للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التقريب باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة (نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة)

إذا كانت $f$ دالة مستمرة ومعرفة على $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ولو اعتبرنا $(h = b - a)$ فإن $b = a + h$ حيث $h \neq 0, h \in R$ فإنه بموجب مبرهنة القيمة المتوسطة نحصل على

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{h} \Rightarrow f' (c) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \Rightarrow f (a + h) ≅ f (a) + h f' (c)$

وعندما يكون اقتراب $b$ من $a$ قرباً كافياً تكون في هذه الحالة $h$ صغيرة ويصبح الوتر صغيراً ونهايته قريبتان من $a$ ، أي أن المماس عند $c$ سيكون مماساً للمنحني عند نقطة قريبة جداً من النقطة $(x = a)$ ولذلك يصبح:

$f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a)$ ويقال لـ $h f' (a)$ التغيير التقريبي للدالة.

ملاحظة: لإيجاد القيمة التقريبية باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة تتبع ما يلي:

نفرض دالة على شكل السؤال ونختار قيمة لـ $a$ قريبة من القيمة المعطاة في السؤال بحيث تخرج $f (a)$ مضبوطة ونجد $f (a)$
نجد قيمة $h$ حيث $h = b - a$
نجد $f' (a)$
نطبق القانون $f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a)$ حيث $h f' (a)$ هو التغيير التقريبي للدالة.

النوع الأول: عندما تكون الدالة موجودة في السؤال

(1)- إذا كان $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 5$ فجد بصورة تقريبية $f (1.001)$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

$a = 1 \begin{aligned} b = 1.001 \\ h = b - a \Rightarrow 1.001 - 1 = 0.001 \\ f (a) = a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5 \\ f (1) = 1 + 3 + 4 + 5 = 13 \\ f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 4 \Rightarrow f' (1) = 3 + 6 + 4 = 13 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f (a) \\ f (1 + 0.001) ≅ f (1) + (0.001) f' (1) \Rightarrow f (1.001) ≅ 13 + (0.001) (13) \\ f (1.001) ≅ 13 + (0.013) ≅ 13.013 \end{aligned}$

النوع الثاني: عندما تكون الدالة غير موجودة في السؤال

(2)- جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة تقريباً مناسباً للعدد $\sqrt{26}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

$\begin{aligned} a = 25 \\ b = 26 \\ h = b - a = 26 - 25 = 1 \\ f' (x) = \sqrt{x} \\ f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (a) = \sqrt{a} \Rightarrow f (25) = \sqrt{25} = 5 \\ f' (a) = \frac{1}{2 \sqrt{a}} = \frac{1}{2 \sqrt{25}} = \frac{1}{2 (5)} = \frac{1}{10} = 0.1 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (25 + 1) ≅ f (25) + (1) f' (25) \Rightarrow f (26) ≅ 5 + (1) (0.1) = 5.1 \end{aligned}$

(3)- إذا كانت $f (x) = \sqrt[3]{3 x + 5}$ جد قيمة تقريبية للدالة $f (1.002)$

$\begin{aligned} a = 1 (نفرض) \\ b = 1.002 \\ h = b - a = 1.002 - 1 = 0.002 \end{aligned} \begin{aligned} f (x) = \sqrt[3]{3 x + 5} \\ f^{'} (x) = \frac{3}{3 \sqrt[3]{(3 x + 5)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 x + 5)^{2}}} \\ f (a) = \sqrt[3]{3 (1) + 5} = \sqrt[3]{8} = 2 \\ f^{'} (a) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 a + 5)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 (1) + 5)^{2}}} = \frac{1}{(2)^{2}} = \frac{1}{4} = 0.25 \\ h f^{'} (a) = (0.002) (0.25) = 0.00050 = 0.0005 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f^{'} (a) \Rightarrow f (1 + 0.002 + h) ≅ 2 + 0.0005 ≅ 2.0005 \end{aligned}$

