حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

التكامل غير المحدد

إذا كانت للدالة $f$ المستمرة على $[a, b]$ دالة مقابلة $F$ فإنه يوجد عدد لا نهائي من الدوال المقابلة للدالة $f$ كل منها يساوي $F + C$ حيث $C$ يمثل عدد ثابت والفرق بين أكثر من اثنين منها يساوي عدد ثابت.

تسمى مجموعة الدوال المقابلة $F + C$ بالتكامل غير المحدد للدالة $f$ المستمرة على الفترة $[a, b]$ ويرمز لها بالرمز $\int f (x) d x$ اذا كان رمز المتغير $x$ .
يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على صورة $\int f (x) d x = F (x) + C, C \in R$
عملية التكامل غير المحدد هو العملية المعاكسة لعملية التفاضل أي أحداهما تنهي دور الأخرى.

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + x + c = x^{3} + x^{2} + x + c$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x = \sin x + \frac{x^{- 1}}{- 1} + c = \sin x - x^{- 1} + c == \sin x - \frac{1}{x} + c$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x = \frac{1}{3} \int \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(3)}} (\csc 3 x \cot 3 x) d x = \frac{- \csc 3 x}{3} + c$

$\int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x$

$\begin{aligned} \int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x & = \int \frac{1}{a} \sin a x \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(a)}} d x + \int \frac{1}{3} \sec^{2} 3 x \cdot \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(a)}} d x \\ = \frac{- \cos a x}{a} + \frac{\tan 3 x}{3} + c \end{aligned}$

$\int (x + \sec x \tan x) d x$

$\int (x + \sec x \tan x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sec x + c$

$\int \sin (2 x + 4) d x$

$\int \sin (2 x + 4) d x = \frac{1}{2} \int \sin (2 x + 4) \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(2)}} d x = \frac{- 1}{2} \cos (2 x + 4) + c$

نلاحظ أن كل قوس مرفوع إلى أس يجب إتباع ما يأتي:

نرتب حدود القوس.
يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة.
عند التكامل نقوم بحذف المشتقة.

(2)- جد التكامل $\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x$

$\int [f (x)]^{2} f' (x) d x (أن أي) f' (x) = 2 x, f (x) = x^{2} + 3$

$\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x = \frac{{[x^{2} + 3]}^{3}}{3} + c$

المشتقة متوفرة إذن تكامل بصورة مباشرة.

ملاحظة:

$\int \sin x d x = - \cos x + c, \int \cos x d x = \sin x + c$

(3)- جد التكامل $\int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} (3 x + 4) d x$

$= \int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} \underset{2 \times نضرب}{\underset{⏟}{(3 x + 4)}} d x = \frac{1}{\underset{2 على قسمة}{\underset{⏟}{2}}} \int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} \underset{المشتقة}{\underset{⏟}{(6 x + 8)}} d x = \frac{1}{2} \frac{{(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{7}}{7} + c = \frac{1}{14} {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{7} + c$

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int \sin^{4} x \cos x d x$

$\int \sin^{4} x \cos x d x = \frac{\sin^{5} x}{5} + c \sin x \overset{مشتقها}{⟹} \cos x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x = \frac{\tan^{7} x}{7} + c \tan x \overset{مشتقها}{⟹} \sec^{2} x$

(5)- جد التكامل $\int x \sqrt{x^{2} + 2} d x$

$\int \frac{d x}{x^{\frac{2}{3}} {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}} = \int {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}}] \cdot \underset{3 على ونقسم نضرب}{\underset{⏟}{\frac{3}{3}}} = 3 \int \underset{القوس داخل مشتقة}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}} {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}} = 3 \frac{{(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = 6 \sqrt{1 + \sqrt[3]{x}} + c$

في الدوال المثلثية علينا مراعاة ما يأتي:

نرتب بحيث نضع الدالة المثلثية ثم المشتقة.
يجب أن تكون المشتقة للدالة المثلثية موجودة.

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int x^{2} s i n x^{3} d x$

$\int x^{2} \sin x^{3} d x = \int \sin x^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int \sin x^{3} \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{3 x^{2}}} d x = - \frac{1}{3} \cos x^{3} + c$

$\int s i n x c o s^{5} x d x$

$\begin{aligned} \int \sin x \cos^{5} x d x & = \int \cos^{5} x \sin x d x = \int [\cos x]^{5} \sin x d x] \cdot \frac{- 1}{- 1} \\ = - \int [\cos x]^{5} (- \sin x) d x = - \frac{[\cos x]^{6}}{6} + c \end{aligned}$

$\int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}} & = \int (1 + \tan x)^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} d x \\ = \int (1 + \tan x)^{- \frac{1}{2}} \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{\sec^{2} x}} d x = \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = 2 \sqrt{1 + \tan x} + c \end{aligned}$

$\int \tan x \sec^{4} x d x$

$\int \tan x \sec^{4} x d x = \int \sec^{4} x \tan x d x = \int \sec^{3} x \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{sen x \tan x}} d x = \frac{(\sec x)^{4}}{4} + c$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x = \int \tan^{6} x \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{\sec^{2} x}} d x = \frac{1}{7} \tan^{7} x + c$

$\int x \sqrt{x + 3} d x$

$\begin{aligned} \int x \sqrt{x + 3} d x & = \int x + 3 - 3 (\sqrt{x + 3}) d x = \int ((x + 3) - 3) (x + 3)^{\frac{1}{2}} d x \\ = \int (x + 3)^{\frac{3}{2}} d x - 3 \int (x + 3)^{\frac{1}{2}} d x = \frac{(x + 3)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3 \frac{(x + 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c \end{aligned}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

التكامل غير المحدد