للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (2-2)

(1)- لكل فقرة أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة، أختر الإجابة الصحيحة:

أولاً: المتتابعة <1+2n>

أساسها = 2 وحدها العاشر = 13
أساسها = 1 وحدها العاشر = 21
أساسها = 2 وحدها العاشر = 21
أساسها = 2 وحدها العاشر = 19

$u_{n} = 2 n + 1 \to u_{n} = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \begin{aligned} u_{2} = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \\ d = u_{2} - u_{1} = 5 - 3 = 2 \\ u_{10} = a + (10 - 1) d = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \end{aligned}$

ثانياً: إذا كان <...,1-,2,x,8> متتابعة حسابية فإن ...=x:

$\begin{matrix} u_{4} - u_{3} = u_{3} - u_{2} \\ - 1 - 2 = 2 - x \\ x = 2 + 1 + 2 = 5 \end{matrix}$

ثالثاً: إذا كان $< - 3, x, 11 >$ متتابعة حسابية فإن ...=x:

$\begin{aligned} 11 - x = x - (- 3) \\ 11 - x = x + 3 \\ 11 - 3 = x + x \\ 2 x = 8 \\ x = \frac{8}{2} = 4 \end{aligned}$

رابعاً: في المتتابعة الحسابية $x = \dots < 3, 7, 11, \dots, x, 63 >$

15
33
59
ليس أي مما سبق

$\begin{aligned} 7 - 3 = 63 - n \to 4 = 63 - n \to n = 63 - 4 \\ n = 59 \end{aligned}$

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الحسابية التي فيها:

أولاً: 3 = a = -5 , d

$\begin{matrix} u_{2} = - 5 + 3 = - 2, u_{3} = - 2 + 3 = 1, u_{4} = 1 + 3 = 4, u_{5} = 4 + 3 = 7 \\ < - 5, - 2, 1, 4, 7, \dots \dots . . > \end{matrix}$

ثانياً: 4- = a = -20 , d

$\begin{aligned} u_{2} = - 20 + (- 4) = - 24, u_{3} = - 24 + (- 4) = - 28 \\ u_{4} = - 28 + (- 4) = - 32, u_{5} = - 32 + (- 4) = - 36 \\ < - 20, - 24, - 28, - 32, - 36, \dots \dots > \end{aligned}$

ثالثاً: $a = - 3, U_{n + 1} = U_{n} + 4$

$\begin{aligned} u_{n + 1} = u_{n} = 4 \\ u_{1 + 1} = u_{1} + 4 \\ u_{2} = u_{1} + 4 \\ u_{1} = - 3 \\ u_{2} = - 3 + 4 = 1 \\ u_{3} = u_{2} + 4 = 1 + 4 = 5 \\ u_{4} = 5 + 4 = 9 \\ u_{5} = 9 + 4 = 13 \end{aligned}$

رابعاً: (9-U_n= (5n

$\begin{matrix} u_{1} = 5 \times 1 - 9 = 5 - 9 = - 4, u_{2} = 5 \times 2 - 9 = 1, u_{3} = 5 \times 3 - 9 = \underset{}{6} \\ u_{4} = 5 \times 4 - 9 = 11, u_{5} = 5 \times 5 - 9 = \underset{}{16} \\ ⟨ - 4, 1, 6, 11, 16, \dots \dots > \end{matrix}$

(3)- جد الحد السابع عشر من المتتابعة الحسابية <..... 9-,12-,15->

$\begin{aligned} d = u_{2} - u_{1} \to d = - 12 - (- 15) & = - 12 + 15 \\ = 15 - 12 \\ = 3 \\ a = - 15, d = 3, u_{17} & = a + 16 d \\ = - 15 + 16 \times 3 \\ = - 15 + 48 \\ = 48 - 15 \to u_{17} = 33 \end{aligned}$

(4)- جد عدد حدود المتتابعة الحسابية < 55,...,14-,17-,20-> ثم جد مجموعها.

