac{1}{2},\frac{3}{2})\right\}$

$\{\begin{array}{l}y+x=0\\ y-x=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y+x=0\Rightarrow y=-x\\ & y-x=0\Rightarrow y=x\end{array}$

نرسم المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين في المستوي ونقطة تقاطعهما هي (0,0)

$\mathrm{S}=\left\{\right(0,0\left)\right\}$

$\{\begin{array}{l}y-x-5=0\\ y+x-1=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y-x-5=0\Rightarrow y=x+5\\ & y+x-1=0\Rightarrow y=1-x\end{array}$

نقطة تقاطع المستقيمين هي $(-2,3)$

$S=\left\{\right(-2,3\left)\right\}$

(2)- جد مجموعة الحل للمعادلتين باستعمال التعويض أو الحذف لكل مما يأتي:

$\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x-y=8\end{array}$

$\begin{array}{c}2x+y=1...\left(1\right)\\ x-y=8...\left(2\right)\\ y=x-8...\left(3\right)\end{array}$

من المعادلة (2) نعوض عن قيمة y بالمعادلة (1)

$2x+x-8=1\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$

نعوض عن قيمة x بالمعادلة (3) لإيجاد قيمة y

$y=3-8\Rightarrow y=-5$

مجموعة الحل $\mathrm{S}=\left\{\right(3,-5\left)\right\}$

$\{\begin{array}{l}4x-2y=-4\\ x+y=6\end{array}$

$\begin{array}{c}4x-2y=-4...\left(1\right)\\ x+y=6...\left(2\right)\\ x=6-y...\left(3\right)\end{array}$

من المعادلة (2) نعوض عن قيمة x بالمعادلة (1)

$\begin{array}{rl}4(6-y)-2y=-4& \Rightarrow 24-4y-2y=-4\\ & \Rightarrow -6y=-28\Rightarrow y=\frac{-28}{-6}\Rightarrow y=\frac{14}{3}\end{array}$

نعوض عن قيمة y بالمعادلة (3) لإيجاد قيمة x

$x=6-\frac{14}{3}\Rightarrow x=\frac{4}{3}$

مجموعة الحل $\mathrm{S}=\left\{(\frac{4}{3},\frac{14}{3})\right\}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\\ x+y=2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1...\left(1\right)\\ & x+y=2...\left(3\right)\\ & x=2-y...\left(3\right)\end{array}$

من المعادلة (2) نعوض عن قيمة x بالمعادلة (1) ونضرب طرفي المعادلة في 6

$\begin{array}{rl}\frac{2-y}{3}+\frac{y}{2}=1& \Rightarrow 2(2-y)+3y=6\\ & \Rightarrow 4-2y+3y=6\Rightarrow y=2\end{array}$

نعوض عن قيمة y بالمعادلة (2) لإيجاد قيمة x

$x+2=2\Rightarrow x=0$

مجموعة الحل $\mathrm{S}=\left\{\right(0,2\left)\right\}$

(3)- حل المعادلات التالية باستعمال العامل المشترك الأكبر والفرق بين مربعين:

$9x^2-25=0$

$\begin{array}{rl}9x^2-25=0& \Rightarrow (3x-5)(3x+5)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}3x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{3}\\ \text{or }3x+5=0\Rightarrow x=-\frac{5}{3}\Rightarrow S=\{\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\}\end{array}\end{array}$

$3y^2-12=0$

$\begin{array}{rl}3{\mathrm{y}}^2-12=0& \Rightarrow 3({\mathrm{y}}^2-4)=0\Rightarrow {\mathrm{y}}^2-4=0\Rightarrow (\mathrm{y}-2)(\mathrm{y}+2)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}\mathrm{y}-2=0\Rightarrow \mathrm{y}=2\\ \text{or }\mathrm{y}+2=0\Rightarrow \mathrm{y}=-2\Rightarrow \mathrm{S}=\{2,-2\}\end{array}\end{array}$

$(7-z{)}^2-1=0$

$\begin{array}{rl}(7-z{)}^2-1=0& \Rightarrow \left[\right(7-z)-1]\left[\right(7-z)+1]=0\\ & ⟹\{\begin{array}{c}7-z-1=0\Rightarrow z=6\\ \text{or }7-z+1=0\Rightarrow z=8\Rightarrow S=\{6,8\}\end{array}\end{array}$

(4)- حل المعادلات التالية باستعمال قاعدة الجذر التربيعي:

$x^2=49$

$x^2=49\Rightarrow x=\pm 7\Rightarrow S=\{7,-7\}$

$81-y^2=0$

$81-y^2=0\Rightarrow y^2=81\Rightarrow y=\pm 9\Rightarrow S=\{9,-9\}$

${\mathrm{z}}^2=\frac{36}{9}$

$z^2=\frac{36}{9}\Rightarrow z=\pm \frac{6}{3}\Rightarrow z=\pm 2\Rightarrow S=\{2,-2\}$

