سكة قطار دائرية نصف قطر مدار استدارتها 120m وعرض السكة 1.5m وفرق الارتفاع بين السكة من حافتها الخارجية إلى حافتها الداخلية 0.9m ما أقصى انطلاق يستطيع القطار أن يصل به على تلك السكة بأمان؟

زاوية ميل السكة الأفقية عن الأفق:

${\mu }_{\mathrm{s}}=\tan \theta =\frac{3}{4}=0.75$

$\sin \theta =\frac{\text{ مقابل }}{\text{وتر }}=\frac{0.9}{1.5}=\frac{3}{5}\Rightarrow \theta ={37}^{\circ }$

الدرس: 6-7 حركة المركبات على المنعطفات المائلة

تنشأ الطرق المائلة عند المنعطفات (بحيث يكون ارتفاع الحافة الخارجية للطريق أكبر من ارتفاع حالتها الداخلية) لتوليد القوة المركزية (F_c) المناسبة للاستدارة والحساب زاوية ميل المتعطف عن الأفق نحلل قوة رد الفعل للطريق (N) إلى مركبتين الأول أفقية $\theta$N sin تعمل على تغير اتجاه السرعة المماسية الآنية وتعتبر هي القوة المركزية المناسبة للاستدارة وتتجه نحو مركز الدائرة، بينما المركبة الشاقولية فهي $\theta$N Cos والتي تعادل وزن السيارة.

$$\begin{gathered} N\sin \theta =f_c \left(1\right) \\ \mathbf{N}\mathrm{Cos}\theta =\mathbf{W} \left(2\right) \\ \frac{N\sin \theta }{N\cos \theta }=\frac{m{v}^2/r}{mg} \\ \tan \theta =\frac{v^2}{rg}\Rightarrow \theta ={\tan }^{-1}\frac{v^2}{rg} \end{gathered}$$

علل:

يتوجب على راكب الدراجة أن يزيد من زاوية ميله من الشاقول عند حركته على منطف أفقي معين بانطلاق أكبر؟

لزيادة القوة المركزية (المركبة الأفقية لرد فعل الطريق العمودي على الدراجة) وجعلها مناسبة لإبقاء الدراجية في المسار الدائري وبانطلاق أكبر: $V=\sqrt{\tan \theta gr}$

تميل الطائرة عن الوضع الأفقي عند استدارتها أثناء الطيران وكذلك الطير إلى الجهة التي سيتدير نحوها؟

للحصول على قوة مركزية الناتجة من محصلة وزن الطائرة (الطير) وقوة دفع الهواء لتساعده على الاستدارة أثناء الطيران: $V=\sqrt{\tan \theta gr}$

ملاحظة:

المعادلة أعلاه تثبت أن $\theta$ زاوية ميل الطريق عن الأفق لا تعتمد على كتلة السيارة التي تدور حول المنعطف.

الزاوية $\theta$ تؤخذ دائماً مع الشاقول عند التحليل (بنفس طريقة الأجسام الموضوع على سطح مائل).

إن $\tan \theta ={\mu }_{\mathrm{s}}$ لأن $V=\sqrt{{\mu }_{\mathrm{s}}gr}$

سكة قطار دائرية نصف قطر مدار استدارتها 120m وعرض السكة 1.5m وفرق الارتفاع بين السكة من حافتها الخارجية إلى حافتها الداخلية 0.9m ما أقصى انطلاق يستطيع القطار أن يصل به على تلك السكة بأمان؟

زاوية ميل السكة الأفقية عن الأفق:

${\mu }_{\mathrm{s}}=\tan \theta =\frac{3}{4}=0.75$

$\sin \theta =\frac{\text{ مقابل }}{\text{وتر }}=\frac{0.9}{1.5}=\frac{3}{5}\Rightarrow \theta ={37}^{\circ }$

$\begin{array}{r}\tan {37}^{\circ }=\frac{3}{4}\\ \\ \tan \theta =\frac{v^2}{rg}\\ \\ \frac{3}{4}=\frac{v^2}{120\times 10}\\ \\ v^2=\frac{1200\times 3}{4}\\ \\ v^2=900\\ v^2=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

ما أكبر انطلاق لسيارة تجتاز منعطف مقوس مائل نصف قطر تقوس الأفقي 150m إذا كان عرض الطريق 6.5m وارتفاع حافته الخارجية عن الداخلية 2.5m وكتلة السيارة 1800kg فما مقدار تعجيلها المركزي وما مقدار رد فعل الطريق العمودي عليه؟

$\begin{array}{r}{X}^2=(6.5{)}^2-(2.5{)}^2\\ \\ X^2=42.25-6.25\\ \\ X^2=36\Rightarrow X=6\mathrm{m}\\ \\ \tan \theta =\frac{2.5}{6}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}\\ \\ V=\sqrt{\tan \theta rg}=\sqrt{\frac{5}{12}\times 150\times 10}\\ \\ =\sqrt{\frac{2500}{4}}=\frac{50}{2}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \\ a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{625}{150}=\frac{25}{6}=6.1\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{mg}}{\cos \theta }=\frac{1800\times 10}{\frac{6}{6.5}}=\frac{1800\times 10\times 6.5}{6}=300\times 65=19500\mathrm{N}$