للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (1-4)

(1)- احسب كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{- 2}^{2} (3 x - 2) d x$

$\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} (3 x - 2) d x & = {[\frac{3 x^{2}}{2} - 2 x]}_{- 2}^{2} \\ = [\frac{3 (2)^{2}}{2} - 2 (2)] - [\frac{3 (- 2)^{2}}{2} - 2 (- 2)] \\ = [6 - 4] - [6 + 4] = 2 - 10 = - 8 \end{aligned}$

$\int_{1}^{2} (x^{- 2} + 2 x + 1) d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{2} (x^{- 2} + 2 x + 1) d x & = {[\frac{x^{- 1}}{- 1} + x^{2} + x]}_{1}^{2} \\ = [\frac{- 1}{2} + (2)^{2} + 2] - [\frac{- 1}{1} + (1)^{2} + 1] \\ = [\frac{- 1}{2} + 6] - [- 1 + 1 + 1] = [\frac{- 1}{2} + 6] - [1] = \frac{9}{2} \end{aligned}$

$\int_{1}^{3} (x^{4} + 4 x) d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{3} (x^{4} + 4 x) d x & = {[\frac{x^{5}}{5} + 2 x^{2}]}_{1}^{3} \\ = [\frac{(3)^{5}}{5} + 2 (3)^{2}] - [\frac{1}{5} + 2 (1)^{2}] \\ = [\frac{243}{5} + 18] - [\frac{1}{5} + 2] = \frac{242}{5} + 16 = \frac{322}{5} \end{aligned}$

$\int_{0}^{2} | x - 1 | d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} | x - 1 | d x \\ | x - 1 | = {\begin{cases} x - 1 & x \geq 1 \\ - x + 1 & x < 1 \end{cases} \\ \int_{0}^{2} | x - 1 | d x = \int_{0}^{1} (- x + 1) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x \\ = {[\frac{- x^{2}}{2} + x]}_{0}^{1} + {[\frac{x^{2}}{2} - x]}_{1}^{2} = [\frac{- 1}{2} + 1] - [0] + [\frac{4}{2} - 2] - [\frac{1}{2} - 1] \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{aligned}$

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} (x + \cos x) d x$

$\begin{aligned} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} (x + \cos x) d x & = {[\frac{x^{2}}{2} + \sin x]}_{- \frac{π}{2}}^{0} = [\frac{(0)^{2}}{2} + \sin 0] - [\frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{2})] \\ = [0] - [\frac{\frac{π^{2}}{4}}{2} - \sin \frac{π}{2}] = - [\frac{π^{2}}{8} - 1] = - \frac{π^{2}}{8} + 1 \end{aligned}$

ملاحظة:

$\sin \frac{π}{2} = 1, \sin (- x) = - \sin x$

$\int_{3}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} d x$

$\begin{aligned} \int_{3}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} d x \\ = - \int_{2}^{3} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} d x = - \int_{2}^{3} \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} d x \\ = - \int_{2}^{3} (x^{2} + x + 1) d x = - {[\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x]}_{2}^{3} \\ = - [[\frac{(3)^{3}}{3} + \frac{(3)^{2}}{2} + 3] - [\frac{(2)^{3}}{3} + \frac{(2)^{2}}{2} + 2]] = - [\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 3] - [\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 2] \\ = - (\frac{54 + 27 + 18 - 16 - 12 - 12}{6}) = - \frac{59}{6} \end{aligned}$

$\int_{1}^{3} \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 5}{x^{2}} d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{3} \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 5}{x^{2}} d x & = \int_{1}^{3} \frac{2 x^{3}}{x^{2}} - \frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} d x = \int_{1}^{3} 2 x - 4 + 5 x^{- 2} d x \\ = {[x^{2} - 4 x + \frac{5 x^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{3} = {[x^{2} - 4 x - \frac{5}{x}]}_{1}^{3} \\ = [9 - 12 - \frac{5}{3}] - [1 - 4 - 5] = [- 3 - \frac{5}{3}] - 8 \\ = - \frac{14}{3} + 8 = \frac{- 14 + 24}{3} = \frac{10}{3} \end{aligned}$

(2)- أثبت أن $F (x)$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x)$ حيث $F : [0, \frac{π}{6}] \to R$ حيث $F (x) = \sin x + x$

$f (x) = 1 + \cos x$ حيث $f : [0, \frac{π}{6}] \to R$ ثم أحسب $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x$ .

لكي نثبت أن $F (x)$ دالة مقابلة للدالة $f (x)$

$\begin{aligned} F (x) = \sin x + x \\ F (x) = \cos x + 1 \\ F (x) = \cos x + 1 = f (x) \end{aligned}$

الدالة $F (x)$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x)$

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x = F (\frac{π}{6}) - F (0) = \sin \frac{π}{6} + \frac{π}{6} - [\sin 0 - 0] = \frac{1}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 + π}{6}$

(3)- أوجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{1}^{4} (x - 2) (x + 1)^{2} d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{4} (x - 2) (x + 1)^{2} d x = \int_{1}^{4} (x - 2) (x^{2} + 2 x + 1) d x \\ = \int_{1}^{4} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2) d x = \int_{1}^{4} (x^{3} - 3 x - 2) d x \\ {= [\frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{2} x^{2} - 2 x]}_{1}^{4} = [\frac{4^{4}}{4} - \frac{3}{2} (16) - 8] - [\frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2] \end{aligned}$

$\int_{- 1}^{1} | x + 1 | d x$

$\int_{- 1}^{1} | x + 1 | d x | x + 1 | = {\begin{array}{cc} x + 1 & x \geq - 1 \\ - x - 1 & x < - 1 (الفترة خارج) \end{array}$

لذا في هذه الحالة نأخذ الجزء الموجب فقط.

$\int_{- 1}^{1} | x + 1 | d x = \int_{- 1}^{1} (x + 1) d x = {[\frac{x^{2}}{2} + x]}_{- 1}^{1} = [\frac{1}{2} + 1] - [\frac{1}{2} - 1] = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

$\int_{2}^{3} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} d x$

$\begin{aligned} \int_{2}^{3} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} d x \\ = \int_{2}^{3} \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} d x = \int_{2}^{3} \frac{(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} d x \\ = \int_{2}^{3} (x + 1) (x^{2} + 1) d x = \int_{2}^{3} (x^{3} + x + x^{2} + 1) d x \\ = {[\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + x]}_{2}^{3} = [\frac{3^{4}}{4} + \frac{3^{2}}{2} + \frac{3^{3}}{3} + 3] - [\frac{16}{4} + \frac{4}{2} + \frac{8}{3} + 2] \\ = [\frac{81}{4} + \frac{9}{2} + 12] - [8 + \frac{8}{3}] = \frac{81}{4} + \frac{9}{2} + 12 - 8 - \frac{8}{3} = \frac{81}{4} + \frac{9}{2} + 4 - \frac{8}{3} \\ = \frac{243 + 54 + 48 - 32}{12} = \frac{313}{12} \end{aligned}$

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)^{2} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)^{2} d x = \int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 4 \sqrt{x} + 4) d x \\ = \int_{0}^{1} (x \sqrt{x} + 4 x + 4 \sqrt{x}) d x = \int_{0}^{1} (x (x)^{\frac{1}{2}} + 4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) d x \\ = \int_{0}^{1} ((x)^{\frac{3}{2}} + 4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) d x = {[\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1} \\ = [\frac{2}{5} + 2 + \frac{8}{3}] - [0] = \frac{6 + 30 + 40}{15} = \frac{76}{15} \end{aligned}$

(4)- إذا كانت $f (x) = {\begin{cases} 2 x & \forall x \geq 3 \\ 6 & \forall x < 3 \end{cases}$ جد $\int_{1}^{4} f (x) d x$

لنبرهن أن الدالة $f (x)$ مستمرة على الفترة $[1, 4]$

$1) f (3) = 2 (3) = 6 (معرفة) 2) lim_{x \to 3} f (x) = {\begin{cases} lim_{x \to 3^{+}} 2 x = 6 = L_{1} \\ lim_{x \to 3^{-}} 6 = 6 = L_{2} \end{cases} L_{1} = L_{2} (موجودة الغاية) 3) lim_{x \to 3} f (x) = f (x) = 6 (مستمرة الدالة) \begin{aligned} \int_{1}^{4} f (x) d x & = \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{3}^{4} f (x) d x = \int_{1}^{3} 6 d x + \int_{3}^{4} 2 x d x \\ = [6 x]_{1}^{3} + {[x^{2}]}_{3}^{4} = [18 - 6] + [16 - 9] = 12 + 7 = 19 \end{aligned}$

(5)- إذا كانت $f (x) = {\begin{array}{cc} 3 x^{2} & \forall x \geq 0 \\ 2 x & \forall x < 0 \end{array}$ فأوجد $\int_{- 1}^{3} f (x)$

نبرهن أن الدالة مستمرة على الفترة $[- 1, 3]$

$1) f (0) = 3 (0)^{2} = 0 2) lim_{x \to 0} f (x) = {\begin{cases} lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2} = 3 (0)^{2} = 0 = L_{1} \\ lim_{x \to 3^{-}} 2 x = 2 (0) = 0 = L_{2} \end{cases} L_{1} = L_{2} (موجودة الغاية) 3) lim_{x \to 0} f (x) = f (0) = 0 \begin{aligned} \end{aligned} \int_{- 1}^{3} f (x) = \int_{- 1}^{0} 2 x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} = {[x^{2}]}_{- 1}^{0} + {[x^{3}]}_{0}^{3} = [0 - 1] + [27 - 0] = - 1 + 27 = 26$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-4)

تمارين (1-4)

(1)- احسب كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{- 2}^{2} (3 x - 2) d x$

$\int_{1}^{2} (x^{- 2} + 2 x + 1) d x$

$\int_{1}^{3} (x^{4} + 4 x) d x$

$\int_{0}^{2} | x - 1 | d x$

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} (x + \cos x) d x$

$\int_{3}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} d x$

$\int_{1}^{3} \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 5}{x^{2}} d x$

(2)- أثبت أن $F (x)$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x)$ حيث $F : [0, \frac{π}{6}] \to R$ حيث $F (x) = \sin x + x$

$f (x) = 1 + \cos x$ حيث $f : [0, \frac{π}{6}] \to R$ ثم أحسب $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x$ .

(3)- أوجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{1}^{4} (x - 2) (x + 1)^{2} d x$

$\int_{- 1}^{1} | x + 1 | d x$

$\int_{2}^{3} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} d x$

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)^{2} d x$

(4)- إذا كانت $f (x) = {\begin{cases} 2 x & \forall x \geq 3 \\ 6 & \forall x < 3 \end{cases}$ جد $\int_{1}^{4} f (x) d x$

(5)- إذا كانت $f (x) = {\begin{array}{cc} 3 x^{2} & \forall x \geq 0 \\ 2 x & \forall x < 0 \end{array}$ فأوجد $\int_{- 1}^{3} f (x)$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج1

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج2

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج3

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج4

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-4)

تمارين (1-4)

(1)- احسب كلاً من التكاملات الآتية:

∫−22(3x−2)dx

∫12(x−2+2x+1)dx

∫13(x4+4x)dx

∫02|x−1|dx

∫−π20(x+cos⁡x)dx

∫32x3−1x−1dx

∫132x3−4x2+5x2dx

(2)- أثبت أن F(x) هي دالة مقابلة للدالة f(x) حيث F:[0,π6]→R حيث F(x)=sin⁡x+x

f(x)=1+cos⁡x حيث f:[0,π6]→R ثم أحسب ∫0π6f(x)dx.

(3)- أوجد كلاً من التكاملات الآتية:

∫14(x−2)(x+1)2dx

∫−11|x+1|dx

∫23x4−1x−1dx

∫01x(x+2)2dx

(4)- إذا كانت f(x)={2x∀x≥36∀x<3 جد ∫14f(x)dx

(5)- إذا كانت f(x)={3x2∀x≥02x∀x<0 فأوجد ∫−13f(x)

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج1

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج2

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج3

فيديو شرح درس تمارين (1-4) ج4

النقاشات

$\int_{- 2}^{2} (3 x - 2) d x$

$\int_{1}^{2} (x^{- 2} + 2 x + 1) d x$

$\int_{1}^{3} (x^{4} + 4 x) d x$

$\int_{0}^{2} | x - 1 | d x$

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} (x + \cos x) d x$

$\int_{3}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} d x$

$\int_{1}^{3} \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 5}{x^{2}} d x$

(2)- أثبت أن $F (x)$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x)$ حيث $F : [0, \frac{π}{6}] \to R$ حيث $F (x) = \sin x + x$

$f (x) = 1 + \cos x$ حيث $f : [0, \frac{π}{6}] \to R$ ثم أحسب $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (x) d x$ .

$\int_{1}^{4} (x - 2) (x + 1)^{2} d x$

$\int_{- 1}^{1} | x + 1 | d x$

$\int_{2}^{3} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} d x$

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)^{2} d x$

(4)- إذا كانت $f (x) = {\begin{cases} 2 x & \forall x \geq 3 \\ 6 & \forall x < 3 \end{cases}$ جد $\int_{1}^{4} f (x) d x$

(5)- إذا كانت $f (x) = {\begin{array}{cc} 3 x^{2} & \forall x \geq 0 \\ 2 x & \forall x < 0 \end{array}$ فأوجد $\int_{- 1}^{3} f (x)$