نستخرج الأساس:

$\begin{aligned} d = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 \\ d = 20 - 17 = 3 \end{aligned}$

نطبق القانون:

$\begin{aligned} u_{n} = a + (n - 1) d \\ 55 = 20 + (n - 1) \times 3 \\ 55 + 20 = 3 n - 3 \\ 3 n = 75 + 3 \to 3 n = 78 \to n = \frac{78}{3} = 26 \end{aligned}$

(5)- $⟨ x^{2} + 1, 2 x^{2} + 1, 2 x^{2} + x + 3, \dots ⟩$ متتابعة حسابية، جد قيمة X وما حدها السابع؟

$\begin{aligned} n_{2} - n_{1} = n_{3} - n_{2} \\ 2 x^{2} + 1 - (x^{2} + 1) = 2 x^{2} + x + 3 - (2 x^{2} + 1) \\ 2 x^{2} + 1 - x^{2}, 1 = 2 x^{2} + x + 3 - 2 x^{2} - 1 \\ x^{2} = x + 2 \to x^{2} - x - 2 = 0 \\ (x - 2) (x + 1) = 0 \\ (x - 2) = 0 OR (x + 1) = 0 \\ x = 2 OR x = - 1 \end{aligned}$

نعوض مجموعة الحل في المتتابعة الأصلية فتظهر لنا متتابعتان.

المتتابعة الأولى:

$\begin{aligned} x = - 1 \\ < 1 + 1, 2 + 1, 2 - 1 + 3, \dots \dots > \\ < 2, 3, 4, \dots \dots . > \\ a = 2, d = 1 \\ u_{7} = a + 6 d \\ = 2 + 6, 1 = 8 \end{aligned}$

المتتابعة الثانية:

$\begin{aligned} x = 2 \\ < 5, 9, 13, \dots \dots > \\ a = 5, d = 4 \\ u_{7} = 5 + 6, 4 \\ = 5 + 24 = 29 \end{aligned}$

(6)- إذا أدخلنا ستة أوساط حسابية بين 30 ,2 فما هذه الأوساط؟

الحدود الجديدة = 6
الحدود القديمة = 2
الكلية = 8

$\begin{matrix} a = 2, u_{8} = 30 \\ u_{8} = a + 7 d \\ 30 = 2 + 7 d \\ 30 - 2 = 7 d \\ 28 = 7 d \\ \frac{28}{7} = d \\ 4 = d \\ a = 2, 4 = d, d = 4 \\ u_{n} = ⟨ 2, [6, 10, 14, 18, 22, 26], 30 ⟩ \end{matrix}$

(7)- جد المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس = 8 وحدها الثامن عشر = 31-

معادلتين آنيتين:

$\begin{matrix} u_{s} = a + 4 d = 8 \dots . \dots .1 \\ \frac{u_{18} = a, 17 d = \pm 31 \dots \dots .2}{0 - 13 d = 39} \\ d = \frac{39}{- 13} = - 3 \\ a + 4 (- 3) = 8 \\ a - 12 = 8 \to a = 8 + 12 = 20 \\ d = - 3, a = 20 \\ ⟨ 20, 17, 14, 11, 8, \dots \dots ⟩ \end{matrix}$

(8)- أي حد في المتتابعة الحسابية <...,1-,5-,9-> يكون مساوياً 87، هل يوجد حد في هذه المتتابعة = 333؟

$\begin{aligned} a = - 5 - (- 9) = - 5 + 9 = 9 - 5 = 4, a = - 9 \\ u_{n} = a + (n - 1) \times 4 \\ 87 = - 9 + 4 n - 4 \to 87 + 9 + 4 = 4 n \to 100 = 4 n \end{aligned}$

الحد الخامس والعشرين الذي قيمته 78

$\begin{aligned} 333 = - 9 + 4 n - 4 \Rightarrow 333 + 9 + 4 = 4 n - 346 = 4 n \\ n = \frac{346}{4} = 86 \frac{1}{2} \notin Z^{+} \end{aligned}$

لا يوجد حد قيمته 333

(9)- متتابعة حسابية حدها الرابع = 1- وحاصل ضرب حديها الثاني والثالث = 10 فما حدها العاشر؟

$\begin{aligned} u_{4} = a + 3 d = - 1 \dots \dots . .1 \\ u_{2} \times u_{2} = (a + d) (a + 2 d) = 10 \dots \dots 2 \\ a = 1 - 3 d \dots \dots . \dots (3) \end{aligned}$

$\begin{aligned} (- 1 - 3 d + d) (- 1 - 3 d + 2 d) = 10 \\ (- 2 d - 1) (- d - 1) = 10 \\ - (2 d + 1) (- 1) (d + 1) = 10 \\ (2 d + 1) (d + 1) = 10 \\ 2^{2} + 3 d + 1 = 10 \\ 2 d^{2} + 3 d - 9 = 0 \to 2 d^{2} + 3 d + 1 - 10 = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} either 2 d - 3 = 0 \to 2 d = 3 \to d = \frac{3}{2} \\ or d + 3 = 0 \to d = - 3 \\ a = - 1 - 3 \times - 3 \\ a = - 1 + 9 (3) \\ a = 8 \\ u_{10} = a + 9 d = 8 + 9 (- 3) = 8 - 27 = - 19 \\ d = \frac{3}{2} \\ a = - 1 - 3 \times \frac{3}{2} \\ a = - 1 - \frac{9}{2} = - 1 - 4 \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2} = - \frac{11}{2} \\ u_{10} = a + 9 d = - \frac{11}{2} + 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2} - \frac{11}{2} = \frac{16}{2} = \underset{}{8} \end{aligned}$

