للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

استمرارية الدالة عند النقطة

ملاحظة:

لكي تكون الدالة مستمرة يجب أن تحقق الشروط الآتية:

- الصورة معرفة $f (a)$

- الغاية موجودة ${Lim}_{x \to a} f (x)$

- الصورة = الغاية ${Lim}_{x \to a} f (x) = f (a)$

1- إذا كانت $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 5$ هل الدالة مستمرة عند x=1؟

$f (1) = (1)^{3} + 4 (1)^{2} + 5 = 10$
$lim_{x \to 1} x^{3} + 4 x^{2} + 5 = (1)^{3} + 4 (1)^{2} + 5 = 10$
$∵ {Lim}_{x \to 1} f (x) = f (1) = 10$

f مستمرة عند x=1

2- ابحث استمرارية الدالة $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ عند x=2؟

معرفة $f (3) = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$
موجودة ${Lim}_{x \to 3} \frac{x}{x + 1} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$
$∵ {Lim}_{x \to 3} f (x) = f (3)$

f مستمرة عند x=2

ملاحظات:

إذا كانت صيغة السؤال دالة شطرية وكان المطلوب ابحث الاستمرارية عند الحل نتبع الخطوات التالية:

نجد الصورة من جهة المساواة $(\geq)$ أو $(\leq)$
نجد الغاية من جهة اليمين واليسار.
إذا كانت الصورة = الغاية فإن الدالة مستمرة وإذا كانت الصورة $\neq$ الغاية فإن الدالة غير مستمرة.

3- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ x^{2} + 1, x \geq 0 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 0=x؟ بین ذلك.

$\begin{aligned} f (0) = (0)^{2} + 1 = 1 \\ L i m_{x \to 0} x^{2} + 1 = (0)^{2} + 1 = 1 = L_{1} \\ L i m_{x \to 0} 2 x + 3 = 2 (0) + 3 = 3 = L_{2} \\ ∵ L_{1} \neq L_{2} \end{aligned}$

الغاية غير موجودة عند 0=x

f غير مستمرة عند 0=x

4- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 - x, x < - 1 \\ 2 x^{2} + 1, x \geq - 1 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 1-=x؟

$\begin{aligned} f (- 1) = 2 (- 1)^{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \\ {Lim}_{x \to - 1} 2 x^{2} + 1 = 2 (- 1)^{2} + 1 = 3 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to - 1} 2 - x = 2 (- 1) = 2 + 1 = 3 = L_{2} \\ ∵ L_{1} = L_{2} \end{aligned}$

الغاية موجودة.

${Lim}_{x \to - 1} f (x) = f (- 1) = 3$

f مستمرة عند 1-=x

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2, x \geq 2 \\ 8 - x, x < 2 \end{cases}$ أثبت أن الدالة مستمرة عند 2=x؟

$\begin{aligned} f (2) = x^{2} + 2 = (2)^{2} + 2 \\ = 4 + 2 = 6 \\ {Lim}_{x \to 2} x^{2} + 2 = (2)^{2} + 2 \\ = 4 + 2 = 6 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to - 1} 8 - x = 8 - 2 = 6 = L_{2} \\ ∵ L_{1} = L_{2} \end{aligned}$

الغاية موجودة.

$∵ {Lim}_{x \to 2} f (x) = f (2) = 6$

f مستمرة عند 2=x

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال دالة قيمة مطلقة عند الحل يجب أن نقول دالة القيمة المطلقة إلى دالة شطرية حسب القاعدة:

$f (x) = | x | = {\begin{cases} x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{cases}$

6- لتكن $f (x) = | 2 x - 6 |$ ابحث الاستمرارية عند x=3؟

$f (x) = | 2 x - 6 | = {\begin{cases} 2 x - 6, x \geq 3 \\ - 2 x + 6, x < 3 \end{cases}$

$\begin{aligned} f (3) = 2 (3) - 6 = 6 - 6 = 0 \\ {Lim}_{x \to 3} 2 x - 6 = 2 (3) - 6 = 6 - 6 = 0 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to 3} - 2 x + 6 = - 2 (3) + 6 = - 6 + 6 = 0 = L_{2} \\ ∵ L_{1} = L_{2} \end{aligned}$

الغاية موجودة.

