قرص عزم قصوره الذاتي (1kg.m²) كان يدور بسرعة زاوية منظمة أثر فيه عزم مماسي مضاد فأوقفه عن الدوران بتعجيل زاوي منتظم بعد (4s) فكان الشغل الدوراني المبذول (200J) فما مقدار العزم المؤثر المضاد؟

الشغل الدوراني = التغير في الطاقة الحركية.

$\begin{array}{r}\mathbf{W}=\frac{1}{2}\mathbf{I}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)\\ \\ -200=\frac{1}{2}\mathrm{I}\left(0-{\omega }_1^2\right)\Rightarrow -400={\omega }_i^2\\ \\ {\omega }_1=20\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \\ \alpha =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{t}=\frac{0-20}{4}=-5\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\\ \\ =\mathrm{I}\alpha \to =1\times -5=-5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\\ \end{array}$

أسئلة الفصل السادس

س 1. اختر العبارة الصحيحة من العبارات التالية:

1. إذا دار قرص حول محوره بزخم زاوي منتظم فإن مقدار إحدى الكميات الآتية لا تساوي صفراً:

• التعجيل الزاوي للقرص.
• الشغل الدوراني للقرص.
• السرعة الزاوية للقرص.
• محصلة العزوم الخارجية المؤثرة في القرص.

لأن القرص دار حول محوره بزخم زاوي منتظم.

2. يقف تلميذ عند حافة منصة دائرية تدور بمستوى أفقي حول محور شاقولي ماراً بمركزها فإذا اقترب التلميذ ببطيء نحو مركز المنصة (من غير تأثير عزم خارجي) فإن مقدار الزخم الزاوي للتلميذ:

• يزداد.
• يبقى ثابتاً.
• يقل.
• يساوي الزخم الزاوي للمنصة.

عند اقتراب الجسم نحو مركز المنصة نصف قطر الدوران يقل وبما أنه لا يوجد تأثير لعزم خارجي، فإن السرعة تزداد ويبقى الزخم ثابتاً عند دوران الجسم.

3. إن (Joule. second) هي وحدات:

• قدرة.
• عزم مدور.
• تعجيل زاوي.
• زخم الزاوي.

$\begin{array}{r}\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{P}\\ \\ \overrightarrow{L}=I\times \overrightarrow{\omega }=rmV=mK{g}_{}^{}\frac{\mathit{m}}{\mathit{s}}\\ \begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{L}}=\mathbf{m}\frac{\mathrm{Kg}\cdot \mathrm{m}}{s^2}\mathbf{s}\\ =\mathrm{mN}\cdot \mathrm{s}={\mathrm{J}}_{.s}\end{array}\end{array}$

4. إن المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي يمثل:

• عزم مدور.
• شغل دوراني.
• قوة.
• إزاحة زاوية.

$$\begin{gathered} \mathrm{T}=\mathrm{I}\alpha \\ \mathit{T}=\mathbf{I}\mathit{\left(}\frac{{\omega }_{\mathit{1}}\mathit{-}{\omega }_{\mathit{2}}}{t}\mathit{\right)}\to \mathit{T}==\frac{I{\omega }_{\mathit{2}}}{t}-\frac{I{\omega }_{\mathit{1}}}{t} \\ \begin{array}{r}T=\frac{L_2-L_1}{t}\\ T=\frac{\mathrm{T}\times \mathrm{t}}{t}=\mathrm{T}\end{array} \end{gathered}$$

5. قطار يدور على سكة دائرية بمستوى أفقي بانطلاق ثابت فإن الذي يتغير لعجلات القطار هو:

• زخمها الزاوي.
• عزم قصورها الذاتي.
• مقدار سرعتها الزاوية.
• طاقتها الحركية الدورانية.

عزم القصور الذاتي لا يتغير لأن $\mathbf{I}=m{r}^2$ وهو كمية غير اتجاهيه ولا تتغير الكتلة ولا نصف القطر، مقدار السرعة الزاوية ثابتة لأن الانطلاق ثابت، وكذلك الطاقة الحركية الدورانية ثابتة لأنها كمية مقدارية غير اتجاهيه والزخم يكون كمية اتجاهيه $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{P}$ لأن الذي يتغير اتجاه السرعة وليس مقدارها.

س2. علل ما يلي:

1. التوازن على الدراجة المتحركة أسهل من التوازن على دراجة واقفة.

الدراجة المتحركة يعني لها سرعة وبذلك فإنها تمتلك استمرارية دورانية أي كبر عزم قصورها الذاتي $\mathbf{I}=m{r}^2$ لذلك فإنها تمتلك زخم زاوي كبير $\mathbf{L}=\mathbf{Iw}$ أثناء دورانها فتتمكن العجلة من التغلب على العزوم الخارجية (وزن الدراجة ووزن الراكب) المؤثرة فيها لذا تحافظ الدراجة على الدوران وبسرعة زاوية ثابتة الاتجاه تقريباً.