(4)- جد التغيير التقريبي $\sqrt[5]{(0.98)^{3}} + (0.98)^{4} + 3$

$\begin{aligned} a = 1 (نفرض) \\ b = 0.98 \\ h = b - a = 0.98 - 1 = - 0.02 \\ y = \sqrt[5]{x^{3}} + x^{4} + 3 = x^{\frac{3}{5}} + x^{4} + 3 \\ y^{'} = \frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}} + 4 x^{3} \\ f^{'} (a) = f^{'} (1) = \frac{3}{5} (1)^{\frac{- 2}{5}} + 4 (1)^{3} = \frac{3}{5} + 4 = 4.6 \\ h f^{'} (a) = - 0.02 (4.6) = - 0.092 \end{aligned}$

(5)- أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها يساوي نصف قطر قاعدتها حجمها $124 π$ جد نصف قطر قاعدتها بصورة تقريبية.

الارتفاع يساوي نصف القطر $h = r$

$\begin{aligned} v = π r^{2} h \Rightarrow r = π r^{2} \cdot r \Rightarrow v = π r^{3} \Rightarrow 124 π = π r^{3} \\ r^{3} = 124 \Rightarrow v = \sqrt[3]{124} \\ a = 125 (نفرض) \\ b = 124 \\ h = b - a = 124 - 125 = - 1 \\ f (x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f (x)^{'} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \\ f (a) = f (125) = \sqrt[3]{125} = 5 \\ f^{' (a)} = f^{' (125)} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{(125)^{2}}} = \frac{1}{3 (5)^{2}} = \frac{1}{75} = 0.013 \end{aligned} \begin{aligned} h f^{'} (a) = (- 1) \cdot (0.013) = - 0.013 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f^{'} (a) ≅ 5 - 0.013 ≅ 4.987 \end{aligned}$

ملاحظة: إذا كان المطلوب إيجاد حجم المادة أو كمية المادة نكتفي بإيجاد $h f^{'} (a)$ أي التغير التقريبي.

ثالثاً: عندما يكون في السؤال عبارة من قانون مساحة أو حجم أو ما شابه ذلك.

(6)- كرة مجوفة قطرها $3 c m$ وسمك الغلاف $0.2 c m$ جد حجم المادة المصنوعة منها.

$\begin{aligned} a = 3 \\ h = 0.2 \\ v = \frac{4}{3} r^{3} π \\ f (x) = \frac{4 π}{3} x^{3} \Rightarrow f (x)^{'} = 4 π x^{2} \\ f^{'} (a) = f^{'} (3) = 4 π (3)^{2} = 36 π \\ h f^{'} (a) = (0.2) (36 π) = 7.2 π (المصنوعة المادة حجم) \end{aligned}$

(7)- مكعب طول حرفه $9.98 c m$ جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

ليكن $v$ حجم المكعب الذي طول حرفه $x$

$\begin{aligned} v (x) = x^{3} \\ {\begin{array}{c} b = 9.98 \\ a = 10 \end{array} \Rightarrow h = b - a = 9.98 - 10 = - 0.02 \\ v (10) = 10^{3} = 1000 \\ v (a) = a^{3} \\ v^{'} (a) = 3 a^{2} \Rightarrow v^{'} (10) = 3 (10)^{2} = 300 \\ v (a + h) ≅ v (a) + h v^{'} (a) \\ v (10 + (- 0.02)) ≅ v (10) + (- 0.02) v^{'} (a) \\ v (9.98) ≅ 1000 + (- 0.02) (300) ≅ 994 {cm}^{3} \end{aligned}$

(8)- لتكن $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ فإذا تغيرت $x$ من $8$ الى $8.06$ فما مقدار التغيير التقريبي للدالة.

