اختبار الفصل

(1)- مثل المعادلات التالية في المستوي الإحداثي:

i) 2x-4y=8

ii) y=2

iii) x=2

iv) y=x²-1

(2)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطتين A (-2,-3), B (2,3)

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\Rightarrow \frac{\mathrm{y}-(-3)}{\mathrm{x}-(-2)}=\frac{3-(-3)}{2-(-2)}\\ & \frac{\mathrm{y}+3}{\mathrm{x}+2}=\frac{3+3}{2+2}\Rightarrow \frac{\mathrm{y}+3}{\mathrm{x}+2}=\frac{6}{4}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 4\mathrm{y}+12=6\mathrm{x}+12\Rightarrow 4\mathrm{y}=6\mathrm{x}+12-12\Rightarrow 4\mathrm{y}=6\mathrm{x}\Rightarrow \frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{6\mathrm{x}}{4}\\ & \mathrm{y}=\frac{3}{2}\mathrm{x}\end{array}$

(3)- جد المقطع السيني والصادي للمعادلة الآتية: 4=y-x

• المقطع السيني: $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{4}{-1}=-4$
• المقطع الصادي: $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{4}{1}=4$

(4)- جد معادلة المستقيم لكل مما يأتي:

i) يمر بالنقطتين (1,5) ,(2-,3)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}=\frac{5+2}{1-3}=\frac{7}{-2} , \mathrm{y}+2=\frac{7}{-2}(\mathrm{x}-3)\Rightarrow -2\mathrm{y}-4=7\mathrm{x}-21\\ & 2\mathrm{y}+7\mathrm{x}=17\end{array}$

ii) ميله $\frac{3}{2}$ ومقطعه الصادي يساوي 5-.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{k} , \mathrm{m}=\frac{3}{2},\mathrm{k}=-5\\ & \mathrm{y}=\frac{3}{2}\mathrm{x}-5\Rightarrow 2\mathrm{y}=3\mathrm{x}-10\Rightarrow 2\mathrm{y}-3\mathrm{x}=-10\end{array}$

iii) میله $-\frac{1}{5}$ ومقطعه السيني يساوي 3.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}=-\frac{1}{5}\mathrm{p}(3,0)\\ & \mathrm{y}-0=-\frac{1}{5}(\mathrm{x}-3)\Rightarrow 5\mathrm{y}=-\mathrm{x}+3\Rightarrow 5\mathrm{y}+\mathrm{x}=3\end{array}$

(5)- استعمل معادلة الميل والنقطة لتحديد ميل المستقيم وإحدى نقاطه 2y-3x=8

$$\begin{gathered} 2y-8=3x \\ \begin{array}{rl}& 2\mathrm{y}-8=3\mathrm{x}]\stackrel{÷2}{\Rightarrow }\frac{2\mathrm{y}}{2}-\frac{8}{2}=\frac{3\mathrm{x}}{2}\Rightarrow \mathrm{y}-4=\frac{3}{2}\mathrm{x}\\ & \mathrm{y}-4=\frac{3}{2}(\mathrm{x}-0)\\ & \mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1=\mathrm{m}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)\\ & \mathrm{m}=\frac{3}{2} , (0,4)\end{array} \end{gathered}$$

(6)- باستعمال الميل بين ما يأتي:

i) النقاط: (1,0) A (3,2), B (0,-1), D على استقامة واحدة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\\ & {\mathrm{m}}_{\mathrm{AB}}=\frac{-1-2}{0-3}=\frac{-3}{-3}=1\\ & {\mathrm{m}}_{\mathrm{BD}}=\frac{0-(-1)}{1-0}=\frac{1}{1}=1\end{array} \\ {m}_{AB}=m_{BD} \end{gathered}$$

النقط تقع على استقامة واحدة.

ii) النقاط التالية رؤوس لمتوازي الأضلاع A (4,-1), B (2,2), C (-2,4), D (0,1)

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}_{\mathrm{AB}}=\frac{2+1}{2-4}=\frac{3}{-2} , {\mathrm{m}}_{\mathrm{DC}}=\frac{1-4}{0+2}=\frac{-3}{2} \\ \overline{\mathrm{AB}}//\overline{\mathrm{DC}} \\ \overline{\mathrm{AD}}//\overline{\mathrm{BC}} \end{gathered}$$

الشكل متوازي الأضلاع.

iii) المستقيم المار بالنقطتين A (4,-1), B (4,-1) عمودي على المستقيم المار بالنقطتين C (4,-1), D (0,-3)

$$\begin{gathered} \mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{m}}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=\frac{-1-1}{4-3}=\frac{-2}{1}=-2\\ & {\mathrm{m}}_{\overrightarrow{\mathrm{CD}}}=\frac{-3-(-1)}{0-4}=\frac{-3+1}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\\ & {\mathrm{m}}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}\times {\mathrm{m}}_{\overrightarrow{\mathrm{CD}}}=-1\Rightarrow -2\times \frac{1}{2}=-1\end{array} \end{gathered}$$

المستقيم AB عمودي على المستقيم CD.

(7)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (0,3) والموازي للمستقيم الذي ميله $\frac{-2}{3}$.

$\begin{array}{rl}& m_1=\frac{-2}{3} , m_2=\frac{-2}{3}\\ & y-y_1=m_2(x-x_1)\Rightarrow y-3=\frac{-2}{3}(x-0)\\ & 3y-9=-2x\Rightarrow 3y+2x=9\end{array}$

(8)- باستعمال قانون المسافة بين نقطتين، أثبت (ii) ,(i) في السؤال 6.

- $\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(-1-2{)}^2(0-3{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\\ & \mathrm{BD}=\sqrt{(0+1{)}^2(1-0{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ & \mathrm{AD}=\sqrt{(0-2{)}^2(1-3{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ & 3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\ & \mathrm{AB}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}\end{array}$

النقاط تقع على استقامة واحدة.

- $\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(2+1{)}^2(2-4{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & \mathrm{DC}=\sqrt{(1-4{)}^2(0+2{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\\ & \mathrm{AD}=\mathrm{BC}\end{array}$

الشكل متوازي الأضلاع.

(9)- باستعمال قانون نقطة المنتصف، أثبت الفرع (ii) في السؤال 6.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{M}=(\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{2},\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{2})\\ & {\mathrm{M}}_1=(\frac{4+(-2)}{2},\frac{-1+4}{2})=(\frac{2}{2},\frac{3}{2})=(1,\frac{3}{2})\\ & {\mathrm{M}}_2=(\frac{2+0}{2},\frac{2+1}{2})=(\frac{2}{2},\frac{3}{2})=(1,\frac{3}{2})\end{array} \\ {M}_1=M_2 \end{gathered}$$

الشكل متوازي الأضلاع.

(10)- في المثلث ABC القائم الزاوية في B، إذا كانت $\sin \mathrm{A}=\frac{1}{2}$ جد:

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{AB}{)}^2=(\mathrm{AC}{)}^2-(\mathrm{BC}{)}^2\\ & (\mathrm{AB}{)}^2=(2{)}^2-(1{)}^2\\ & (\mathrm{AB}{)}^2=4-1=3\\ & (\mathrm{AB}{)}^2=3\stackrel{}{⟹}\mathrm{AB}=\sqrt{3}\end{array}$

i) cosA

$\cos \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

ii) tanA

$\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}$

iii) cotC

$\cot \mathrm{C}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

iv) secA

$\sec \mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{3}}$