للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (1-5)

(1)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- $lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - x - 6)}{(x - 3)}$

$lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3)} = lim_{x \to 3} x + 2 = 3^{} + 2 = 5$

ب- $lim_{x \to 1} (3 x - 4)$

$lim_{x \to 1} (3 x - 4) = 3 \times 1 - 4 = - 1$

ج- $lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1)}{(2 x - 2)}$

$\begin{aligned} lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1)}{(2 x - 2)} = & lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2 (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{(x^{2} + x + 1)}{2} \\ = \frac{1^{2} + 1 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \end{aligned}$

د- $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x + 5} - 3}, {x : x \geq - 5} / {4}$

$\begin{aligned} lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x + 5} - 3} \times \frac{\sqrt{x + 5} + 3}{\sqrt{x + 5} + 3} & = lim_{x \to 4} \frac{(x^{2} - 16) (\sqrt{x + 5} + 3)}{(x + 5 - 9)} \\ = lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) (x + 4) (\sqrt{x + 5} + 3)}{(x - 4)} & = (4 + 4) (\sqrt{x + 5} + 3) \\ = (8) (3 + 3) = (8) \times (6) = 48 \end{aligned}$

هـ- $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 3)} = lim_{x \to 4} \frac{(x + 1)}{(x + 3)} = \frac{4 + 1}{4 + 3} = \frac{5}{7}$

(2)- إذا كان: $f : R \to R$

جد $lim_{x \to 1} f (x)$ حيث $f (x) = | x - 1 |$

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 1 & x \geq 1 \\ - (x - 1) & x < 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} x - 1 = 1 - 1 = 0 = L_{1} \\ lim_{x \to 1} F (x) = lim_{x \to 1} - (1 - 1) = 0 = L_{2} \end{matrix}$

الغاية موجودة لأن $L 1 = L 2$

(3)- $f : R \to R$

$f (x) = {\begin{cases} 5 - x^{2} & x > - 1 \\ x^{2} + 3 & x < - 1 \\ 4 & x = - 1 \end{cases}$

أ- ارسم المخطط البياني لهذه الدالة.

إجابة 3

ب- هل للدالة غاية عند 1- بين ذلك؟

$\begin{aligned} lim_{x \to 1} 5 - x^{2} = 5 - (- 1)^{2} = 5 - 1 = 4 = L_{1} \\ lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 = (- 1)^{2} + 3 = 1 + 3 = 4 = L_{2} \end{aligned}$

الغاية موجودة لأن $L 1 = L 2$

ج- جد $lim_{x \to \sqrt{2}} f (x)$

$lim_{x \to \sqrt{2}} 5 - x^{2} = 5 - (\sqrt{2})^{2} = 5 - 2 = 3$

(4)- $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + a & x > - 1 \\ 6 & x = - 1 \\ 4 x + b & x < - 1 \end{cases}$

إذا كانت $lim_{x \to - 1} f (x) = 3$ جد قيمة $a, b \in R$

$lim_{x \to - 1} f (x) = lim_{x \to - 1} f (x) = 3 lim_{x \to - 1} f (x) = lim_{x \to - 1} x^{2} + a \to (- 1)^{2} + a = 3 \to 1 + a = 3 \to a = 2 lim_{x \to - 1} f (x) = lim_{x \to - 1} 4 x + b \to 4 (- 1) + b = 3 \to - 4 + b = 3 \to b = 7$

(5)- إذا كان:

$\begin{aligned} g (x) = 3 x^{2} + 2 x - 3 \\ f (x) = x^{2} + 6 \end{aligned}$

جد:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} (g / f) (x) \\ lim_{x \to 0} (g . f) (x) \end{aligned}$

$lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{f (x)} = \frac{lim_{x \to 0} (3 x^{2} + 2 x - 3)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 6)} = \frac{3 (0)^{2} + 2 (0) - 3}{(0)^{2} + 6} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} g (x) \cdot f (x) = lim_{x \to 0} g (x) \cdot lim_{x \to 0} f (x) & = lim_{x \to 0} (3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot lim_{x \to 0} (x^{2} + 6) \\ = - 3 \times 6 = - 18 \end{aligned}$

(6)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- $lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{2}}{\sin^{2} x}$

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} x}{\sin^{2} x} & = lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}}{\sin^{2} x} = lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} {xsin}^{2} x} = lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \frac{1}{lim (\cos x)^{2}} = \frac{1}{1^{2}} = \frac{1}{1} = 1 \end{aligned}$

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan^{2} x}{x^{2}}}{\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan x}{x} \cdot \frac{\tan x}{x}}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x}} = \frac{lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{\tan x}{x}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x}}$

$= \frac{lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{1 \times 1}{1 \times 1} = 1$