$a = 8, b = 8.06$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac{2}{3}} \\ f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \end{aligned} \begin{aligned} h = b - a = 8.06 - 8 = 0.06 \\ f' (a) = f' (8) = \frac{2}{3} \sqrt[3]{8} = \frac{2}{3 (2)} = \frac{1}{3} \\ h f' (a) ≅ (0.06) (\frac{1}{3}) ≅ 0.02 (التقريبي التغير مقدار) \end{aligned}$

(9)- يراد طلاء مكعب طول حرفه $10 c m$ فإذا كان سمك الطلاء $0.15 c m$ أوجد حجم الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة

سمك الطلاء = $0.3 = 0.15 + 0.15$

ليكن $v$ حجم المكعب الذي طول حرفه $x$

طول حرف المكعب مع الطلاء $b = 10.3$

نفرض $a = 10$ أقرب رقم للعدد المعطى

$\begin{aligned} h = b - a = 10.3 - 10 = 0.3 \\ v (x) = x^{3} \Rightarrow v' (x) = 3 x^{2} \\ v' (a) = 3 a^{2} \Rightarrow v^{'} (10) = 3 (10)^{2} = 300 \\ h v' (a) ≅ h v' (10) = (0.3) (300) ≅ 90 {cm}^{3} (تقريبية بصورة الطلاء حجم) \end{aligned}$

(10)- باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقربا لثلاث مراتب عشرية على الأقل كلاً مما يأتي:

$\sqrt[3]{7.8}$

$\begin{aligned} a = 8 (نفرض) \\ b = 7.8 \\ h = b - a = 7.8 - 8 = - 0.2 \\ f (x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \\ f' (a) = f' (8) = \sqrt[3]{8} = 2 \\ f' (a) = f' (8) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{(8)^{2}}} = \frac{1}{3 (2)^{2}} = \frac{1}{12} = 0.083 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) ⟹ f (8 + (- 0.2)) ≅ f (8) + (- 0.2) f' (8) \\ f (7.8) ≅ 2 - (0.2) (0.083) ≅ 2 - 0.0166 ≅ 1.9834 \end{aligned}$

$\sqrt{17} + \sqrt[4]{17}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى

$\begin{aligned} a = 16 \\ b = 17 \\ h = 17 - 16 = 1 \end{aligned} \begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}} \\ f (16) = \sqrt{16} + \sqrt[4]{16} = 4 + 2 = 6 \\ f' (16) = \frac{1}{2 \sqrt{16}} + \frac{1}{4 \sqrt[4]{(16)^{3}}} = \frac{1}{2 (4)} + \frac{1}{4 (2)^{3}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{4 + 1}{32} = \frac{5}{32} = 0.156 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (17) ≅ f (16) + (1) f' (16) ≅ 6 + (1) (0.156) ≅ 6.156 \end{aligned}$

$\sqrt[3]{0.12}$

$\begin{aligned} a = 0.125 \\ b = 0.120 \\ h = b - a = 0.120 - 0.125 = - 0.005 \\ f (x) = \sqrt[3]{x} \\ f' (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \\ f (a) = f (0.125) = \sqrt[3]{0.125} = 0.5 \\ f' (a) = f' (0.125) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(0.125)^{2}} = \frac{1}{3 (0.5)^{2}} = \frac{1}{3 (0.25)} = \frac{1}{0.75} = 1.333 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (0.12) ≅ f (0.125) + (- 0.005) (1.333) \\ f (0.12) ≅ 0.5 - 0.006665 ≅ 0.493335 \end{aligned}$

(11)- مخروط دائري قائم ارتفاعه ثلاثة أمثال نصف قطره فإذا كان نصف قطره $1.90$ جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

$\begin{aligned} a = 2 (نفرض) \\ b = 1.9 \\ h = b - a = 1.9 - 2 = - 0.1 \\ h = 3 (r) \Rightarrow h = 3 r \\ v = \frac{π}{3} r^{2} h \Rightarrow v = \frac{π}{3} r^{2} .3 r \Rightarrow v = π r^{3} \\ v = π x^{3}, v^{'} = 3 x^{2} π \\ f (a) = f (2) = π (2)^{3} = 8 π \end{aligned} \begin{aligned} f^{'} (a) = f^{'} (2) = 3 π (2)^{2} = 12 π \\ f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) \\ f (2 + (- 0.1)) = 8 π + (- 0.1) 12 π = 8 π - 1.2 π = 6.8 π \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التقريب باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة (نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة)