حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الإسقاط العمودي على مستو

1. مسقط نقطة على مستوٍ: هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي.

2. مسقط مجموعة نقط على مستوي: لتكن $L$ مجموعة من نقاط في الفراغ فإن مسقطها هو مجموع كل آثار الأعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي.

3. مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستوٍ معلوم: هي قطعة المستقيم المحددة بأثري العمودين المرسومين من نهايتي القطعة المستقيمة على المستوي المعلوم.

الشكل

ليكن $\bar{A B}$ غير عمودي على $(X)$
وليكن $\Leftarrow \bar{A C} ⊥ (X)$ مسقط $A$ على $(X)$ هو $C$
$\Leftarrow \bar{B D} ⊥ (X)$ مسقط $B$ على $(X)$ هو $D$
مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ هو $\bar{C D}$

ملاحظة:

إذا كان $\bar{A B} / / (X)$ فإن $AB = CD$

4. المستقيم المائل على مستو: هو المستقيم غير العمودي على المستوي وقاطع له.

5. زاوية الميل: هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي.

الشكل

ليكن $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ مائلاً على $(X)$ في $B$ ليكن $\bar{A C} ⊥ (X)$ في $C$
$C ∴$ مسقط $A$ على $(X)$ حيث $A \notin (X)$
كذلك $B$ مسقط نفسها حيث $B \in (X)$
$\bar{B C}$ مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ أي أن $θ \in (0, 90^{\circ}), 0 < θ < 90^{\circ}$

6. طول المسقط: طول مسقط قطعة مستقيم على مستوٍ = طول المائل × جيب تمام زاوية الميل فعندما تكون $\bar{A B}$ مائلاً على $(X)$ وزاوية ميله $θ$ ومسقطه $\bar{B C}$ $B C = A B \cos θ$

7. مسقط مستوى مائل على $(X)$ : زاوية ميل مستوي على مستوٍ معلوم هو قياس الزاوية المستوية العائدة للزاوية الزوجية بينهما.

مساحة مسقط منطقة مائلة على مستو معلوم = مساحة المنطقة المائلة × جيب تمام زاوية الميل.

لتكن $A$ مساحة المنطقة المائلة، ' $A'$ مساحة المسقط و $θ$ قياس زاوية الميل $A^{'} = A \cdot \cos θ$

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

الشكل

المعطيات:

$<) A B C$ قائمة في $B$
$\bar{A B} / / (X)$
$\bar{A' B'}$ هو مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$
$\bar{B' C'}$ هو مسقط $\bar{B C}$ على $(X)$

المطلوب إثباته: $\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'}$

البرهان:

$\bar{A' B'}$ مسقط $\bar{A B}$ (معطى).
$\bar{B' C'}$ مسقط $\bar{B C}$ (معطى).
$\bar{C C'}, \bar{B B'}, \bar{A A'} ⊥ (X) \Leftarrow$
(مسقط قطعة مستقيم على مستوٍ معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة).
$\bar{C C'} / / \bar{B B'}, \bar{A A'} / / \bar{B B'}$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان).
بالمستقيمين المتوازيين $C C', B B'$ نعين $(Z)$
بالمستقيمين المتوازيين $A A', B B'$ نعين $(Y)$
(لكل مستقيمين متوازيين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
لكن $\bar{A B} / / (X)$ (معطی).
$(Y) \cap (X) = A' B'$ (يتقاطع المستويان بخط مستقيم).
$\bar{A B} / / \bar{A' B'} ⟸$ (إذا وازی مستقيم مستوياً معلوماً فإنه يوازي جميع المستقيمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي والمستويات التي تحوي المستقيم).
كذلك $\bar{B B'} ⊥ \bar{A' B'}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
$\bar{A B} ⊥ \bar{B B'}$ (في المستوى الواحد: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
لكن $\bar{A B} ⊥ \bar{B C}$ (لأن ° $m <) A B C = 90^{\circ}$ معطی).
$\bar{A' B'} ⊥ (Z) ⟸$ (المستوي العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
$\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'} ∴$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

(2)- $A B C$ مثلث، $\bar{B C} \subset (X)$ والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث $(A B C)$ والمستوي $(X)$ قياسها $60 °$ فإذا كان $A B = A C = 13 cm, B C = 10 cm$ جد مسقط المثلث $(A B C)$ على ( $(X)$ ثم جد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

الشكل

المعطيات:

$△ A B C, \bar{B C} \subset (X)$

قياس $A B C - \bar{B C} - (X) = 60^{\circ}$

$B C = 10 cm, AB = A C = 13 cm$

المطلوب إثباته: إيجاد مسقط $△ A B C$ على $(X)$ وإيجاد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

البرهان: نرسم $\bar{A D} ⊥ (X)$ في $D$ (يمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة).

$\bar{CD}$ مسقط $\bar{AC}$
$\bar{BD}$ مسقط $\bar{AB}$
$\bar{B C}$ مسقط نفسه على $(X)$
(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوى من طريق القطعة المستقيمة).
$△ B C D ∴$ مسقط $△ A B C$ على $(X)$
في $(A B C)$ نرسم $\bar{B C} ⊥ \bar{A E}$ في $E$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم عمود على آخر من نقطة معلومة).
$A C = A B ∵$ (معطی)
$E C = B E = 5 cm ∴$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\bar{E D} ⊥ \bar{B C} ∴$ (نتيجة مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$<) D E A ∴$ عائدة للزوجية $\bar{B C}$ (تعريف الزاوية العائدة).
لكن قياس الزاوية الزوجية $\bar{B C} = 60^{\circ}$ (معطی).
في $△ A E B$ القائم في $E$ :
$A E = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
في $△ A E D$ القائم في $D$ :
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} = \frac{E D}{A E} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{E D}{12} \Rightarrow E D = 6 cm \\ B C D (المثلث مساحة) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
(و. هـ. م).

ملاحظة: لو طلب مساحة المسقط فقط فيمكن إيجاده كالآتي:

$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} \times A B C (مساحة) = B C D (مساحة) \\ = \frac{1}{2} \times (12 \times 10 \times \frac{1}{2}) = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$

(و. هـ. م).

ملاحظة: كل سؤال يعطي فيه زاوية زوجية علينا اتباع الآتي:

معرفة مستقيم تقاطع المستويين الذي هو حرف الزاوية الزوجية.
نرسم عمود على حرف الزاوية الزوجية والعمود الآخر نستنتجه من مبرهنة الأعمدة الثلاث.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الإسقاط العمودي على مستو

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الإسقاط العمودي على مستو ج1

فيديو شرح درس الإسقاط العمودي على مستو ج2

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الإسقاط العمودي على مستو

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

(2)- ABC مثلث، BC¯⊂(X) والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث (ABC) والمستوي X قياسها 60° فإذا كان AB=AC=13cm,BC=10cm جد مسقط المثلث (ABC) على (X ثم جد مساحة مسقط △ABC على X.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الإسقاط العمودي على مستو ج1

فيديو شرح درس الإسقاط العمودي على مستو ج2

النقاشات