(5)- حل المعادلات التالية بالتحليل بالتجربة:

$x^2+9x+18=0$

$\begin{array}{rl}{x}^2+9x+18=0& \Rightarrow (x+3)(x+6)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}x+3=0\Rightarrow x=-3\\ or x+6=0\Rightarrow x=-6\Rightarrow S=\{-3,-6\}\end{array}\end{array}$

$z^2-2z-48=0$

$\begin{array}{rl}{z}^2-2z-48=0& \Rightarrow (z-8)(z+6)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}z-8=0\Rightarrow z=8\\ or z+6=0\Rightarrow z=-6\Rightarrow S=\{8,-6\}\end{array}\end{array}$

$3x^2-x-10=0$

$\begin{array}{rl}& 3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-10=0\Rightarrow (3\mathrm{x}+5)(\mathrm{x}-2)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}3x+5=0\Rightarrow x=\frac{-5}{3}\\ or x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow S=\{\frac{-5}{3},2\}\end{array}\end{array}$

$7z^2-18z-9=0$

$\begin{array}{rl}7z^2-18z-9=0& \Rightarrow (7z+3)(z-3)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}7z+3=0\Rightarrow z=-\frac{3}{7}\\ \text{or }z-3=0\Rightarrow z=3\Rightarrow S=\{-\frac{3}{7},3\}\end{array}\end{array}$

(6)- ما العدد الذي مربعه ينقص عن أربعة أمثاله بمقدار 3؟

نفرض أن العدد هو x

المعادلة التي تمثل المسألة

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 4x-x^2=3\\ & \Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}x-3=0\Rightarrow x=3\\ \text{or }x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow S=\{3,1\}\end{array} \end{gathered}$$

العدد إما 3 أو 1

(7)- حوض سباحة يزيد طوله على مثلي عرضه بمقدار 4 m ومساحته 48 m²، ما أبعاد المسبح؟

نفرض أن عرض الحوض هو x لذا طول الحوض هو 2x+4

المعادلة التي تمثل المسألة هي

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x(2x+4)=48\\ & \Rightarrow 2x^2+4x-48=0\Rightarrow x^2+2x-24=0\end{array} \\ \Rightarrow (x-4)(x+6)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-4=0\Rightarrow x=4\\ \text{or }x+6=0\Rightarrow x=-6 \mathrm{يهمل}\end{array} \end{gathered}$$

لذا عرض الحوض هو 4 m وطوله 12 m.

(8)- حل المعادلات التالية بالمربع الكامل:

$x^2-16x+64=0$

$x^2-16x+64=0\Rightarrow (x-8{)}^2=0\Rightarrow x-8=0\Rightarrow x=8$

$\frac{1}{9}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{4}{z}^2=0$

$\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{3}z+\frac{1}{4}{z}^2=0\Rightarrow {(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}z)}^2=0\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}z=0\Rightarrow \frac{1}{2}z=\frac{1}{3}\Rightarrow z=\frac{2}{3}$

(9)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

$x^2-14x=32$

بإضافة ${\left(\frac{14}{2}\right)}^2=49$ إلى الطرفين

$\begin{array}{rl}{x}^2-14x-32& \Rightarrow x^2-14x+49=32+49\\ & \Rightarrow (x-7{)}^2=81\Rightarrow x-7=\pm 9\\ & \begin{array}{rl}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}x-7=9\Rightarrow x=16\\ \text{or }x-7=-9\Rightarrow x=-2\end{array}\\ & \Rightarrow S=\{16,-2\}\end{array}\end{array}$

$4y^2+20y-11=0$

بقسمة الحدود على 4 وبإضافة ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$ إلى الطرفين

$\begin{array}{rl}& 4y^2+20y-11=0\Rightarrow 4y^2+20y=11\\ & \Rightarrow y^2+5y=\frac{11}{4}\Rightarrow y^2+5y+\frac{25}{4}=\frac{11}{4}+\frac{25}{4}\\ & \Rightarrow {(y+\frac{5}{2})}^2=\frac{36}{4}\Rightarrow y+\frac{5}{2}=\pm \frac{6}{2}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}y+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}\Rightarrow y=\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\\ or y+\frac{5}{2}=-\frac{6}{2}\Rightarrow y=-\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}\end{array}\\ & \Rightarrow S=\{\frac{1}{2},-\frac{11}{2}\}\end{array}$

