للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد إن وجدت مناطق التزايد والتناقص والنقط الحرجة وقيم نقاط النهايات للدوال الآتية:

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x (f^{'} (x) = 0 (نجعل)) \\ 3 x^{2} - 6 x = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \\ either x = 2 \Rightarrow y = - 4 or x = 0 \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$

النقط الحرجة هي $(2, - 4), (0, 0)$
النقطة $(0, 0)$ نهاية عظمى محلية وقيمة النهاية العظمى المحلية تساوي $(0)$
النقطة $(2, - 4)$ نهاية صغرى محلية وقيمة النهاية الصغرى المحلية تساوي $(- 4)$
مناطق التزايد ${x : x > 2}, {x : x < 0}$
مناطق التناقص = الفترة $(0, 2)$

الشكل

$f (x) = 2 x + 3$

$f^{'} (x) = 2 (f^{'} (x) = 0 (جعل يمكن لا)) 0 \neq 2$

لا توجد نقط حرجة.

مناطق التزايد ${x : \forall x \in R}$

الشكل

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{(x^{2} - 4) 2 x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0 \Rightarrow - 10 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = \frac{- 1}{4} \end{aligned}$

النقطة الحرجة $(0, - \frac{1}{4})$ تمثل نهاية عظمي محلية.

قيمة النهاية العظمي المحلية = $- \frac{1}{4}$

مناطق التزايد:

${\begin{matrix} x : x < - 2 \\ (- 2, 0) (الفترة) \end{matrix}$

مناطق التناقص:

${\begin{matrix} x : x > 2 \\ (0, 2) (الفترة) \end{matrix}$

الشكل

(2)- إذا كانت $f (x) = 3 + b x + c x^{2}$ تمتلك نقطة حرجة هي $(1, 4)$ جد قيمة $b \in R$ ثم بين نوع النقطة الحرجة.

$\begin{aligned} f (x) = 3 + b x + c x^{2} \\ f^{'} (x) = b + 2 c x (f^{'} (x) = 0 (الحرجة عند)) \\ b + 2 c x = 0 (x = 1 (عند)) \end{aligned} \begin{aligned} b + 2 c = 0 \dots \dots (1) \\ f (x) = 3 + b x + c x^{2} (المعادلة تحقق (1, 4)) \\ 4 = 3 + b + c \Rightarrow b + c = 1 . . . (2) \\ b + 2 c = 0 \dots \dots (1) \\ \mp b \mp c = \mp 1 \dots . . (2) (بالطرح) \end{aligned} \begin{aligned} c = - 1 \\ b - 1 = 1 \Rightarrow b = 2 \\ f^{'} (x) = 2 - 2 x (f^{'} (x) = 0 (نجعل)) \\ 2 - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$

$(1, 4)$ نهاية عظمى محلية.

الشكل

(3)- إذا كانت $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ جد قيمة $a, b$ إذا علمت أن للمنحني نقطة انقلاب $(1, 2)$

$(1, 2)$ تحقق معادلة المنحني

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x^{2} \\ 2 = a (1)^{3} + b (1)^{2} \Rightarrow a + b = 2 \dots \dots \dots (1) \\ f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x \\ f^{''} (x) = 6 a x + 2 b (f^{''} (x) = 0) (x = 1 (عند)) \\ 6 a + 2 b = 0] \div 2 \Rightarrow 3 a + b = 0 \dots \dots \dots (2) \end{aligned} \begin{aligned} a + b = 2 \dots \dots \dots (1) \\ \mp 3 a \mp b = 0 \dots \dots (2) (بالطرح) \end{aligned} \begin{aligned} - 2 a = 2 \Rightarrow a = - 1 ((1) معادلة في a قيمة نعوض) \\ - 1 + b = 2 \Rightarrow b = 3 \end{aligned}$

(4)- إذا علمت أن للدالة $f (x) = a x^{3} + b x$ حيث $a, b \in R$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(- 1, 2)$ جد قيمة $a, b$

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x \Rightarrow f (x) = 3 a x^{2} + b \\ f' (- 1) = 3 a (- 1)^{2} + b \Rightarrow 3 a + b = 0 . . . . (1) \end{aligned}$

$\exists (- 1, 2) ∵$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x \\ 2 = a (- 1)^{3} + b (- 1) \Rightarrow 2 = - a - b \dots . (2) \end{aligned} \begin{aligned} 3 a + b = 0 . . . . (1) \\ - a - b = 2 . . . . (2) (بالجمع) \\ 2 a = 2 \Rightarrow∴ a = 1 ((1) معادلة في نعوض) \\ 3 (1) + b = 0 \Rightarrow 3 + b = 0 \Rightarrow b = - 3 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة