للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (2-4)

(1)- جد تكاملات كل مما يلي ضمن مجال الدالة:

$\int \frac{{(2 x^{2} - 3)}^{2} - 9}{x^{2}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{{(2 x^{2} - 3)}^{2} - 9}{x^{2}} d x & = \int \frac{(4 x^{4} - 12 x^{2} + 9) - 9}{x^{2}} d x = \int (\frac{4 x^{4}}{x^{2}} - \frac{12 x^{2}}{x^{2}}) d x \\ = \int (4 x^{2} - 12) d x = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x + c \end{aligned}$

$\int \frac{(3 - \sqrt{5 x})^{7}}{\sqrt{7 x}} d x$

$\sqrt{7 x} = \sqrt{7} \sqrt{x}, \sqrt{5 x} = \sqrt{5} \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{7}} \int \frac{(3 - \sqrt{5} \sqrt{x})^{7}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \int {(3 - \sqrt{5} x^{\frac{1}{2}})}^{7} \cdot x^{- \frac{1}{2}} \begin{aligned} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \frac{1}{\sqrt{7}} \int {(3 - \sqrt{5} x^{\frac{1}{2}})}^{7} (\underset{⏟}{- \frac{\sqrt{5}}{2} x^{- \frac{1}{2}}}) d x = \frac{- 2}{\sqrt{35}} \frac{(3 - \sqrt{5 x})^{8}}{8} + c \\ = \frac{- 1}{4 \sqrt{35}} (3 - \sqrt{5 x})^{8} + c \end{aligned}$

$\int \frac{\cos^{3} x}{1 - \sin x} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{\cos^{3} x}{1 - \sin x} d x = \int \frac{\cos^{2} x \cos x}{1 - \sin x} d x = \int \frac{(1 - \sin^{2} x) \cos x}{1 - \sin x} d x \\ = \int \frac{(1 - \sin x) (1 + \sin x) \cos x}{1 - \sin x} d x = \int (1 + \sin x) \cos x d x \\ = \int (\cos x + \sin x \cos x) d x = \sin x + \frac{(\sin x)^{2}}{2} + c \end{aligned}$

$\int \csc^{2} x \cos x d x$

$\begin{aligned} \int \csc^{2} x \cos x d x (\csc x = \frac{1}{\sin x}) \\ = \int \csc x \csc x \cos x d x = \int \csc x \frac{1}{\sin x} \cos x d x, (\frac{\cos x}{\sin x} = \cot) x \\ = \int \csc x \cot x d x = - \csc x + c \csc^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} (بوضع آخر بحل ويحل) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \frac{x}{{(3 x^{2} + 5)}^{4}} d x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \frac{x}{{(3 x^{2} + 5)}^{4}} d x = \int {(3 x^{2} + 5)}^{- 4} \cdot x d x \\ = \frac{1}{6} \int {(3 x^{2} + 5)}^{- 4} \cdot (6 x) d x = \frac{1}{6} \frac{{(3 x^{2} + 5)}^{- 3}}{- 3} + c = \frac{- 1}{18 {(3 x^{2} + 5)}^{3}} + c \end{aligned}$

$\int \sqrt[3]{x^{2} + 10 x + 25} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt[3]{x^{2} + 10 x + 25} d x = \int \sqrt[3]{(x + 5)^{2}} d x (كامل مربع المقدار نجعل) \\ = \int (x + 5)^{\frac{2}{3}} d x = \frac{(x + 5)^{\frac{5}{3}}}{5} + c = \frac{3}{5} (x + 5)^{\frac{5}{3}} + c (1 = القوس داخل مشتقة) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \sin^{3} x d x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int \sin^{3} x d x = \int \sin^{2} x \sin x d x = \int (1 - \cos^{2} x) \sin x d x \\ = \int \sin x d x - \int \sin x \cos^{2} x d x = \int \sin x d x + \int (\cos x)^{2} (- \sin x) d x \\ = - \cos x + \frac{(\cos x)^{3}}{3} + c \end{aligned}$

$\int \frac{\cos \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}} d x$

المقام هو مشتقة تكامل الـ $\cos$

$= \int \frac{\cos (1 - x)^{\frac{1}{2}}}{(1 - x)^{\frac{1}{2}}} d x = - 2 \int \cos (1 - x)^{\frac{1}{2}} \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(- \frac{1}{2} (1 - x)^{- \frac{1}{2}})}} d x = - 2 \sin (1 - x)^{\frac{1}{2}} + c = - 2 \sin \sqrt{1 - x} + c$

لو كان السؤال أعلاه بالشكل التالي $\int \frac{\sin \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}} d x$