$z^2-\frac{2}{3}z=1$

بإضافة ${\left(\frac{2}{6}\right)}^2=\frac{4}{36}$ إلى الطرفين

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{z}}^2-\frac{2}{3}\mathrm{z}=1\Rightarrow {\mathrm{z}}^2-\frac{2}{3}\mathrm{z}+\frac{4}{36}=1+\frac{4}{36}\Rightarrow {(\mathrm{z}\cdot \frac{2}{6})}^2-\frac{40}{36}\Rightarrow z\cdot \frac{2}{6}=\pm \frac{2\sqrt{10}}{6}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}z-\frac{2}{6}=\frac{2\sqrt{10}}{6}\Rightarrow z=\frac{2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\\ \text{or }z-\frac{2}{6}=\frac{-2\sqrt{10}}{6}\Rightarrow z=\frac{2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\end{array}\\ & \Rightarrow \mathrm{S}=\{\frac{1+\sqrt{10}}{3},\frac{1-\sqrt{10}}{3}\}\end{array}$

(10)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

$x^2-3x-7=0$

$\begin{array}{rl}& x^2-3x-7=0,a=1,b=-3,c=-7\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9-4\left(1\right)(-7)}}{2\left(1\right)}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9+28}}{2}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{37}}{2}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\\ \text{or }x=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\end{array}\\ & \Rightarrow \mathrm{S}=\{\frac{3+\sqrt{37}}{2},\frac{3-\sqrt{37}}{2}\}\end{array}$

$3y^2-12y=-3$

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}3y^2-12y=-3\Rightarrow 3y^2-12y+3=0\Rightarrow y^2-4y+1=0\\ a=1,b=-4,c=1\end{array} \\ y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{4\pm \sqrt{16-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2}\Rightarrow y=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}\Rightarrow y=2\pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=2+\sqrt{3}\\ \text{or }y=2-\sqrt{3}\\ \Rightarrow S=\{2+\sqrt{3},2-\sqrt{3}\}\end{array} \end{gathered}$$

$5z^2+6z=9$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 5z^2+6z=9\Rightarrow 5z^2+6z-9=0,,a=5,b=6,c=-9\\ & z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow z=\frac{-6\pm \sqrt{36-4\left(5\right)(-9)}}{2\left(5\right)}\Rightarrow z=\frac{-6\pm \sqrt{36+180}}{10}\Rightarrow z=\frac{-6\pm \sqrt{216}}{10}\end{array} \\ \Rightarrow \mathrm{z}=\frac{-6\pm 6\sqrt{6}}{10}\Rightarrow \mathrm{z}=\frac{-3\pm 3\sqrt{6}}{5} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}z=\frac{-3+3\sqrt{6}}{5}\\ or z=\frac{-3-3\sqrt{6}}{5}\Rightarrow S=\{\frac{-3+3\sqrt{6}}{5},\frac{-3-3\sqrt{6}}{5}\}\end{array} \end{gathered}$$

(11)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

$2x^2+8x+8=0$

$$\begin{gathered} 2x^2+8x+8=0\Rightarrow x^2+4x+4=0,a=1,b=4,c=4 \\ \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=16-4\left(1\right)\left(4\right)=0 \end{gathered}$$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$x=\frac{-b}{2a}\Rightarrow x=\frac{-4}{2}=-2$

$y^2-6y-9=0$

$\begin{array}{rl}& y^2-6y-9=0,a=1,b=-6,c=-9\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=36-4\left(1\right)(-9)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=36+36=72\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان غير نسبيين.

$\begin{array}{rl}y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \Rightarrow y=\frac{6\pm \sqrt{36-4\left(1\right)\left(9\right)}}{2}\Rightarrow y=\frac{6\pm \sqrt{72}}{2}\Rightarrow y=\frac{6\pm 6\sqrt{2}}{2}\\ & \Rightarrow y=3\pm 3\sqrt{2}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=3+3\sqrt{2}\\ \text{or }y=3-3\sqrt{2}\end{array}\\ & \Rightarrow S=\{3+3\sqrt{2},3-3\sqrt{2}\}\end{array}$

$4z^2-3z+7=0$

$\begin{array}{rl}& 4z^2-3z+7=0,a=4,b=-3\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=9-4\left(4\right)\left(7\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=9-112=-113\end{array}$

لا يوجد للمعادلة حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

(12)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^2-(k+6)x+9=0$ متساويين؟ جد مجموعة الحل:

جذرا المعادلة يكونان متساويين عندما $∆=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2-(k+6)x+9=0,a=1,b=-(k+6),c=9\\ & \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow (k+6{)}^2-4(1\left)\right(9)=0\Rightarrow k^2+12k+36-36=0\Rightarrow k^2+12k=0\end{array} \\ \Rightarrow k(k+12)=0 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}k=0\\ or k+12=0\Rightarrow k=-12\end{array} \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3 \left(k=0\right) \\ {x}^2+6x+9=0\Rightarrow (x+3{)}^2=0\Rightarrow x=-5 \left(k=-12\right) \end{gathered}$$

