هل يمكن لمتجه ما أن يمتلك مقداراً سالباً؟ وضح ذلك.

كلا لا يمكن أن يمتلك مقداراً سالباً لأن أي كمية متجه توضح داخل علامة المطلق null فإنها تمثل مقدارها وتكون دائماً القيمة موجبة، يمكن القول أن المتجه يمتلك اتجاهاً سالباً وليس مقداراً سالباً. 181 / W س 4

اسئلة الفصل الاول

اختر العبارة الصحيحة لكل مما ياتي:

1. متجهي الازاحة $(\overrightarrow{\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}})$ جمعا سويه للحصول على قيمة الازاحة $\overrightarrow{\mathrm{R}}$ اي من الاشكال التالية يوضح بصورة صحيحة المتجه الحصل لهما.

انطباق ذيل المتجه الثاني على راس المتجه الاول عندئذ تكون المحصلة في ذلك المتجه تشير من ذيل المتجه الأول الى راس المتجه الثاني.

2. قطع شخص ازاحة $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ باتجاه الجنوب الشرقي اي من الاشكال التالية يوضح المركبتين ${\overrightarrow{A}}_x,{\overrightarrow{A}}_y$ للمتجه $\overrightarrow{\mathrm{A}}$

المحصلة من ذيل الاول الى راس الثاني.

3. اي زوج من المتجهات$(\overrightarrow{\mathrm{K}},\overrightarrow{\mathrm{L}},\overrightarrow{\mathrm{M}},\overrightarrow{\mathrm{N}})$ الموضحة في الشكل المجاور متساويان.

• $\overrightarrow{\mathrm{L}},\overrightarrow{\mathrm{K}}$

• $\overrightarrow{\mathrm{K}},\overrightarrow{\mathrm{M}}$

• $\overrightarrow{\mathrm{L}},\overrightarrow{\mathrm{M}}$

• $\overrightarrow{\mathrm{N}},\overrightarrow{\mathrm{L}}$

4. في الشكل المجاور المتجهات $(\overrightarrow{\mathrm{K}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{L}})$متساويان في المقدار، اي من المتجهات التالية يمثل محصلتهما.

التوضيح لايجاده زاوية المتجه تستخدم قانون الجيب$\mathbf{R}=\sqrt{{\mathbf{A}}^2+{\mathbf{B}}^2-2\mathrm{ABcos}\theta }$ نرفع المتجة $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ونضع زيله في راس المنتجه $\overrightarrow{L}$ فتكون المحصلة من ذيل المتجة $\overrightarrow{L}$ الى رأس المتجة $\overrightarrow{\mathrm{k}}$.

$\begin{array}{r}R=\sqrt{25+25-50\times \frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \frac{R}{\sin 60}=\frac{K}{\sin \varphi }\Rightarrow \frac{5}{\sin 60}=\frac{5}{\sin \varphi }\\ 5\sin \varphi =5\sin 60\Rightarrow \varphi ={60}^{\circ }\end{array}$

5. المتجهات $(\overrightarrow{\mathrm{K}},\overrightarrow{\mathrm{L}},\overrightarrow{\mathrm{N}})$ كما هو موضح بالشكل المجاور اي المعادلات التالية غير صحيحة:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathbf{K}}=\overrightarrow{\mathbf{N}} \left(1\right) \\ \overrightarrow{K}+\overrightarrow{L}+\overrightarrow{N}=\overrightarrow{L } \left(2\right) \\ \overrightarrow{\mathbf{K}}+\overrightarrow{\mathbf{N}}=\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$

• المعادلة 1
• المعادلة 2
• المعادلتين 1و2
• المعادلات 1و2و3

6. اذا اكان المتجة المحصل للمتجهين $\overrightarrow{\mathbf{K}},\overrightarrow{\mathbf{L}}$ عموديًا على المتجة $\overrightarrow{K}$ فأن مقدار المتجة $\overrightarrow{\mathrm{L}}$ يساوي:

• 8 وحدات
• $4\sqrt{3}$ وحدات
• $4\sqrt{2}$ وحدات
• $8\sqrt{2}$ وحدات

$\frac{R}{\sin 45}=\frac{L}{\sin 90}=\frac{K}{\sin 45}$

$\frac{L}{1}=\frac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{L}=8\Rightarrow \overrightarrow{L}=8\sqrt{2}$

7. اي من المعادلات التالية للمتجهات $\overrightarrow{\mathrm{P}},\overrightarrow{\mathbf{N}},\overrightarrow{\mathrm{M}},\overrightarrow{\mathrm{L}},\overrightarrow{\mathrm{K}}$ في الشكل المجاور تكون غير صحيحة:

$\begin{array}{r}\dots \overrightarrow{\mathrm{K}}+\overrightarrow{\mathrm{L}}-\overrightarrow{\mathrm{M}}-\overrightarrow{\mathrm{N}}=-\overrightarrow{2\mathrm{P} } 1\\ \overrightarrow{\mathrm{K}}+\overrightarrow{\mathrm{L}}+\overrightarrow{\mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{N}}=0 2\\ \overrightarrow{\mathrm{N}}+\overrightarrow{\mathrm{M}}=\overrightarrow{\mathrm{P}} 3\\ (\overrightarrow{\mathbf{K}}+\overrightarrow{\mathrm{L}})=\overrightarrow{\mathrm{P}} 4\end{array}$

• المعادلة 1
• المعادلة 2
• المعادلات 1و2و3
• المعادلة 4

8. في الشكل المجاور يبين مركبتي المتجهيين $\overrightarrow{B},\overrightarrow{A}$ والمتجة المحصل ،

ايًا من الاشكال a,b,c,d المعبر عن حاصل جمع المتجهيين A+B.

س2. هل يمكن لمركبة متجه ان تساوي صفر؟ على الرغم من ان مقدار المتجه لايساوي صفر؟ وضح ذلك.

نعم / مثال ذلك / متجه ازاحة 5m شرقاً فأن مركبته العمودية 5sin0 مقدار المركبة هنا صفر على الرغم من ان مقدار المتجه هو 5m.

س3. هل يمكن لمتجه ما ان يمتلك مقدار سالبًا؟ وضح ذلك.

كلا لا يمكن ان يمتلك مقدار سالباً لأن اي كمية متجه توضح داخل علامة المطلق $\left|\overrightarrow{A}\right|$ فانها تمثل مقدارها وتكون دائماً القيمة موجبة. يمكن القول ان المتجه يمتلك اتجاهًا سالبًا وليس مقدارًا سالبًا. 181 / W س 4

س4. اذا كان $\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}=0$ مايمكنك ان تقول عن المتجهي .

نقول ان المتجهين لهما نفس المقدار ( نفس طول السهم ) ومتوازيان ولكنهما متعاكسان بالاتجاه.

س5. تحت اي ظروف يمكن لمتجه ان يمتلك مركبتين متساويتين بالمقدار؟

عندما يميل المتجه بزاوية 45 عن محور X الموجب لأن: $A\sin 45=A\cos 45$

س6. هل يمكن إضافة كمية متجه الى كمية قياسية؟ وضح ذلك.

كلا لا يمكن لأن الكمية القياسية كمية مقدارية نستدل عليها من مقدارها ووحدة قياسها والكمية الاتجاهية نستدل عليها من مقدارها واتجاهها ووحدة قياسها وتجمع هندسياً وليس جبرياً.

س7. اذا كان مقدار المتجه $\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|=12\mathrm{m}$ ومقدار المتجه $\left|\overrightarrow{\mathrm{B}}\right|=9\mathrm{m}$ ومقدار متجه المحصل $\left|\overrightarrow{\mathrm{R}}\right|=3\mathrm{m}$ وضح ذلك مع الرسم؟

واضح ان المتجهين متوازيان ومتعاكسان بالاتجاه وان المحصلة باتجاه الكبرى.

$\overrightarrow{A}=12m,\overrightarrow{B}=-9m$

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=12+(-9)=3$

س8. اذا كانت مركبة المتجه $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ التي تقع باتجاه المتجه $\overrightarrow{B}$ تساوي صفر ماذا يمكنك ان تقول من المتجهين $(\overrightarrow{B},\overrightarrow{A})$؟

نقول ان المتجهين $(\overrightarrow{B},\overrightarrow{A})$ متعامدان وليكن المتجه $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ ينطبق على المحور X الموجب و $\overrightarrow{B}$ ينطبق على المحور Y فان المركبة العمودية للمتجة $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ = 0 اي $A\sin 0=0$ وبنفس الوقت هي مع اتجاه $\overrightarrow{B}$

س1. النقطة $\left(\overrightarrow{A}\right)$ تقع في المستوي ( x , y ) احداثياتها ( 3- , 2 ) اكتب تعبير عن موقع المتجه $\left({\overrightarrow{r}}_A\right)$ لهذه النقطة بصيغة اتجاهه وارسم مخطط يوضح اتجاه هذا المتجه؟

$\begin{array}{r}{\overrightarrow{r}}_A={\overrightarrow{r}}_{Ax}+{\overrightarrow{r}}_{Ay}\\ {\overrightarrow{r}}_{Ax}=2\text{ units },{\overrightarrow{r}}_{Ay}=-3\text{ units }\\ \tan \theta =\frac{r_{Ay}}{r_{Ax}}=\frac{-3}{2}\\ \theta ={\tan }^{-1}\frac{-3}{2}=-{56.3}^{\circ }\\ \end{array}$

باتجاه جنوب الشرق

س2. ما مقدار الضرب النقطي $(\overrightarrow{\mathit{A}}\cdot \overrightarrow{\mathit{B}})$ للمتجهين $(\overrightarrow{\mathit{A}},\overrightarrow{\mathit{B}})$ الموضحين في الشكل المجاور؟

$\begin{array}{c}\left|\overrightarrow{A}\right|=4\text{ units },\left|\overrightarrow{B}\right|=5\text{ units }\\ \\ \theta ={113}^{\circ }-{53}^{\circ }={60}^{\circ }\\ \\ \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos \theta =4\times 5\times {\cos }^{\circ }{0}^{\circ }\\ \\ \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=20\times 0.5=10\text{ units }\end{array}$

س3. اذا كان مقدار المتجه $\left(\overrightarrow{\mathit{A}}\right)$ يساوي ( 6units ) وبالاتجاه الموجب للمحور (x) ومقدار المتجه $\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ يساوي ( units 4 ) باتجاه 30 مع المحور X ويقع في المستوي ( x.y) احسب مقدار حاصل الضرب الاتجاهي $.(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})$

$\begin{array}{c}|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=AB\sin \theta \\ \\ |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=6\times 4\times \sin {30}^{\circ }\\ \\ |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=24\times 0.5=12\text{ units }\end{array}$

س4. جد مركبتي قوة ( 25N ) تميل بزاوية ( 127 ) عن المحور x علمًا ان $.{\left(\cos {37}^{\circ }=0.8\right)}_g\left(\sin {37}^{\circ }=0.6\right)$

$\begin{array}{c}\theta ={180}^{\circ }-{127}^{\circ }={53}^{\circ }\\ \\ F_x=\mathrm{Fcos}\theta =25\times \cos {53}^{\circ }\\ \\ F_x=25\times 0.6=15\mathrm{N}\\ \\ F_y=\mathrm{Fsin}\theta =25\times \sin {53}^{\circ }\\ \\ F_y=25\times 0.8=20\mathrm{N}\end{array}$