2. يمكن لجسم أن يمتلك زخماً زاورياً على الرغم من أن الدفع الزاوي المؤثر فيه يساوي صفراً؟

لأنه عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة فالتغير بالزخم الزاوي يساوي صفراً (التغير بالزخم الزاوي = عزم القصور الذاتي × التغير بالسرعة الزاوية).

$\mathrm{\Delta L}=\mathbf{I}\mathrm{\Delta }\omega$

3. يمد الشخص ذراعاه (أو يحمل بيده ساقاً أفقية) عندما يمشي على حبل أفقي مشدود.

لكي يزداد عزم القصور الذاتي (I = mr²) أي يحافظ على حالته الحركية.

1. بدأت سيارة الحركة من السكون وكان قطر كل عجلة من عجلاتها (80 cm) وتسارعت بانتظام فبلغت سرعتها (20m / s) خلال (25s) فما:

a. التعجيل الزاوي لكل عجلة؟

$\begin{array}{r}{\omega }_2=\frac{V}{r}=\frac{20}{0.4}=50\mathrm{rad}/\sec \\ {\omega }_2={\omega }_1+\alpha \mathrm{t}\\ \alpha =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{}=\frac{50-0}{25}=2\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

b. عدد الدورات التي تدورها كل عجلة خلال تلك الفترة؟

${\omega }_1=\frac{2\pi \times \mathrm{الدورات} \mathrm{عدد} }{r}$

$\mathit{50}=\frac{2\pi \times \mathrm{الدورات} \mathrm{عدد} }{\mathit{25}}$

عدد الدورات$\frac{1250}{2\pi }=$

$\frac{625}{\pi }=\frac{625}{\frac{22}{7}}=\frac{7\times 625}{22}$

$=99.43$عدد الدورات.

طريقة أخرى:

$\begin{array}{r}\theta ={\omega }_{1}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\ \\ \theta =0+\frac{1}{2}\times 2\times {25}^2\\ \\ \theta =625\mathrm{rad}/\mathrm{s}\end{array}$

$=\frac{625}{\pi }=\frac{625}{\frac{22}{7}}=\frac{7\times 625}{22}$عدد الدورات.

$=99.43$عدد الدورات.

2 عجلة تدور بسرعة زاوية منتظمة أثر فيها عزم مضاد فتوقفت عن الدوران بعد أن دارت (50rev) خلال (10s) ما مقدار:

a. سرعتها الزاوية الابتدائية؟

$\begin{array}{r}\theta =\left(2\pi \right)\left(\text{ nu. rev }\right)\\ \theta =2\pi \times 50=100\pi \mathrm{rad}\\ \theta =\frac{{\omega }_1+{\omega }_{\mathrm{f}}}{2}\times t\\ 100\pi =\frac{{\omega }_{\mathrm{i}}+0}{2}\times 10\to {\omega }_1=20\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ {\omega }_1=20\times 3.14=62.8\mathrm{rad}/\mathrm{s}\end{array}$

b. التعجيل الزاوي؟

$\begin{array}{r}\alpha =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{t}\\ \\ =\frac{0-62.8}{10}\\ \\ =-6.28\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

3. قرص نصف قطره (0.6m) وكتلته (80 kg) يدور بسرعة 3600rev / min، فما مقدار العزم المؤثر في القرص لإيقافه عن الدوران خلال 20s؟

لدينا للقرص ما بلي:

$\begin{array}{r}I=\frac{1}{2}{\mathrm{mr}}^2\\ \\ I=\frac{1}{2}\times 80\times (0.6{)}^2=40\times 0.36=14.4\mathrm{Kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\\ \\ \mathcal{T}=\mathrm{I}\alpha \to \alpha =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{t}\end{array}$

${\omega }_1=\frac{2\pi \times \mathrm{الدورات} \mathrm{عدد} }{t}=\frac{2\pi \times 3600}{60}=120\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

$$\begin{gathered} \alpha =\frac{0-120\pi }{20}=-6\pi \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2 \\ \mathcal{T}=14.4\times (-6\pi )=14.4\times (-6\times 3.14)=271.296\mathrm{N}.\mathrm{m} \end{gathered}$$

4. عجلة قطرها 0.72m وعزم قصورها الذاتي (4.8kg.m²) أثرت في حافتها قوة مماسية مقداره (10 N) فبدأت الحركة من السكون:

ما التعجيل الزاوي؟

معدل القدرة الدورانية الناتجة عن الشغل الزاوي المبذول خلال (4s)؟

$\begin{array}{r}\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mathrm{F}}\times \overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{I}\alpha \\ \\ 10\times 0.36=4.8\times \alpha \\ \\ \alpha =\frac{10\times 0.36}{4.8}=\frac{3}{4}=0.75\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\\ \\ P=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}}=\frac{\tau \times \theta }{t}\\ \\ \theta ={\omega }_{\mathrm{i}}\mathrm{t}+\frac{1}{2}\alpha {\mathrm{t}}^2=0+\frac{1}{2}\times 0.75\times (4{)}^2=\frac{1}{2}\times 0.75\times 16=6\mathrm{rad}\\ \\ P=\frac{W_{\text{Rot }}}{t}=\frac{\tau \times \theta }{t}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{F}}\times \overrightarrow{\mathrm{r}}\times \theta }{\mathrm{t}}=\frac{3.6\times 6}{A}=5.4\mathrm{Watt}\end{array}$

5. قرص عزم قصوره الذاتي (1kg.m²) كان يدور بسرعة زاوية منظمة أثر فيه عزم مماسي مضاد فأوقفه عن الدوران بتعجيل زاوي منتظم بعد (4s) فكان الشغل الدوراني المبذول (200J) فما مقدار العزم المؤثر المضاد؟

الشغل الدوراني = التغير في الطاقة الحركية.

$\begin{array}{r}\mathbf{W}=\frac{1}{2}\mathbf{I}\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)\\ \\ -200=\frac{1}{2}\mathrm{I}\left(0-{\omega }_1^2\right)\Rightarrow -400={\omega }_i^2\\ \\ {\omega }_1=20\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \\ \alpha =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{t}=\frac{0-20}{4}=-5\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\\ \\ =\mathrm{I}\alpha \to =1\times -5=-5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\\ \end{array}$

6. كرة صلدة كتلتها (0.5kg) ونصف قطرها (0.2m) تدحرجت من السكون من قمة سطح مائل خشن ارتفاعه الشاقولي (7m) بدحرجة صرف ما مقدار طاقته الحركية الكلية في أسفل السطح المائل علماً بأن عزم القصور الذاتي للكرة الصلدة I=2/5mr².

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}I=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2=0.4\times 0.5\times (0.2{)}^2\\ \\ I=0.4\times 0.5\times 0.04=8\times {10}^{-3}\mathrm{Kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\\ \\ \mathrm{mgh}=(\mathrm{KE}{)}_{\text{total }}\\ \\ \mathrm{mgh}={\left({\mathrm{KE}}_{\mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{f}}+{\left({\mathrm{KE}}_{\mathrm{Rot}}\right)}_{\mathrm{f}}\\ \\ \mathrm{mgh}=\frac{1}{2}\mathrm{m}{v}^2+\frac{1}{2}\mathrm{I}{\omega }^2\\ \\ \mathrm{mgh}=\frac{1}{2}\mathrm{m}{v}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}{\mathrm{mr}}^2\right)}^{}\frac{v^2}{r^2}\\ \\ v=\sqrt{\frac{10}{7}\mathrm{gh}}=\sqrt{\frac{10}{7}\times 10\times 7}=\sqrt{100}\\ \\ v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \omega =\frac{v}{\mathrm{r}}=\frac{10}{0.2}=50\mathrm{rad}/\mathrm{s}\end{array} \\ \begin{array}{r}v=\sqrt{\frac{10}{7}\mathrm{gh}}=\sqrt{\frac{10}{7}\times 10\times 7}=\sqrt{100}\\ v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \\ \omega =\frac{v}{r}=\frac{10}{0.2}=50\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \\ {\left({\mathrm{KE}}_{\mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{t}}=\mathrm{m}{v}^2=\frac{1}{2}\times 0.5\times {10}^2\\ \\ {\left({\mathrm{KE}}_{\mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{f}}=25\mathrm{J}\\ \\ {\left({\mathrm{KE}}_{\text{Rot }}\right)}_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}\mathrm{I}{\omega }^2=\frac{1}{2}\times 0.008\times (50{)}^2\\ \\ \\ (KE{)}_{\text{total }}={\left({\mathrm{KE}}_{\mathrm{T}}\right)}_f+{\left({\mathrm{KE}}_{\text{Rot }}\right)}_f\\ \\ =25\mathrm{J}+10\mathrm{J}\\ (KE{)}_{\mathrm{total}}=35\mathrm{J}\end{array} \end{gathered}$$

التحقق:

$\begin{array}{r}{\mathrm{PE}}_g=(\mathrm{KE}{)}_{\text{total }}\\ \\ (\mathrm{KE}{)}_{\text{total }}=\mathrm{mgh}\\ \\ =0.5\mathrm{Kg}\times 10\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{Kg}}\times 7\mathrm{m}\\ \\ =35\mathrm{N}.\mathrm{m}\\ \\ (\mathrm{KE}{)}_{\text{total }}=35\mathrm{J}\end{array}$