$∵ {Lim}_{x \to 3} f (x) = f (3) = 0$

f مستمرة عند x=3

7- لتكن $f (x) = | x + 4 |$ برهن أن f مستمرة عند x=-4؟

$| x - 4 | = {\begin{cases} x + 4, x \geq - 4 \\ - x - 4, x < - 4 \end{cases}$

$\begin{aligned} f (- 4) = - 4 + 4 = 0 \\ lim_{x \to - 4} x + 4 = - 4 + 4 = 0 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to 4} - x - 4 = 4 - 4 = 0 = L_{2} \\ ∵ L_{1} = L_{2} \end{aligned}$

الغاية موجودة.

$∵ {Lim}_{x \to 3} f (x) = f (- 4) = 0$

f مستمرة عند x=-4

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال دالة شطرية متفرعة إلى (=) أو ( $\neq$ ) عندها نجد الصورة من جهة (=) والغاية من جهة ( $\neq$ ) كما في المثال الآتي:

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}, x \neq 2 \\ 4 x + 5, x = 2 \end{cases}$ ابحث الاستمرارية عند 2=x؟

$f (2) = 4 (2) + 5 = 8 + 5 = 13$
$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} \frac{x^{- 8}}{x - 2} \\ {Lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} = {Lim}_{x \to 2} (x^{2} + 2 x + 4) \end{aligned}$
$∵ {Lim}_{x \to 2} f (x) \neq f (2)$

الدالة غير مستمرة عند x=2

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

استمرارية الدالة عند النقطة

1- إذا كانت $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 5$ هل الدالة مستمرة عند x=1؟

2- ابحث استمرارية الدالة $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ عند x=2؟

3- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ x^{2} + 1, x \geq 0 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 0=x؟ بین ذلك.

4- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 - x, x < - 1 \\ 2 x^{2} + 1, x \geq - 1 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 1-=x؟

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2, x \geq 2 \\ 8 - x, x < 2 \end{cases}$ أثبت أن الدالة مستمرة عند 2=x؟

6- لتكن $f (x) = | 2 x - 6 |$ ابحث الاستمرارية عند x=3؟

7- لتكن $f (x) = | x + 4 |$ برهن أن f مستمرة عند x=-4؟

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}, x \neq 2 \\ 4 x + 5, x = 2 \end{cases}$ ابحث الاستمرارية عند 2=x؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس استمرارية الدالة عند النقطة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

استمرارية الدالة عند النقطة

1- إذا كانت f(x)=x3+4x2+5 هل الدالة مستمرة عند x=1؟

2- ابحث استمرارية الدالة f(x)=xx+1 عند x=2؟

3- لتكن f(x)={2x+3,x<0x2+1,x≥0 هل الدالة مستمرة عند 0=x؟ بین ذلك.

4- لتكن f(x)={2−x,x<−12x2+1,x≥−1 هل الدالة مستمرة عند 1-=x؟

5- لتكن f(x)={x2+2,x≥28−x,x<2 أثبت أن الدالة مستمرة عند 2=x؟

6- لتكن f(x)=|2x−6| ابحث الاستمرارية عند x=3؟

7- لتكن f(x)=|x+4| برهن أن f مستمرة عند x=-4؟

8- لتكن f(x)={x3−8x−2,x≠24x+5,x=2 ابحث الاستمرارية عند 2=x؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس استمرارية الدالة عند النقطة

النقاشات

1- إذا كانت $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 5$ هل الدالة مستمرة عند x=1؟

2- ابحث استمرارية الدالة $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ عند x=2؟

3- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ x^{2} + 1, x \geq 0 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 0=x؟ بین ذلك.

4- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 2 - x, x < - 1 \\ 2 x^{2} + 1, x \geq - 1 \end{cases}$ هل الدالة مستمرة عند 1-=x؟

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2, x \geq 2 \\ 8 - x, x < 2 \end{cases}$ أثبت أن الدالة مستمرة عند 2=x؟

6- لتكن $f (x) = | 2 x - 6 |$ ابحث الاستمرارية عند x=3؟

7- لتكن $f (x) = | x + 4 |$ برهن أن f مستمرة عند x=-4؟

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}, x \neq 2 \\ 4 x + 5, x = 2 \end{cases}$ ابحث الاستمرارية عند 2=x؟