المتتابعة الأولى:

$a = 8, d = - 3, u_{10} = - 19 ⟨ 8, 5, 2, - 1, \dots, - 19 ⟩$

المتتابعة الثانية:

$a = - \frac{11}{2}, d = \frac{3}{2}, u_{10} = 8 <- \frac{11}{2}, - \frac{8}{2}, - \frac{5}{2}, \dots, 8>$

(10)- إذا كانت <25,A,7,...,B> متتابعة حسابية وكانت 2 + B = 5A فما قيمة A، B؟ وما عدد حدود المتتابعة؟

$\begin{aligned} 7 - A = 25 - B \to B = A + 18 \dots . . . (1) \\ B = 5 A + 2 \\ 5 A + 2 = A + 18 \\ 5 A - A = 18 - 2 \\ 4 A = 16 \\ B = 4 + 18 = 22 \\ ⟨ 4, 7, \dots . .22, 25 > \\ u_{n} = 25, d = 7 - 4 = 3, a = 4 \\ 25 = 4 + (n - 1) \times 3 \to 25 = 4 + 3 \\ 25 - 4 = 3 (n - 1) \to 21 = 3 (n - 1) \\ \Rightarrow \frac{21}{3} = \frac{3}{3} (n - 1) 7 = (n - 1) \end{aligned}$

عدد الحدود 8

(11)- أثبت أن مجموع n حدا الأولى من الأعداد الفردية الموجبة <.... (1-2n),...,1,3,5> هو n²

^{$\begin{aligned} a = 1, d = 3 - 1 = 2 \\ u_{n} = a + (n - 1) d \\ u_{n} = 1 + (n - 1) \times 2 \to u_{n} = 1 + 2 n - 2 \\ S = \frac{n}{2} (a + u_{n}) = 2 n - 1 \\ S = \frac{n}{2} (1 + 2 n - 1) \to S = \frac{n}{2} \times 2 n \to S = n^{2} \\ S = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] S = \frac{n}{2} [2 \times 1 + (n - 1) \times 2] \\ S = \frac{n}{2} (2 + 2 n - 2) \Rightarrow S = \frac{n}{2} \times 2 n = n^{2} \end{aligned}$}

(12)- كم حداً يؤخذ من المتتابعة الحسابية <...,25,21,17> ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها = 14-؟

$\begin{aligned} a = 2, d = 5 - 2 = 3, u_{n} = 29, n = ?, S = ? \\ 29 = 2 + (n - 1) \times 3 \\ 29 = 2 + 3 n - 3 \\ 3 n = 30 \\ n = 10 \\ S_{n} = \frac{n}{2} (a + u_{n}) \to S = \frac{10}{2} (2 + 29) = 5 (31) \to S = 155 \end{aligned}$

(13)- جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 400، 100 وتقبل القسمة على 3.

$\begin{aligned} a = 25, d = 21 - 25 = - 4, S = - 14, n = ? \\ S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] \\ - 14 = \frac{n}{2} [2 \times 25 + (n - 1) (- 4)] \\ - 2 \times 14 = n (50 - 4 (n - 1)) \\ - 28 = n (50 - 4 n + 4) \to - 28 = n (54 - 4 n) \\ - 28 = 54 n - 4 n^{2} \to 4 n^{2} - 54 n - 28 = 0 \\ \frac{1}{2} (4 n^{2} - 54 n - 28 = 0) \to 2 n^{2} - 27 n - 14 = 0 \\ (2 n + 1) (n - 14) = 0 \\ 2 n + 1 = 0 \to n - 14 = 0 \to n = - 14 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-2)

(1)- لكل فقرة أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة، أختر الإجابة الصحيحة:

أولاً: المتتابعة <1+2n>

ثانياً: إذا كان <...,1-,2,x,8> متتابعة حسابية فإن ...=x:

ثالثاً: إذا كان $< - 3, x, 11 >$ متتابعة حسابية فإن ...=x:

رابعاً: في المتتابعة الحسابية $x = \dots < 3, 7, 11, \dots, x, 63 >$

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الحسابية التي فيها:

أولاً: 3 = a = -5 , d

ثانياً: 4- = a = -20 , d

ثالثاً: $a = - 3, U_{n + 1} = U_{n} + 4$

رابعاً: (9-U_n= (5n

(3)- جد الحد السابع عشر من المتتابعة الحسابية <..... 9-,12-,15->

(4)- جد عدد حدود المتتابعة الحسابية < 55,...,14-,17-,20-> ثم جد مجموعها.