(13)- جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادلات التالية وتحقق من صحة الحل:

$\frac{6x}{5}=\frac{5}{6x}$

$\begin{array}{rl}\frac{6x}{5}=\frac{5}{6x}& \Rightarrow 36x^2=25\\ & \Rightarrow x^2=\frac{25}{36}\Rightarrow x=\pm \frac{5}{6}\Rightarrow S=\{\frac{5}{6},-\frac{5}{6}\}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.S=\frac{6\left(\frac{5}{6}\right)}{5}=1=\frac{5}{6\left(\frac{5}{6}\right)}=\mathrm{R}\cdot \mathrm{S} \left(\mathrm{x}=\frac{5}{6}\right) \\ \mathrm{L}.\mathrm{S}=6\left(\frac{-5}{6}\right)=-1=\frac{5}{6\left(\frac{-5}{6}\right)}=\mathrm{R}\cdot \mathrm{S} \left(\mathrm{x}=-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}\right) \end{gathered}$$

$\frac{1}{6y^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{y}$

نضرب طرفي المعادلة في$6y^2$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{1}{6y^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{y}\\ & 1+3y^2=6y\Rightarrow 3y^2-6y+1=0\Rightarrow a=3,b=-6,c=1\end{array} \\ \begin{array}{rl}y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \Rightarrow y=\frac{6\pm \sqrt{36-4\left(3\right)\left(1\right)}}{6}\to y-\frac{6\pm \sqrt{24}}{6}\Rightarrow y-\frac{3\pm \sqrt{6}}{3}\\ & \Rightarrow S=\{\frac{3+\sqrt{6}}{3},\frac{3-\sqrt{6}}{3}\}\end{array} \end{gathered}$$

التحقق:

$\begin{array}{rl}3y^2-6y+1=0\Rightarrow L.S& =3{\left(\frac{3+\sqrt{6}}{3}\right)}^2-6\left(\frac{3+\sqrt{6}}{3}\right)+1 \left(y=\frac{3+\sqrt{6}}{3}\right)\\ & =3\left(\frac{9+6\sqrt{6}+6}{9}\right)-2(3+\sqrt{6})+1\\ & =\frac{15+6\sqrt{6}}{3}-6-2\sqrt{6}+1=\frac{15+6\sqrt{6}-18-6\sqrt{6}+3}{3}=\frac{0}{3}=0=R.S\end{array}$

$\frac{z+4}{z^2}=\frac{1}{2}$

$\begin{array}{rl}\frac{z+4}{z^2}=\frac{1}{2}& \Rightarrow 2z+8=z^2\Rightarrow z^2-2z-8=0\Rightarrow (z-4)(z+2)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}z-4=0\Rightarrow z=4\\ \text{or }z+2=0\Rightarrow z=-2\Rightarrow S=\{4,-2\}\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{S}=\frac{4+4}{4^2}=\frac{1}{2}=\mathrm{R}.\mathrm{S} \left(\mathrm{z}=4\right) \\ \mathrm{L}.\mathrm{S}=\frac{-2+4}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\mathrm{R}.\mathrm{S} \left(\mathrm{z}=-2\right) \end{gathered}$$

(14)- جد مجموعة الحل لكل معادلة من المعادلات التالية:

$\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x-2}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x-2}=1& \Rightarrow 4(x-2)-3(x-5)=(x-5)(x-2)\\ & \Rightarrow 4x-8-3x+15=x^2-7x+10\\ & \Rightarrow x^2-8x+3=0,a=1,b=-8,c=3\end{array} \\ \begin{array}{rl}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \Rightarrow x=\frac{8\pm \sqrt{64-4\left(1\right)\left(3\right)}}{2}\Rightarrow x=\frac{8\pm \sqrt{64-12}}{2}\Rightarrow x=\frac{8\pm 2\sqrt{13}}{2}\\ & \Rightarrow x=4\pm \sqrt{13}\Rightarrow S=\{4+\sqrt{13},4-\sqrt{13}\}\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{2y}{y+2}+\frac{y}{2-y}=\frac{7}{y^2-4}$

نضرب طرفي المعادلة في $(y-2)(y+2)$

$$\begin{gathered} \frac{2y}{y+2}+\frac{y}{2-y}=\frac{7}{y^2-4}\Rightarrow \frac{2y}{y+2}-\frac{y}{2-y}=\frac{7}{(y-2)(y+2)} \\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow 2y(y-2)-y(y+2)=7\Rightarrow y^2-6y-7=0\\ & \Rightarrow (y-7)(y+1)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow \{\begin{array}{c}y-7=0\Rightarrow y=7\\ \text{or }y+1=0\Rightarrow y=-1\end{array}\\ & \Rightarrow S=\{7,-1\}\end{array} \end{gathered}$$