ب- $lim_{x \to 0} [\sin 2 x + \frac{\tan 4 x}{6 x}]$

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} (2 \sin xcos x + \frac{\tan 4 x}{6 x}) \\ = 2 lim_{x \to 0} \sin x \cdot lim_{x \to 0} \cos x + lim_{x \to 0} \frac{\tan 4 x}{6 x} \\ = 2 lim_{x \to 0} \sin x \cdot lim_{x \to 0} \cos x + \frac{4}{6} lim \frac{\tan 4 x}{4 x} \\ = 2 \times 0 \times 1 + \frac{4}{6} \times 1 = \frac{4}{6} \end{aligned}$

ج- $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2} (1 + \cos x)} \begin{aligned} = lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2} (1 + \cos x)} = \frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (1 + \cos x)}{x^{2}}} \\ = \frac{{(lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x})}^{2}}{lim_{x \to 0} (1 + \cos x)} = \frac{1^{2}}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

د- $lim_{x \to 0} [\frac{3 x}{\sin 2 x} + \frac{1 - \cos 6 x}{\sin^{2} x}]$

$\begin{aligned} 1 - \cos 6 x = & 1 - (1 - 2 \sin^{2} 3 x) \\ = 1 - 1 + 2 \sin^{2} 3 x \\ = 2 \sin^{2} 3 x \\ = lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin 2 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} \\ = \frac{3}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin 2 x} + 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} \\ = \frac{3}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin 2 x} + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^{2} 3 x}{x^{2}}}{\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{1} + 9 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^{2} 3 x}{9 x^{2}}}{\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}} \\ = \frac{3}{2} + 18 lim_{x \to 0} \frac{{[\frac{\sin 3 x}{3 x}]}^{2}}{{[\frac{\sin x}{x}]}^{2}} = \frac{3}{2} + 18 \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2} + 18 \\ = \frac{3 + 36}{2} = \frac{39}{2} \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-5)

(1)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- $lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - x - 6)}{(x - 3)}$

ب- $lim_{x \to 1} (3 x - 4)$

ج- $lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1)}{(2 x - 2)}$

د- $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x + 5} - 3}, {x : x \geq - 5} / {4}$

هـ- $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

(2)- إذا كان: $f : R \to R$

جد $lim_{x \to 1} f (x)$ حيث $f (x) = | x - 1 |$

(3)- $f : R \to R$

أ- ارسم المخطط البياني لهذه الدالة.

ب- هل للدالة غاية عند 1- بين ذلك؟

ج- جد $lim_{x \to \sqrt{2}} f (x)$

(4)- $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + a & x > - 1 \\ 6 & x = - 1 \\ 4 x + b & x < - 1 \end{cases}$

إذا كانت $lim_{x \to - 1} f (x) = 3$ جد قيمة $a, b \in R$

(5)- إذا كان:

جد:

(6)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- $lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{2}}{\sin^{2} x}$

ب- $lim_{x \to 0} [\sin 2 x + \frac{\tan 4 x}{6 x}]$

ج- $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$

د- $lim_{x \to 0} [\frac{3 x}{\sin 2 x} + \frac{1 - \cos 6 x}{\sin^{2} x}]$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-5)

(1)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx→3(x2−x−6)(x−3)

ب- limx→1(3x−4)

ج- limx→1(x3−1)(2x−2)

د- limx→4x2−16x+5−3, {x:x≥−5}/{4}

هـ- limx→3x2−2x−3x2−9

(2)- إذا كان: f:R→R

جد limx→1f(x) حيث f(x)=|x−1|

(3)- f:R→R

أ- ارسم المخطط البياني لهذه الدالة.

ب- هل للدالة غاية عند 1- بين ذلك؟

ج- جد limx→2f(x)

(4)- f(x)={x2+ax>−16x=−14x+bx<−1

إذا كانت limx→−1f(x)=3 جد قيمة a,b∈R

(5)- إذا كان:

جد:

(6)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx→0tan⁡x2sin2⁡x

ب- limx→0[sin⁡2x+tan⁡4x6x]

ج- limx→01−cos⁡xx2

د- limx→0[3xsin⁡2x+1−cos⁡6xsin2⁡x]

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

أ- $lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - x - 6)}{(x - 3)}$

ب- $lim_{x \to 1} (3 x - 4)$

ج- $lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1)}{(2 x - 2)}$

د- $lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x + 5} - 3}, {x : x \geq - 5} / {4}$

هـ- $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

(2)- إذا كان: $f : R \to R$

جد $lim_{x \to 1} f (x)$ حيث $f (x) = | x - 1 |$

(3)- $f : R \to R$

ج- جد $lim_{x \to \sqrt{2}} f (x)$

(4)- $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + a & x > - 1 \\ 6 & x = - 1 \\ 4 x + b & x < - 1 \end{cases}$

إذا كانت $lim_{x \to - 1} f (x) = 3$ جد قيمة $a, b \in R$

أ- $lim_{x \to 0} \frac{\tan x^{2}}{\sin^{2} x}$

ب- $lim_{x \to 0} [\sin 2 x + \frac{\tan 4 x}{6 x}]$

ج- $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$

د- $lim_{x \to 0} [\frac{3 x}{\sin 2 x} + \frac{1 - \cos 6 x}{\sin^{2} x}]$