حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

التغير

التغير Variation: التغير ثلاث أنواع ويحصل بين متغيرين أو أكثر فإذا حصل تغير في إحداها تبعها تغير في الآخر إذا كان متغيرين أو أكثر.

أولاً: التغير الطردي:

تعريف: إذا كان x,y متغيرين وإن K عدداً ثابتاً موجباً وكان y=kx فإننا نقول أن (y) تتغير طردياً تبعاً للمتغير (x) وتكتب: $Y \propto X$ تقرأ y تتغير طردياً مع x ويسمى x المتغير المستقل ويسمى y المتغير التابع.

$y \propto x \Leftrightarrow y = K x$

(1)- إذا كان لا يتغير طردياً تبعاً لـ (x) وكان y=15 عندما يكون 7=x فجد قيمة x عندما يكون y=30

$y = K x$ حيث k ثابت $K \in R^{+}$

$\begin{aligned} 15 = K (7) \Rightarrow K = \frac{15}{7} (التغير ثابت) \\ y = \frac{15}{7} \times \Rightarrow 30 = \frac{15}{7} x \\ ∴ x = \frac{7 \times 30}{15} = 14 \end{aligned}$

ملاحظة: لحل مسائل التغير يعوض قيمة x,y في العلاقة أولاً ثم نجد ثابت التغير K ثم نستخدم K في إيجاد المطلوب وذلك بتعويض القيمة المعلومة للمتغير في العلاقة نفسها ثانياً وتعويض K ثم نجد المطلوب.

طريقة التناسب:

إذا كان $y \propto x$ وأخذ المتغير القيمتين $x_{1}, x_{2}$ وتبعاً لذلك أخذ y القيمتين $y_{1}, y_{2}$ على الترتيب.

فان: $\frac{y_{2}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{x_{1}} أو \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}$ (تبديل الوسطين).

(2)- x,y متغیران حقيقيان مرتبطان بعلاقة ما فإن أخذت x القيمتين 1.6 ,5 وكانت قيمتا y المناظرتين لقيمتي x هما 4.8 , 15 فهل العلاقة بين x,y علاقة تغير طردي؟

$\begin{aligned} x_{1} = 1.6, y_{1} = 4.8 \Rightarrow \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{4.8}{1.6} = 3 \\ x_{2} = 5, y_{2} = 15 \Rightarrow \frac{y_{2}}{x_{2}} = \frac{15}{5} = 3 \end{aligned}$

العلاقة بين x,y تغير طردي $\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \to$ أما إذا كانت $\frac{y_{1}}{x_{1}} \neq \frac{y_{2}}{x_{2}}$ فالعلاقة بين x,y ليست علاقة تغير طردي.

ثانياً: التغير العكسي:

تعريف: إذا كان x,y متغيرين وكان K عدد حقيقي موجب (ثابت التغير) وكان $y = k \cdot \frac{1}{x}$ فإن y تتغير عكسياً تبعاً لـ (x) وتكتب: $y \propto \frac{1}{x} \leftrightarrow y = K \frac{1}{x}$ وتقرأ: y تتغير تغيراً عكسياً تبعاً للمتغير x.

(3)- إذا كان y تتغير عكسياً تبعا لـ (x) وكانت $y = 3 x = 20$ فأوجد قيمة y عندما 6=x

$\begin{aligned} y & \propto \frac{1}{x} \\ ∴ y & = \frac{K}{x}, K \in R^{+} \\ 3 & = \frac{K}{20} \Rightarrow K = 60 التغير ثابت \\ ∴ y & = \frac{60}{x} = \frac{60}{6} = 10 \end{aligned}$

طريقة التناسب:

$y \propto \frac{1}{x}$ وأخذ المتغير القيمتين $x_{1}, x_{2}$ وتبعاً لذلك أخذ y القيمتين $y_{1}, y_{2}$ على الترتيب.

