للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الحجوم الدورانية

لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة $y = f (x)$ المستمرة من $a = x$ إلى $b = x$ حول محور السينات نطبق العلاقة $V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$ .
لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة $x = f (y)$ المستمرة من $y = b$ إلى $y = a$ حول محور الصادات نطيق العلاقة $V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y$ .

(1)- المنطقة المحددة بين المنحني $y = \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 4$ ومحور السينات دارت حول محور السينات جد حجمها.

$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x = π \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = {[π \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{4} = 8 π - 0 = 8 π (مكعبة وحدة)$

(2)- المنطقة المحددة بين المنحني $x = \frac{1}{\sqrt{y}}, 1 \leq y \leq 4$ دارت حول محور الصادات جد حجمها.

$V = π \int_{1}^{4} x^{2} d y = π \int_{1}^{4} {(\frac{1}{\sqrt{y}})}^{2} d y = π \int_{1}^{4} \frac{1}{y} d y = π [\ln y]_{1}^{4} = π [\ln 4 - \ln 1] = 2 π \ln 2 z (مكعبة وحدة)$

(3)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين منحني الدالة $f (x) = x^{2} + 1$ والمستقيم $y = 4$ حول محور الصادات دورة كاملة.

نجد التقاطع مع $y$ بوضع $x = 0$

$\begin{aligned} y = 0 + 1 \Rightarrow y = 1, [1, 4] \\ V = π \int_{1}^{4} x^{2} d y \\ y = x^{2} + 1 \Rightarrow x^{2} = y - 1 \\ V = π \int_{1}^{4} (y - 1) d y = π {[\frac{y^{2}}{2} - y]}_{1}^{4} = π [\frac{16}{2} - 4] - [\frac{1}{2} - 1] = \frac{9}{2} π (مكعبة وحدة) \end{aligned}$

(4)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالقطع المكافئ الذي معادلته $x = 2 y^{2}$ ومحور الصادات ضمن الفترة $y = 2, y = 0$ .

$x = 2 y^{2} \overset{بالتربيع}{⟹} x^{2} = 4 y^{4} \begin{aligned} V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y = π \int_{0}^{2} x^{2} d y \\ V = π \int_{0}^{2} 4 y^{4} d y = 4 π {[\frac{y^{5}}{5}]}_{0}^{2} = 4 π [\frac{(2)^{5}}{5} - \frac{0}{5}] = 4 π [\frac{32}{5}] = \frac{128 π}{5} (مكعبة وحدة) \end{aligned}$

(5)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالقطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 8 x$ والمستقيمين $x = 2, x = 0$ حول المحور السيني.

$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x = π \int_{0}^{2} 8 x d x = 4 π {[x^{2}]}_{0}^{2} = 4 π [4 - 0] = 16 π (مكعبة وحدة)$

(6)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالمقطع المكافئ الذي معادلته $y = 2 x^{2}$ والمستقيمين $x = 0, x = 5$ حول المحور السيني.

$y = 4 x^{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{y}{4} V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y = π \int_{0}^{16} \frac{y}{4} d y = \frac{π}{4} {[\frac{y^{2}}{2}]}_{0}^{16} = π [\frac{(16)^{2}}{8} - 0] = 32 π (مكعبة وحدة)$

(7)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالمقطع المكافئ $y = \frac{1}{x}$ والمستقيمين $y = 2, y = 1$ حول المحور الصادي.

(8)- أوجد حجم المنطقة المحصورة بين منحني الدالة $y = \frac{1}{x}$ والمستقيمين $y = 2, y = 1$ ومحور الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي.

$\begin{aligned} V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y x = \frac{1}{y} \overset{(بالتربيع)}{⟹} x^{2} = \frac{1}{y^{2}} \\ V = π \int_{1}^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = π {[\frac{- 1}{y}]}_{1}^{2} = π [\frac{- 1}{2} + 1] = \frac{π}{2} (مكعبة وحدة) \end{aligned}$

(9)- أوجد الحجم الناشئ من دوران المنطقة المحصورة بين محور الصادات ومنحني الدالة $1 \leq y \leq 3, y = \frac{3}{x}$ دورة كاملة حول المحور الصادي.

$\begin{aligned} V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y x = \frac{1}{y} \overset{(بالتربيع)}{⟹} x^{2} = \frac{1}{y^{2}} \\ V = π \int_{1}^{3} {(\frac{3}{y})}^{2} d y = 9 π {[\frac{- 1}{y}]}_{1}^{3} = 9 π [\frac{- 1}{3} + 1] = 6 π (مكعبة وحدة) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الحجوم الدورانية