للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (1-2)

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to - 1} (x^{3} + 2 x + 3)$

${Lim}_{x \to - 1} (x^{3} + 2 x + 3) = (- 1)^{3} + 2 (- 1) + 3 = - 1 - 2 + 3 = 0$

- ${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} + 1}{x + 1}$

${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} + 1}{x + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}$

${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6} = {Lim}_{x \to - 2} \frac{x (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} = \frac{- 2}{- 5} = \frac{2}{5}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} & = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x^{-} - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} \\ = (1 + 1) (1 + 1) = (2) (2) = 4 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$

${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15} = {Lim}_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x + 5) (x - 3)} = {Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 5} = \frac{9 + 9 + 9}{8} = \frac{27}{8}$

- $L i m_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}$

الطريقة الأولى:

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to \sqrt{2}} \frac{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}{x - \sqrt{2}} \\ = {Lim}_{x \to \sqrt{2}} (x + \sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

الطريقة الثانية:

$= {Lim}_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 1}{x - \sqrt{2}} \times \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} = {Lim}_{x \to \sqrt{2}} \frac{(x^{2} - 2) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{3} + 7 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 3}$

$\begin{aligned} L i m_{x \to 1} \frac{x^{3} + 7 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 3} & = L i m_{x \to 1} \frac{x (x^{2} + 7 x - 8)}{3 (x^{2} - 1)} = {Lim}_{x \to 1} \frac{x (x + 8) (x - 1)}{3 (x - 1) (x + 1)} \\ = L i m_{x \to 1} \frac{x (x + 8)}{3 (x + 1)} = \frac{1 (1 + 8)}{3 (1 + 1)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x^{4} - 16}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 2} & \frac{x^{3} + 8}{x^{4} - 16} = {Lim}_{x \to - 2} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 4)} = {Lim}_{x \to - 2} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)} \\ = {Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 4)} = \frac{(- 2)^{2} - 2 (- 2) + 4}{(- 2 - 2) ((- 2)^{2} + 4)} = \frac{4 + 4 + 4}{(- 4) (8)} = \frac{12}{- 32} = \frac{- 3}{8} \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

الطريقة الأولى:

${Lim}_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{\sqrt{x} - 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1) (x + 1)}{\sqrt{x} - 1} = (1 + 1) (1 + 1) = 4$

الطريقة الثانية:

$\begin{matrix} {Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x^{2} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = {Lim}_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \\ = (1 + 1) (1 + 1) = 4 \end{matrix}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{3 x} - 3}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{3 x} - 3} \times \frac{\sqrt{3 x} + 3}{\sqrt{3 x} + 3} = {Lim}_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 x - 9} \\ = {Lim}_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3)} = \frac{(3 + 3) (\sqrt{9} + 3)}{3} = \frac{6 (6)}{3} = 12 \end{aligned}$

- ${Lim}_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{\sqrt{x + 10} - 3}$

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{\sqrt{x + 10} - 3} = \frac{\sqrt{x + 10} + 3}{\sqrt{x + 10} + 3} \\ {Lim}_{x \to - 1} \frac{x (x + 1) (\sqrt{x + 10} + 3)}{x + 10 - 9} = {Lim}_{x \to - 1} \frac{x (x + 1) (\sqrt{x + 10} + 3)}{x + 1} = (- 1) (\sqrt{- 1 + 10} + 3) \\ = (- 1) (3 + 3) = - 6 \end{aligned}$

2- إذا كانت ${Lim}_{x \to 4} \frac{x^{2} - 2 x + 6}{x + 3} = 3 a - 4$ جد قيمة $a \in R$ ؟

$\frac{(4)^{2} - 2 (4) + 6}{2} = 3 a - 4 \Rightarrow \frac{16 - 8 + 6}{7} = 3 a - 4 \Rightarrow \frac{14}{7} = 3 a - 4 \Rightarrow 2 = 3 a - 4 \Rightarrow 3 a = 6 \Rightarrow a = 2$

3- إذا كانت ${Lim}_{x \to a} \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} = 8$ جد قيمة $a \in R$ ؟

${Lim}_{x \to a} \frac{(x - a) (x + a)}{x - a} = 8 \Rightarrow a + a + 8 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$

