للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التمارين العامة الخاصة بالفصل الرابع

(1)- جد تكاملات كلاً مما يأتي:

$\int (\cos^{4} x - \sin^{4} x) d x$

نحلل فرق بين مربعين

$\begin{aligned} = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) (\cos^{2} x + \sin^{2} x) d x \\ (\cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1) \\ = \frac{1}{2} \int \cos 2 x . (2) d x = \frac{\sin 2 x}{2} + c \end{aligned}$

$\int (\sin 2 x - 1) (\cos^{2} 2 x + 2) d x$

$\begin{aligned} = \int (s i n 2 x c o s^{2} 2 x + 2 s i n 2 x - c o s^{2} 2 x - 2) d x \\ = \int [(c o s 2 x)^{2} s i n 2 x + 2 s i n 2 x - c o s^{2} 2 x - 2] d x \\ (- 2 \sin 2 x = (المشتقة) \cos^{2} 2 x = \frac{1}{2} (1 + \cos 4 x)) \end{aligned} \begin{aligned} = \int [- \frac{1}{2} (\cos 2 x)^{2} \cdot (- 2 \sin 2 x) + \sin 2 x (2) - \frac{1}{2} (1 + \cos 4 x) - 2] d x \\ = - \frac{1}{2} \frac{(\cos 2 x)^{3}}{3} - \cos 2 x - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin 4 x}{4}) - 2 x + c \\ = - \frac{(\cos 2 x)^{3}}{6} - \cos 2 x - \frac{1}{2} x + \frac{\sin 4 x}{8} - 2 x + c \\ = - \frac{(\cos 2 x)^{3}}{6} - \cos 2 x - \frac{5}{2} x + \frac{\sin 4 x}{8} + c \end{aligned}$

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x$

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \ln x . \underset{(\ln مشتقة)}{\underset{⏟}{\frac{1}{x}}} d x = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + c$

$\int \frac{2 \sin \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

$\begin{aligned} = 2 \int \frac{\sin x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x = 2 \int \sin x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}} d x (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} = (الزاوية مشتقة)) \\ = 3 (2) \int \sin x^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) d x = 6 (- \cos x^{\frac{1}{3}}) + c = - 6 \cos \sqrt[3]{x} + c \end{aligned}$

$\int \cot x \csc^{3} x d x$

$\begin{aligned} = \int (\csc x)^{3} \cot x d x (\csc (مشتقة) = - \csc x \cdot \cot x) \\ = - \int (\csc x)^{2} (- \csc x \cdot \cot x) d x = - \frac{(\csc x)^{3}}{3} + c \end{aligned}$

$\int \sqrt[3]{3 x^{3} - 5 x^{5}} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt[3]{3 x^{3} - 5 x^{5}} d x \\ = \int \sqrt[3]{x^{3} (3 - 5 x^{2})} d x \\ = \int x \sqrt[3]{(3 - 5 x^{2})} d x \\ = \int {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x d x = - \frac{1}{10} \int {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (- 10 x) d x \\ = - \frac{1}{10} \frac{{(3 - 5 x^{2})}^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + c = - \frac{3}{40} {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + c \end{aligned}$

$\int \frac{1}{x^{2} - 14 x + 49} d x$

نحلل المقام مربع كامل

$\int \frac{1}{(x - 7)^{2}} d x = \int (x - 7)^{- 2} = \frac{(x - 7)^{- 1}}{- 1} + c = \frac{1}{- (x - 7)} + c$

$\int \sec^{2} 3 x \cdot e^{\tan 3 x} d x$

$\int \sec^{2} 3 x \cdot e^{\tan 3 x} d x = \int e^{\tan 3 x} \cdot \sec^{2} 3 x d x = \frac{1}{3} \int e^{\tan 3 x} \cdot (3 \sec^{2} 3 x) d x = \frac{1}{3} e^{\tan 3 x} + c$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الرابع