فإن: $\frac{y_{2}}{x_{1}} = \frac{y_{1}}{x_{2}} أو \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}$

(4)- x,y متغيران حقیقیان مرتبطان بعلاقة ما فإذا أخذ المتغيران x,y القيمتين 21,15 على الترتيب وزادت قيمة المتغير x حتى أصبحت 35 ونقص تبعاً لذلك المتغير y فأصبح 8 هل $y \propto \frac{1}{x}$ ؟

$\begin{aligned} x_{1} = 15 y_{2} = 8 \Rightarrow \frac{y_{2}}{x_{1}} = \frac{8}{15} \\ x_{2} = 35 y_{1} = 21 \Rightarrow \frac{y_{1}}{x_{2}} = \frac{21}{35} = \frac{7}{3} ∴ \frac{y_{2}}{x_{1}} \neq \frac{y_{1}}{x_{2}} \end{aligned}$

y لا تتغير عكسيا تبعاً للمتغير x $\frac{x_{2}}{x_{1}} \neq \frac{y_{1}}{y_{2}}$

(5)- إذا كانت = $y \propto \frac{1}{z}, x \propto \frac{1}{y}$ فبرهن على أن $x \propto z$

البرهان:

$\begin{aligned} x \propto \frac{1}{y} \Rightarrow x = \frac{K}{y} \\ y \propto \frac{1}{z} \Rightarrow y = \frac{h}{z} \\ ∴ x = \frac{K}{y} = \frac{K}{\frac{h}{z}} = \frac{K}{h} z \Rightarrow x \propto z, \frac{K \in R^{+}}{h} \in R^{+} \end{aligned}$

ثالثاً: التغير المشترك:

تعريف: إذا كانت x,y,z ثلاث متغيرات فإذا كان:

x تتغير طردياً تبع y وx فتكتب $x \propto y . z$ ومنها x=Kyz حيث $K \in R^{+}$
x تغير طردياً تبع y وعكسياً تبع z فتكتب $x \propto \frac{y}{z}$ ومنها $x = K \frac{y}{z}$ حيث $K \in R^{+}$
x تغير عكسياً تبع y وطردياً تبع z فتكتب $x =\propto \frac{z}{y}$ ومنها $x = k \frac{z}{y}$ حيث $K \in R^{+}$
x تتغير عكسياً تبع y وz تكتب $x \propto \frac{1}{y z}$ ومنها $x = \frac{k}{y z}$ حيث $K \in R^{+}$ (K ثابت التغير).

(6)- إذا كانت y تتغير طردياً تبع x,z وكانت y=24 عندما z=4,x=3 جد قيمة x عندما y=30,z=15

$\begin{aligned} ∴ y = K z x \Rightarrow 24 = K (3) (4) \\ ∴ K = \frac{24}{12} = 2 التغير ثابت \\ ∴ y = 2 \times z \Rightarrow 30 = 2 \times (15) \Rightarrow x = 1 \\ X = \frac{y}{K z} \end{aligned}$

(7)- إذا كان $a \propto b$ برهن على أن $a^{2} + b^{2} \propto a b$

$∴ a \propto b \Rightarrow a = k b, K \in R^{+}$

ولإثبات أن $a^{2} + b^{2} \propto a b$ يجب أن نثبت $a^{2} + b^{2} = h (a b)$

$\begin{aligned} ∴ \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = h \frac{k^{2} b^{2} + b^{2}}{k b \times b} = \frac{b^{2} (K^{2} + 1)}{K \cdot b^{2}} \\ ∴ \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = \frac{K^{2} + 1}{K} = h \in R^{+} (ثابت) \end{aligned} \begin{aligned} ∴ a^{2} + b^{2} = a b \\ ∴ a^{2} + b^{2} \propto a b \end{aligned}$

(8)- إذا كانت y تتغير تغيراً عكسياً مشتركاً مع x,z فإذا كان 7=y عندما z=3 وx=1 جد ثابت التغير.

$\begin{aligned} y \circ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{z} \Rightarrow y = k \cdot \frac{1}{x z} \cdot K \in R^{+} \\ 7 = k \cdot \frac{1}{(1) (3)} \Rightarrow K = 21 (ثابت) \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا لم يذكر نوع التغير فالمقصود في هذه الحالة هو التغير الطردي.
ويمكن استخدام التناسب في التغير المشترك.

لا تتغير طردياً مع x,z $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}$
y تتغير طردياً مع z وعكسياً مع x $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}$
y تتغير طردياً مع x وعكسياً مع z $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} \cdot \frac{z_{2}}{z_{1}}$
لا تتغير عكسياً مع x,y $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{z_{2}}{z_{1}}$

حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

التغير

(1)- إذا كان لا يتغير طردياً تبعاً لـ (x) وكان y=15 عندما يكون 7=x فجد قيمة x عندما يكون y=30

(2)- x,y متغیران حقيقيان مرتبطان بعلاقة ما فإن أخذت x القيمتين 1.6 ,5 وكانت قيمتا y المناظرتين لقيمتي x هما 4.8 , 15 فهل العلاقة بين x,y علاقة تغير طردي؟

(3)- إذا كان y تتغير عكسياً تبعا لـ (x) وكانت $y = 3 x = 20$ فأوجد قيمة y عندما 6=x

(5)- إذا كانت = $y \propto \frac{1}{z}, x \propto \frac{1}{y}$ فبرهن على أن $x \propto z$

(6)- إذا كانت y تتغير طردياً تبع x,z وكانت y=24 عندما z=4,x=3 جد قيمة x عندما y=30,z=15

(7)- إذا كان $a \propto b$ برهن على أن $a^{2} + b^{2} \propto a b$

(8)- إذا كانت y تتغير تغيراً عكسياً مشتركاً مع x,z فإذا كان 7=y عندما z=3 وx=1 جد ثابت التغير.

حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التغير

النقاشات

حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

التغير

(1)- إذا كان لا يتغير طردياً تبعاً لـ (x) وكان y=15 عندما يكون 7=x فجد قيمة x عندما يكون y=30

(2)- x,y متغیران حقيقيان مرتبطان بعلاقة ما فإن أخذت x القيمتين 1.6 ,5 وكانت قيمتا y المناظرتين لقيمتي x هما 4.8 , 15 فهل العلاقة بين x,y علاقة تغير طردي؟

(3)- إذا كان y تتغير عكسياً تبعا لـ (x) وكانت y=3x=20 فأوجد قيمة y عندما 6=x

(4)- x,y متغيران حقیقیان مرتبطان بعلاقة ما فإذا أخذ المتغيران x,y القيمتين 21,15 على الترتيب وزادت قيمة المتغير x حتى أصبحت 35 ونقص تبعاً لذلك المتغير y فأصبح 8 هل y∝1x؟

(5)- إذا كانت = y∝1z , x∝1y فبرهن على أن x∝z

(6)- إذا كانت y تتغير طردياً تبع x,z وكانت y=24 عندما z=4,x=3 جد قيمة x عندما y=30,z=15

(7)- إذا كان a∝b برهن على أن a2+b2∝ab

(8)- إذا كانت y تتغير تغيراً عكسياً مشتركاً مع x,z فإذا كان 7=y عندما z=3 وx=1 جد ثابت التغير.

حلول أسئلة الصف الرابع الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التغير

النقاشات

(3)- إذا كان y تتغير عكسياً تبعا لـ (x) وكانت $y = 3 x = 20$ فأوجد قيمة y عندما 6=x

(5)- إذا كانت = $y \propto \frac{1}{z}, x \propto \frac{1}{y}$ فبرهن على أن $x \propto z$

(7)- إذا كان $a \propto b$ برهن على أن $a^{2} + b^{2} \propto a b$