تدرب وحل التمرينات

(5)- متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول حرفها 3 cm وارتفاعها خمسة أضعاف طول ضلع القاعدة المربعة، استخرج حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية ثم استخرج كلاً مما يأتي:

• الارتفاع: $H=5\times 3=15\mathrm{cm}$
• الحجم: $V=L\times W\times H=3\times 3\times 15=135{\mathrm{cm}}^3$

المساحة الجانبية: $LA=2(L+W)\times H=2(3+3)\times 15=180{\mathrm{cm}}^2$

المساحة الكلية:

$\begin{array}{rl}TA& =2(L+W))\times H+2(L+W)\\ & =2(3+3))\times 15+2(3+3)\\ & =180+12=192{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

i) حجمه تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 4.

$\begin{array}{rl}{V}^{\mathrm{\prime }}& =K^3\cdot V\\ & =4\times 4\times 4\times 135=8640{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

ii) مساحته الجانبية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره $\frac{1}{6}$.

$\begin{array}{rl}& (LA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2(LA)\\ & =(K\cdot K)\left(LA\right)=(\frac{1}{6}\times \frac{1}{6})\times 180\\ & =\frac{180}{36}=5{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

iii) مساحته الكلية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره $\frac{1}{13}$.

$\begin{array}{rl}& (TA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2(TA)\\ & =(\frac{1}{13}\times \frac{1}{13})\times 192=\frac{192}{169}=1.14{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

(6)- مكعب طول حرفه 1.2 cm استخرج حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية ثم استخرج كلاً مما يأتي:

الحجم: $V=L\times L\times L=1.2\times 1.2\times 1.2=1.728{\mathrm{cm}}^3$

المساحة الجانبية:

$\begin{array}{rl}LA& =4\times L\times L\\ & =4\times 1.2\times 1.2=5.76{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

المساحة الكلية:

$\begin{array}{rl}TA& =6\times L\times L\\ & =6\times 1.2\times 1.2=8.64{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

i) حجمه تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره $\frac{1}{4}$.

$\begin{array}{rl}{V}^{\mathrm{\prime }}& =K^3.V\\ & =(\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4})\times 1.728=\frac{1.728}{64}\\ & =0.027{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

ii) مساحته الجانبية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 5.

$\begin{array}{rl}& (LA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2(LA)\\ & =5\times 5\times 5\times 5.76=144{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

iii) مساحته الكلية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره $\frac{5}{9}$.

$\begin{array}{rl}& (TA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2(TA)\\ & =(\frac{5}{9}\times \frac{5}{9})\times 8.64=\frac{1.728}{64}\\ & =2.67{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

(7)- إذا علمت أن المساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة تساوي 13 cm² وأن المساحة الكلية له تحت تأثير تمدد تكبير تساوي 52 cm² احسب مقدار معامل التمدد.

$\begin{array}{rl}& TA=13 , (TA{)}^{\mathrm{\prime }}=52\\ & (TA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2.(TA)\Rightarrow 52=K^2\times 13\\ & K^2=\frac{52}{13}\Rightarrow K^2=4\to \Rightarrow K=\sqrt{4}\end{array}$

معامل التمدد هو K=2.