المقام هو مشتقة تكامل الـ $\sin$

$\begin{aligned} = \int \frac{\sin (1 - x)^{\frac{1}{2}}}{(1 - x)^{\frac{1}{2}}} d x = - 2 \int \sin (1 - x)^{\frac{1}{2}} \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(- \frac{1}{2} (1 - x)^{- \frac{1}{2}})}} d x \\ = 2 \cos (1 - x)^{\frac{1}{2}} + c = 2 \cos \sqrt{1 - x} + c \end{aligned}$

$\int {(3 x^{2} + 1)}^{2} d x$

مشتقة داخل القوس غير موجودة نفتح الأقواس

$= \int (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) d x = \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{6 x^{3}}{3} + x + c$

$\int \frac{\sqrt{\sqrt{x} - x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

$\begin{aligned} = \int \frac{\sqrt{\sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{\sqrt{\sqrt{x} (1 - \sqrt{x})}}{x^{\frac{3}{4}}} d x = \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}}} d x \\ = \int {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{- 3}{4}} d x = \int {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x \\ = - 2 \int {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot \underset{القوس داخل مشتقة}{\underset{⏟}{(- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}} d x = - 2 \frac{(1 - x^{{\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}} + c = - 4 \frac{{(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{3}{2}}}{3} + c \end{aligned}$

$x = \sqrt{x} \sqrt{x}$ لو كان السؤال أعلاه بالشكل التالي $\int \frac{\sqrt{x - \sqrt{x}}}{\sqrt[4]{x^{3}}} d x$

$\sqrt{x}$ نستخرجه عامل مشترك

$\begin{aligned} = \int \frac{\sqrt{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{4}}} \\ = \int \frac{\sqrt{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}}{x^{\frac{3}{4}}} d x = \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{x}}} d x \\ = \int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{- 3}{4}} d x = \int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x \\ = 2 \int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \underset{القوس داخل مشتقة}{\underset{⏟}{(\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}} d x = 2 \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c = 4 \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + c \end{aligned}$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\begin{aligned} \int (1 + \cos 3 x)^{2} d x \\ = \int (1 + 2 \cos 3 x + \cos^{2} 3 x) d x (\cos^{2} 3 x = \frac{1}{2} (1 + \cos 6 x)) \end{aligned} \begin{aligned} = \int (1 + 2 \cos 3 x + \frac{1}{2} (1 + \cos 6 x)) d x \\ = \int d x + \frac{1}{3} \int 2 \cos 3 x (3) d x + \frac{1}{2} [\int d x + \frac{1}{6} \int \cos 6 x (6) d x] \\ = [x + 2 \frac{\sin 3 x}{3} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin 6 x}{6})] + c = \frac{3}{2} x + \frac{2}{3} \sin 3 x + \frac{1}{12} \sin 6 x + c \end{aligned}$

$\int \sec^{2} 4 x d x$

$\int \sec^{2} 4 x d x = \frac{1}{4} \int \sec^{2} 4 x (4) d x = \frac{\tan 4 x}{4} + c$

$\int \csc^{2} 2 x d x$

$\int \csc^{2} 2 x d x = \frac{1}{2} \int \csc^{2} 2 x (2) d x = - \frac{\cot 2 x}{2} + c$

$\int \tan^{2} 8 x d x$

$\int \tan^{2} 8 x d x = \int (\sec^{2} 8 x - 1) d x = \frac{\tan 8 x}{8} - x + c$

$\int \frac{\sqrt{\cot 2 x}}{1 - \cos^{2} 2 x} d x$

$\int \frac{\sqrt{\cot 2 x}}{1 - \cos^{2} 2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot 2 x}}{\sin^{2} 2 x} (f (x) = \cot 2 x \Rightarrow f' (x) = - 2 \csc^{2} 2 x) \begin{aligned} = - \frac{1}{2} \int (\cot 2 x)^{\frac{1}{2}} (\csc^{2} 2 x) (- 2) d x \\ = - \frac{1}{2} \frac{(\cot 2 x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c = \frac{- 1}{3} (\cot 2 x)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{- 1}{3} \sqrt{(\cot^{3} 2 x)} + c \end{aligned}$

$\int \cos^{2} 2 x d x$

$\begin{aligned} \int \cos^{2} 2 x d x & = \int \frac{1}{2} (1 + \cos 4 x) d x = \frac{1}{2} [\int d x + \frac{1}{4} \int \cos 4 x (4) d x] \\ = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin 4 x}{4}) + c = \frac{1}{2} x + \frac{\sin 4 x}{8} + c \end{aligned}$

