مراجعة الفصل

[3-1] حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين

تدريب: جد مجموعة الحل للنظام باستعمال الحذف لكل مما يأتي:

$\begin{array}{rl}& x+y=2...\left(1\right)\\ & x+5y=4...\left(2\right)\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x+y=2...\left(1\right)\\ & \mp x\mp 5y=-4...\left(2\right)\end{array}\left(\mathrm{بالطرح}\right) \\ -4y=-2\Rightarrow y=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

نعوض عن قيمة y بالمعادلة (1) لإيجاد قيمة x

$\begin{array}{rl}& x+y=2\Rightarrow x+\frac{1}{2}=2\Rightarrow x=2-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}\\ & \Rightarrow S=\left\{(\frac{3}{2},\frac{1}{2})\right\}\end{array}$

[3-2] حل المعادلات التربيعية بمتغير واحد

(1)- حل المعادلة التالية باستعمال الفرق بين مربعين: $x^2-64=0$

$\begin{array}{rl}& x^2-64=0\Rightarrow (x-8)(x+8)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}x-8=0\Rightarrow x=8\\ \text{or }x+8=0\Rightarrow x=-8\Rightarrow S=\{8,-8\}\end{array}\end{array}$

(2)- حل المعادلة التالية باستعمال خاصية الجذر التربيعي: $y^2=49$

$y^2=49\Rightarrow y=\pm 7\Rightarrow S=\{7,-7\}$

[3-3] حل المعادلات التربيعية بالتجربة

(1)- حل المعادلة التالية بالتحليل بالتجربة: $x^2-10x+21=0$

$\begin{array}{rl}{x}^2-10x+21& =0\Rightarrow (x-7)(x-3)=0\\ \Rightarrow & \{\begin{array}{c}x-7=0\Rightarrow x=7\\ \text{or }x-3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow S=\{7,3\}\end{array}\end{array}$

(2)- حل المعادلة التالية بالتحليل بالتجربة: $4y^2+16y-9=0$

$\begin{array}{rl}& 4y^2+16y-9=0⟹(2y-1)(2y+9)=0\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}2y-1=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\\ or 2y+9=0\Rightarrow y=\frac{-9}{2}\end{array}\\ & \Rightarrow S=\{\frac{1}{2},\frac{-9}{2}\}\end{array}$

[3-4] حل المعادلات التربيعية بالمربع الكامل

(1)- حل المعادلة التالية بالمربع الكامل: $4x^2-28x+49=0$

$4x^2-28x+49=0\Rightarrow (2x-7{)}^2=0\Rightarrow 2x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}\Rightarrow S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$

(2)- حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع: $x^2-12x=28$

$\begin{array}{rl}& x^2-12x=28⟹x^2-12x+36=28+36\\ & {(12\times \frac{1}{2})}^2=36 \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{إلى} \mathrm{نضيف}\\ & \Rightarrow (x-6{)}^2=64\Rightarrow x-6=\pm 8\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}x-6=8\Rightarrow x=14\\ or x-6=-8\Rightarrow x=-2\Rightarrow S=\{14,-2\}\end{array}\end{array}$

[3-5] حل المعادلات بالقانون العام

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلة باستعمال القانون العام: $x^2-3x-8=0$

$\begin{array}{rl}& x^2-3x-8=0,a=1,b=-3,c=-8\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9+4\left(1\right)\left(8\right)}}{2}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9+32}}{2}\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{41}}{2}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{3+\sqrt{41}}{2}\\ \text{or }x=\frac{3-\sqrt{41}}{\sqrt{45}}\end{array}\\ & \Rightarrow \mathrm{S}=\{\frac{3+\sqrt{4\mathrm{\Gamma }}}{2},\frac{3-\sqrt{41}}{2}\}\end{array}$

(2)- حدد جذور المعادلة: $2x^2-7x-3=0$

$\begin{array}{rl}& 2x^2-7x-3=0,a=2,b=-7,c=-3\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=49-4\left(2\right)(-3)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=49+24\Rightarrow \mathrm{\Delta }=73\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان غير نسبيين.

[3-6] حل المعادلات الكسرية

تدريب: جد مجموعة الحل للمعادلة وتحقق من الحل: $\frac{2x}{x-4}+\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2-16}$

نضرب طرفي المعادلة في $(x-4)(x+4)$

$$\begin{gathered} \frac{2x}{x-4}+\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2-16}\Rightarrow \frac{2x}{x-4}+\frac{x}{x+4}=\frac{32}{(x-4)(x+4)} \\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow 2\mathrm{x}(\mathrm{x}+4)+\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)=32\\ & \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}=32\Rightarrow 3{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-32=0\\ & \Rightarrow (3x-8)(x+4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{c}3x-8=0\Rightarrow x=\frac{8}{3}\\ or x+4=0\Rightarrow x=-4\end{array}\\ & \Rightarrow S=\left\{\frac{8}{3}\right\}\end{array} \end{gathered}$$

يهمل لا يحقق المعادلة.

التحقق:

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{S}=\frac{2\left(\frac{8}{3}\right)}{\frac{8}{3}-4}+\frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{3}+4}=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{-4}{3}}+\frac{\frac{8}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{16}{3}\times \frac{3}{-4}+\frac{{\displaystyle 8}}{3}\times \frac{{\displaystyle 3}}{20}=1+\frac{2}{5}=\frac{-18}{5} \left(x=\frac{8}{3}\right) \\ R.S=\frac{32}{\frac{64}{9}-16}=\frac{32}{\frac{64-144}{9}}=\frac{32}{\frac{-80}{9}}=32\times \frac{9}{-80}=\frac{-18}{5}=L.S \end{gathered}$$