4- إذا كانت $f (x) = a x^{2} + b x$ وكانت ${Lim}_{x \to - 2} f (x) = 8, {Lim}_{x \to 1} f (x) = 5$ جد قيميتي a,b الحقيقيتين

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 1} a x^{2} + b x = 5 \Rightarrow a (1)^{2} + b (1) = 5 \\ \begin{matrix} a + b = 5 \\ {Lim}_{x \to - 2} a x^{2} + b x = 8 \Rightarrow a (- 2)^{2} + b (- 2) = 8 \\ 4 a - 2 b = 8] \div 2 \Rightarrow 2 a - b = 4 \end{matrix} \end{aligned}$

نحصل على (2) و(1) من:

$\begin{matrix} a + b = 5 \\ 2 a = b = 4 بالجمع \\ 3 a = 9 \Rightarrow a = 3 \end{matrix}$

نعوض قيمة a في (1):

$3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 3, x > 2 \\ 2 - 2 x, x < 2 \end{cases}$

- هل للدالة f غاية عند 2؟ بين ذلك.

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} x^{2} - 3 = (2)^{2} - 3 = 4 - 3 = 1 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to 2} 2 - 2 x = 2 - 2 (2) = 2 - 4 = - 2 = L_{2} \\ ∴ L_{1} \neq L_{2} \end{aligned}$

لا توجد غاية عند x=2

- جد ${Lim}_{x \to 1} f (x)$

${Lim}_{x \to 1} 2 - 2 x = 2 - 2 (1) = 0$

6- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x \geq 2 \\ 2 - x, x < 2 \end{cases}$ هل للدالة غاية عند $x \to 2$ ؟ بين ذلك.

$\begin{aligned} {Lim}_{x \to 2} x^{2} + 1 = (2)^{2} + 1 = 4 + 1 = 5 = L_{1} \\ {Lim}_{x \to 2} 2 - x = 2 - 2 = 0 = L_{2} \\ ∴ L_{1} \neq L_{2} \end{aligned}$

لا توجد غاية عند x=2

7- لتكن $f (x) = {\begin{cases} a + 2 x, & x \leq - 1 \\ 3 - x^{2}, & x > - 1 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to - 1} f (x)$ موجودة جد قيمة a حيث $a \in R$ ؟

$∵ L_{1} = L_{2} \begin{aligned} ∴ {Lim}_{x \to - 1} 3 - x^{2} = lim_{x \to - 1} a + 2 x \Rightarrow 3 - (- 1)^{2} = a + 2 (- 1) \Rightarrow 3 - 1 = a - 2 \\ 2 = a - 2 \Rightarrow a = 2 + 2 \Rightarrow a = 4 \end{aligned}$

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 3 x + a, x \geq 3 \\ x^{2} - b, x < 3 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to 3} f (x)$ موجودة وأن $f (\sqrt{2}) = 5$ جد قيمة $a, b \in R$ ؟

$\begin{aligned} (\sqrt{2}) = 5 ⟹ x^{2} - b = 5 ⟹ (\sqrt{2})^{2} - b = 5 \\ 2 - b = 5 \Rightarrow b = 2 - 5 \Rightarrow b = - 3 \\ ∴ L_{1} = L_{2} \\ ∴ {Lim}_{x \to 3} 3 x + a = {Lim}_{x \to 3} x^{2} + 3 \\ 3 (3) + a = (3)^{2} + 3 \\ 9 + a = 9 + 3 \Rightarrow 9 + a = 12 \Rightarrow a = 12 - 9 \Rightarrow a = 3 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-2)

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- ${Lim}_{x \to - 1} (x^{3} + 2 x + 3)$

- ${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} + 1}{x + 1}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$

- $L i m_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{3} + 7 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 3}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x^{4} - 16}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{3 x} - 3}$

- ${Lim}_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{\sqrt{x + 10} - 3}$

2- إذا كانت ${Lim}_{x \to 4} \frac{x^{2} - 2 x + 6}{x + 3} = 3 a - 4$ جد قيمة $a \in R$ ؟

3- إذا كانت ${Lim}_{x \to a} \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} = 8$ جد قيمة $a \in R$ ؟

4- إذا كانت $f (x) = a x^{2} + b x$ وكانت ${Lim}_{x \to - 2} f (x) = 8, {Lim}_{x \to 1} f (x) = 5$ جد قيميتي a,b الحقيقيتين

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 3, x > 2 \\ 2 - 2 x, x < 2 \end{cases}$

- هل للدالة f غاية عند 2؟ بين ذلك.

