للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

غاية الدالة

قواعد الغاية:

1. غاية الدالة الثابتة = الثابت نفسه

${Lim}_{x \to z} C = C$

1- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to z} 100$

${Lim}_{x \to z} 100 = 100$

- ${Lim}_{x \to - 1} \frac{3}{2}$

${Lim}_{x \to - 1} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

- ${Lim}_{x \to 0} \sqrt{3}$

${Lim}_{x \to 0} \sqrt{3} = \sqrt{3}$

2. غاية الدالة كثيرة الحدود (أي دالة لا كسرية ولا جذرية تسمى كثيرة الحدود) تعريض مباشر في قيمة الاقتراب.

2- جد الغاية لكل مما يأتي:

- $L i m_{x \to - 1} (3 x^{2} + 6 x + 8)$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 1} (3 x^{2} + 6 x + 8) \\ = 3 (- 1)^{2} + 6 (- 1) + 8 = 3 - 6 + 8 = 5 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to - 3} (x^{3} + 2 x)$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 3} (x^{3} + 2 x) \\ = (- 3)^{3} + 2 (- 3) = - 27 - 6 = - 33 \end{aligned}$

3. غاية الدالة الجذرية

- الجذرية ذات الدليل الزوجي: تدخل الغابة تحت الجذر بشرط أن القيمة التي تحت الجذر أكبر أو تساوي صفر.

3- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to - 1} \sqrt{3 x^{2} + 6}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 1} \sqrt{3 x^{2} + 6} \\ = & \sqrt{{Lim}_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6} = \sqrt{3 (- 1)^{2} + 6} = \sqrt{3 + 6} \\ = & \sqrt{9} = 3 \end{aligned}$

- $lim_{x \to - 2} \sqrt{x + 2}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 2} \sqrt{x + 2} \\ = \sqrt{{Lim}_{x \to - 2} x + 2} = \sqrt{- 2 + 2} = \sqrt{0} = 0 \end{aligned}$

- الجذرية ذات الدليل الفردي تعويض مباشر

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 0} \sqrt[3]{3 x^{2} + 6 x + 8} \\ = \sqrt[3]{3 (0)^{2} + 6 (0) + 8} = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$

4. غاية الدالة الكسرية (هناك حالتان)

الحالة الأولى: المقام عند التعويض المباشر لا يساوي صفر، في هذه الحالة يحق لنا التعويض المباشر.

4- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} - 1}{x + 1}$

${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} - 1}{x + 1} = \frac{(0)^{4} - 1}{0 + 1} = \frac{- 1}{1} = - 1$

- $L i m_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} & = \frac{(- 2)^{2} + 1}{- 2 + 1} = \frac{4 + 1}{- 1} = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$

الحالة الثانية [مهمة جداً]:

المقام عند التعويض المباشر = 0 في هذه الحالة نذهب إلى طرق التحليل والاختصارات وهي:

- الفرق بين مربعين $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

5- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} & = {Lim}_{x \to 3} (x + 3) \\ = 3 + 3 = 6 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{4} - 16}{x - 2}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} + 4)}{x - 2} \\ = {Lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)}{x - 2} \\ \begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} (x + 2) (x^{2} + 4) = (2 + 2) (4 + 4) \\ = 4 (8) = 32 \end{aligned} \end{aligned}$

- تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما

$(x^{3} - y^{3}) = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = (\sqrt[3]{الأول الحد} \pm \sqrt[3]{الثاني الحد}) (الأول الحد مربع الإشارة عكس الأول \times الثاني + الثاني الحد مربع)$

6- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2} & = {Lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} \\ = {Lim}_{x \to 2} (x^{2} + 2 x + 4) = (2)^{2} + 2 (2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3} & = {Lim}_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} \\ = {Lim}_{x \to 3} (x^{2} + 3 x + 9) = (3)^{2} + 3 (3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 \end{aligned}$

- تحليل الحدودية الثلاثية بطريقة التجربة واستخراج العامل المشترك إن وجد:

7- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to 1} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

${Lim}_{x \to 1} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x + 4) (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)} = {Lim}_{x \to 1} \frac{x + 4}{x + 1} = \frac{1 + 4}{1 + 1} = \frac{5}{2}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}$

${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6} = {Lim}_{x \to - 2} \frac{x (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} = {Lim}_{x \to - 2} \frac{x}{x - 3} = \frac{- 2}{- 2 - 3} = \frac{- 2}{- 5} = \frac{2}{5}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9} = {Lim}_{x \to - 3} \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 3)} = {Lim}_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4}$

${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = {Lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 2)} = {Lim}_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2} = \frac{(2)^{2} + 2 (2) + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

- طريقة العامل المنسب

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال دالة كسرية تحتوي على جذر تربيعي مقامها عند التعويض المباشر = 0 نحلل بطريقة العامل المنسب.
عند ضرب الحدود المترافقة نطبق القانون الآتي: مربع الحد الأول - مربع الحد الثاني

8- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = {Lim}_{x \to 1} & \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \\ = {Lim}_{x \to 1} (x + 1) (\sqrt{x} + 1) = (1 + 1) (\sqrt{1} + 1) = (2) (2) = 4 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 4} \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x - 4}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 4} \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x - 4} & = {Lim}_{x \to 4} \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x - 4} \times \frac{x + 2 \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x}} = {Lim}_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4 x}{(x - 4) (x + 2 \sqrt{x})} = {Lim}_{x \to 4} \frac{x (x - 4)}{(x - 4) (x + 2 \sqrt{x})} \\ = \frac{4}{4 + 2 \sqrt{4}} = \frac{4}{4 + 2 (2)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

- $Li {mim}_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} & = {Lim}_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} \times \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{\sqrt{x + 1} + 2} = {Lim}_{x \to 3} \frac{x + 1 - 4}{(x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} = {Lim}_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{1}{\sqrt{3 + 1} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 11} \frac{\sqrt{x - 2} - 3}{x - 11}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 11} \frac{\sqrt{x - 2} - 3}{x - 11} & = {Lim}_{x \to 11} \frac{\sqrt{x - 2} - 3}{x - 11} \times \frac{\sqrt{x - 2} + 3}{\sqrt{x - 2} + 3} = {Lim}_{x \to 11} \frac{x - 2 - 9}{(x - 11) (\sqrt{x - 2} + 3)} = {Lim}_{x \to 11} \frac{x - 11}{(x - 11) (\sqrt{x - 2} + 3)} \\ = \frac{1}{\sqrt{11 - 2} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6} \end{aligned}$

9- إذا كانت ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} + 3 x - 1}{x + 2} = 2 a + 3$ جد قيمة a؟

$\begin{aligned} \frac{1 + 3 - 1}{1 + 2} = 2 a + 3 \Rightarrow \frac{3}{3} = 2 a + 3 \\ 1 = 2 a + 3 \Rightarrow 2 a = 1 - 3 \Rightarrow 2 a = - 2 \Rightarrow a = - 1 \end{aligned}$

10- إذا كانت $f (x) = a x^{2} + b$ وكانت ${Lim}_{x \to - 2} f (x) = 11, {Lim}_{x \to - 1} f (x) = 5$ فما قيمة a,b؟

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 1} a x^{2} + b = 5 \Rightarrow a (- 1)^{2} + b = 5 \Rightarrow a \Rightarrow b = 5 . . . . . (1) \\ {Lim}_{x \to - 2} a x^{2} + b = 11 \Rightarrow a (- 2)^{2} + b = 11 \Rightarrow - 4 a + b = - 11 . . . . (2) \\ - 3 a = - 6 \Rightarrow a = 2 \end{aligned}$

نعوض قيمة a في معادلة (1):

$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

غاية الدالة

1- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→z⁡100

- Limx→−1⁡32

- Limx→0⁡3

2- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→−1⁡(3x2+6x+8)

- Limx→−3⁡(x3+2x)

3- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→−1⁡3x2+6

- limx→−2x+2

4- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→0⁡x4−1x+1

- Limx→−2⁡x2+1x+1

المقام عند التعويض المباشر = 0 في هذه الحالة نذهب إلى طرق التحليل والاختصارات وهي:

5- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→3⁡x2−9x−3

- Limx→2⁡x4−16x−2

6- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→2⁡x3−8x−2

- Limx→3⁡x3−27x−3

7- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→1=x2+3x−4x2−1

- Limx→−2⁡x2+2xx2−x−6

- Limx→3⁡x2−2x−3x2−9

- Limx→2⁡x3−8x2−4

8- جد الغاية لكل مما يأتي:

- Limx→1⁡x2−1x−1

- Limx→4⁡x−2xx−4

- Limimx→3⁡x+1−2x−3

- Limx→11⁡x−2−3x−11

9- إذا كانت Limx→1⁡x2+3x−1x+2=2a+3 جد قيمة a؟

10- إذا كانت f(x)=ax2+b وكانت Limx→−2⁡f(x)=11 , Limx→−1⁡f(x)=5 فما قيمة a,b؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس غاية الدالة ج1

فيديو شرح درس غاية الدالة ج2

فيديو شرح درس غاية الدالة ج3

النقاشات

- ${Lim}_{x \to z} 100$

- ${Lim}_{x \to - 1} \frac{3}{2}$

- ${Lim}_{x \to 0} \sqrt{3}$

- $L i m_{x \to - 1} (3 x^{2} + 6 x + 8)$

- ${Lim}_{x \to - 3} (x^{3} + 2 x)$

- ${Lim}_{x \to - 1} \sqrt{3 x^{2} + 6}$

- $lim_{x \to - 2} \sqrt{x + 2}$

- ${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} - 1}{x + 1}$

- $L i m_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{4} - 16}{x - 2}$

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}$

- ${Lim}_{x \to 1} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

- ${Lim}_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

- ${Lim}_{x \to 4} \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x - 4}$

- $Li {mim}_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

- ${Lim}_{x \to 11} \frac{\sqrt{x - 2} - 3}{x - 11}$

9- إذا كانت ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} + 3 x - 1}{x + 2} = 2 a + 3$ جد قيمة a؟

10- إذا كانت $f (x) = a x^{2} + b$ وكانت ${Lim}_{x \to - 2} f (x) = 11, {Lim}_{x \to - 1} f (x) = 5$ فما قيمة a,b؟