(5)- $⟨ x^{2} + 1, 2 x^{2} + 1, 2 x^{2} + x + 3, \dots ⟩$ متتابعة حسابية، جد قيمة X وما حدها السابع؟

(6)- إذا أدخلنا ستة أوساط حسابية بين 30 ,2 فما هذه الأوساط؟

(7)- جد المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس = 8 وحدها الثامن عشر = 31-

(8)- أي حد في المتتابعة الحسابية <...,1-,5-,9-> يكون مساوياً 87، هل يوجد حد في هذه المتتابعة = 333؟

(9)- متتابعة حسابية حدها الرابع = 1- وحاصل ضرب حديها الثاني والثالث = 10 فما حدها العاشر؟

(10)- إذا كانت <25,A,7,...,B> متتابعة حسابية وكانت 2 + B = 5A فما قيمة A، B؟ وما عدد حدود المتتابعة؟

(11)- أثبت أن مجموع n حدا الأولى من الأعداد الفردية الموجبة <.... (1-2n),...,1,3,5> هو n²

(12)- كم حداً يؤخذ من المتتابعة الحسابية <...,25,21,17> ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها = 14-؟

(13)- جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 400، 100 وتقبل القسمة على 3.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-2)

(1)- لكل فقرة أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة، أختر الإجابة الصحيحة:

أولاً: المتتابعة <1+2n>

ثانياً: إذا كان <...,1-,2,x,8> متتابعة حسابية فإن ...=x:

ثالثاً: إذا كان <−3,x,11> متتابعة حسابية فإن ...=x:

رابعاً: في المتتابعة الحسابية x=⋯<3,7,11,…,x,63>

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الحسابية التي فيها:

أولاً: 3 = a = -5 , d

ثانياً: 4- = a = -20 , d

ثالثاً: a=−3 , Un+1=Un+4

رابعاً: (9-Un = (5n

(3)- جد الحد السابع عشر من المتتابعة الحسابية <..... 9-,12-,15->

(4)- جد عدد حدود المتتابعة الحسابية < 55,...,14-,17-,20-> ثم جد مجموعها.

(5)- ⟨x2+1 , 2x2+1 , 2x2+x+3 ,…⟩ متتابعة حسابية، جد قيمة X وما حدها السابع؟

(6)- إذا أدخلنا ستة أوساط حسابية بين 30 ,2 فما هذه الأوساط؟

(7)- جد المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس = 8 وحدها الثامن عشر = 31-

(8)- أي حد في المتتابعة الحسابية <...,1-,5-,9-> يكون مساوياً 87، هل يوجد حد في هذه المتتابعة = 333؟

(9)- متتابعة حسابية حدها الرابع = 1- وحاصل ضرب حديها الثاني والثالث = 10 فما حدها العاشر؟

(10)- إذا كانت <25,A,7,...,B> متتابعة حسابية وكانت 2 + B = 5A فما قيمة A، B؟ وما عدد حدود المتتابعة؟

(11)- أثبت أن مجموع n حدا الأولى من الأعداد الفردية الموجبة <.... (1-2n),...,1,3,5> هو n2

(12)- كم حداً يؤخذ من المتتابعة الحسابية <...,25,21,17> ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها = 14-؟

(13)- جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 400، 100 وتقبل القسمة على 3.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

ثالثاً: إذا كان $< - 3, x, 11 >$ متتابعة حسابية فإن ...=x:

رابعاً: في المتتابعة الحسابية $x = \dots < 3, 7, 11, \dots, x, 63 >$

ثالثاً: $a = - 3, U_{n + 1} = U_{n} + 4$

رابعاً: (9-U_n= (5n

(5)- $⟨ x^{2} + 1, 2 x^{2} + 1, 2 x^{2} + x + 3, \dots ⟩$ متتابعة حسابية، جد قيمة X وما حدها السابع؟

(11)- أثبت أن مجموع n حدا الأولى من الأعداد الفردية الموجبة <.... (1-2n),...,1,3,5> هو n²