- جد ${Lim}_{x \to 1} f (x)$

6- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x \geq 2 \\ 2 - x, x < 2 \end{cases}$ هل للدالة غاية عند $x \to 2$ ؟ بين ذلك.

7- لتكن $f (x) = {\begin{cases} a + 2 x, & x \leq - 1 \\ 3 - x^{2}, & x > - 1 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to - 1} f (x)$ موجودة جد قيمة a حيث $a \in R$ ؟

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 3 x + a, x \geq 3 \\ x^{2} - b, x < 3 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to 3} f (x)$ موجودة وأن $f (\sqrt{2}) = 5$ جد قيمة $a, b \in R$ ؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-2)

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- Limx→−1⁡(x3+2x+3)

- Limx→0⁡x4+1x+1

- Limx→−2⁡x2+2xx2−x−6

- Limx→1⁡x4−1x−1

- Limx→3⁡x3−27x2+2x−15

- Limx→2⁡x2−2x−2

- Limx→1⁡x3+7x2−8x3x2−3

- Limx→−2⁡x3+8x4−16

- Limx→1⁡x2−1x−1

- Limx→3⁡x2−93x−3

- Limx→−1⁡x2+xx+10−3

2- إذا كانت Limx→4⁡x2−2x+6x+3=3a−4 جد قيمة a∈R؟

3- إذا كانت Limx→a⁡x2−a2x−a=8 جد قيمة a∈R؟

4- إذا كانت f(x)=ax2+bx وكانت Limx→−2⁡f(x)=8 , Limx→1⁡f(x)=5 جد قيميتي a,b الحقيقيتين

5- لتكن f(x)={x2−3,x>22−2x,x<2

- هل للدالة f غاية عند 2؟ بين ذلك.

- جد Limx→1⁡f(x)

6- لتكن f(x)={x2+1,x≥22−x,x<2 هل للدالة غاية عند x→2؟ بين ذلك.

7- لتكن f(x)={a+2x,x≤−13−x2,x>−1 وكانت Limx→−1⁡f(x) موجودة جد قيمة a حيث a∈R؟

8- لتكن f(x)={3x+a,x≥3x2−b,x<3 وكانت Limx→3⁡f(x) موجودة وأن f(2)=5 جد قيمة a,b∈R؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

النقاشات

- ${Lim}_{x \to - 1} (x^{3} + 2 x + 3)$

- ${Lim}_{x \to 0} \frac{x^{4} + 1}{x + 1}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - x - 6}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} + 2 x - 15}$

- $L i m_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{3} + 7 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 3}$

- ${Lim}_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x^{4} - 16}$

- ${Lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

- ${Lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{3 x} - 3}$

- ${Lim}_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{\sqrt{x + 10} - 3}$

2- إذا كانت ${Lim}_{x \to 4} \frac{x^{2} - 2 x + 6}{x + 3} = 3 a - 4$ جد قيمة $a \in R$ ؟

3- إذا كانت ${Lim}_{x \to a} \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} = 8$ جد قيمة $a \in R$ ؟

4- إذا كانت $f (x) = a x^{2} + b x$ وكانت ${Lim}_{x \to - 2} f (x) = 8, {Lim}_{x \to 1} f (x) = 5$ جد قيميتي a,b الحقيقيتين

5- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 3, x > 2 \\ 2 - 2 x, x < 2 \end{cases}$

- جد ${Lim}_{x \to 1} f (x)$

6- لتكن $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x \geq 2 \\ 2 - x, x < 2 \end{cases}$ هل للدالة غاية عند $x \to 2$ ؟ بين ذلك.

7- لتكن $f (x) = {\begin{cases} a + 2 x, & x \leq - 1 \\ 3 - x^{2}, & x > - 1 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to - 1} f (x)$ موجودة جد قيمة a حيث $a \in R$ ؟

8- لتكن $f (x) = {\begin{cases} 3 x + a, x \geq 3 \\ x^{2} - b, x < 3 \end{cases}$ وكانت ${Lim}_{x \to 3} f (x)$ موجودة وأن $f (\sqrt{2}) = 5$ جد قيمة $a, b \in R$ ؟