$\int \sin^{2} 8 x d x$

$\int \sin^{2} 8 x d x = \int \frac{1}{2} (1 - \cos 16 x) d x = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 16 x}{16}) + c = \frac{1}{2} x - \frac{\sin 16 x}{32}$

$\int \cos^{4} 3 x d x$

$\int \cos^{4} 3 x d x = \int {(\cos^{2} 3 x)}^{2} d x = \int {[\frac{1}{2} (1 + \cos 6 x)]}^{2} d x \begin{aligned} = \frac{1}{4} \int (1 + 2 \cos 6 x + \cos^{2} 6 x) d x (\cos^{2} 6 x = \frac{1}{2} (1 + \cos 12 x)) \\ = \frac{1}{4} \int (1 + 2 \cos 6 x + \frac{1}{2} (1 + \cos 12 x)) d x \\ = \frac{1}{4} \int d x + \frac{1}{6} \int 2 \cos 6 x (6) d x + \frac{1}{2} [\int d x + \frac{1}{12} \int \cos 12 x (12) d x] \end{aligned} \begin{aligned} = \frac{1}{4} [x + \frac{2 \sin 6 x}{6} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin 12 x}{12})] + c \\ = \frac{1}{4} x + \frac{1}{12} \sin 6 x + \frac{1}{8} x + \frac{1}{96} \sin 12 x + c \\ = \frac{3}{8} x + \frac{1}{12} \sin 6 x + \frac{1}{96} \sin 12 x + c \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-4)

تمارين (2-4)

(1)- جد تكاملات كل مما يلي ضمن مجال الدالة:

$\int \frac{{(2 x^{2} - 3)}^{2} - 9}{x^{2}} d x$

$\int \frac{(3 - \sqrt{5 x})^{7}}{\sqrt{7 x}} d x$

$\int \frac{\cos^{3} x}{1 - \sin x} d x$

$\int \csc^{2} x \cos x d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x}{{(3 x^{2} + 5)}^{4}} d x \end{aligned}$

$\int \sqrt[3]{x^{2} + 10 x + 25} d x$

$\begin{aligned} \int \sin^{3} x d x \end{aligned}$

$\int \frac{\cos \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}} d x$

$\int {(3 x^{2} + 1)}^{2} d x$

$\int \frac{\sqrt{\sqrt{x} - x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\int \sec^{2} 4 x d x$

$\int \csc^{2} 2 x d x$

$\int \tan^{2} 8 x d x$

$\int \frac{\sqrt{\cot 2 x}}{1 - \cos^{2} 2 x} d x$

$\int \cos^{2} 2 x d x$

$\int \sin^{2} 8 x d x$

$\int \cos^{4} 3 x d x$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-4)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-4)

تمارين (2-4)

(1)- جد تكاملات كل مما يلي ضمن مجال الدالة:

∫(2x2−3)2−9x2dx

∫(3−5x)77xdx

∫cos3⁡x1−sin⁡xdx

∫csc2⁡xcos⁡xdx

∫x(3x2+5)4dx

∫x2+10x+253dx

∫sin3⁡xdx

∫cos⁡1−x1−xdx

∫(3x2+1)2dx

∫x−xx34

∫(1+cos⁡3x)2dx

∫sec2⁡4xdx

∫csc2⁡2xdx

∫tan2⁡8xdx

∫cot⁡2x1−cos2⁡2xdx

∫cos2⁡2xdx

∫sin2⁡8xdx

∫cos4⁡3xdx

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-4)

النقاشات

$\int \frac{{(2 x^{2} - 3)}^{2} - 9}{x^{2}} d x$

$\int \frac{(3 - \sqrt{5 x})^{7}}{\sqrt{7 x}} d x$

$\int \frac{\cos^{3} x}{1 - \sin x} d x$

$\int \csc^{2} x \cos x d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x}{{(3 x^{2} + 5)}^{4}} d x \end{aligned}$

$\int \sqrt[3]{x^{2} + 10 x + 25} d x$

$\begin{aligned} \int \sin^{3} x d x \end{aligned}$

$\int \frac{\cos \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}} d x$

$\int {(3 x^{2} + 1)}^{2} d x$

$\int \frac{\sqrt{\sqrt{x} - x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\int \sec^{2} 4 x d x$

$\int \csc^{2} 2 x d x$

$\int \tan^{2} 8 x d x$

$\int \frac{\sqrt{\cot 2 x}}{1 - \cos^{2} 2 x} d x$

$\int \cos^{2} 2 x d x$

$\int \sin^{2} 8 x d x$

$\int \cos^{4} 3 x d x$