حلول الأسئلة
السؤال
إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = الارتفاع.
الحل
المعطيات:
- هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها ونصف قطرها
- رسمت الكرة التي مركزها خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.
المطلوب إثباته:
البرهان: نرسم (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).
نصل أصبحت لدينا الأهرامات التي رؤوسها وقواعدها المتساوية بالمساحة هي:
(الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).
قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:
(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)
حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير
حجم الهرم الكبير = 4 ×
مشاركة الحل
تمارين (3-6)
(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = ومساحة قاعدته = ومساحة أحد أوجهه الجانبية = جد أبعاده وحجمه.
المعطيات:
- متوازي المستطيلات.
- مساحته الكلية = ، ومساحة أحد أوجهه الأربعة = ومساحة القاعدة =
المطلوب إثباته: إيجاد أبعاده وحجمه
البرهان:
- = طول قاعدة متوازي المستطيلات.
- = عرض قاعدته.
- = ارتفاعه.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + (2) (مساحة القاعدة).
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع =
(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية وحجمها أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.
- المعطيات: المساحة الجانبية = ، الحجم =
- المطلوب إثباته: إيجاد نصف قطر ، الارتفاع
- البرهان: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.
(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = هو وحدة مكعبة.
المعطيات: ذو الوجوه الأربعة المنتظم طول كل حرف من أحرفه =
المطلوب إثباته:
البرهان: نرسم وتلتقي في .
- (المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).
- ينصف زاوية .
- ينصف زاوية (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها وينصف زاوية الرأس).
- لتكن منتصفات الأعمدة (الأعمدة المنصفة لأضلاع مثلث متساوي الساقين تلتقي في نقطة واحدة).
- (يمكن رسم مستقيم وحيد على مستو معلوم من نقطة معلومة).
- (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
في القائم الزاوية في :
في القائم الزاوية في وحسب مبرهنة فيثاغورس:
مساحة القاعدة المثلثة متساوية الأضلاع =
حجم الهرم = مساحة القاعدة × الارتفاع.
ملاحظة: مساحة قاعدة الهرم = مساحة مثلث متساوي الأضلاع = حيث طول الحرف للهرم.
(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار فإذا كانت مساحة القطع = وارتفاعه .
احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.
المعطيات:
- مخروط دائري قائم مركزه قطعه المستوى بحيث
- مساحة المقطع ، ارتفاع المخروط =
المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.
البرهان: نرسم الدائرة BC محتوى في الدائرة، معطى.
- (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
- (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
- في المثلث القائم الزاوية في (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
- في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
- مساحة (المقطع) المثلث = × القاعدة × الارتفاع.
- في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
- اي أن نصف قطر قاعدة المخروط =
- في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
- حيث يمثل الضلع طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
- المساحة الجانبية للمخروط = محيط القاعدة × طول المولد.
- المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
- حجم المخروط = مساحة القاعدة × الارتفاع.
(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = الارتفاع.
المعطيات:
- هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها ونصف قطرها
- رسمت الكرة التي مركزها خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.
المطلوب إثباته:
البرهان: نرسم (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).
نصل أصبحت لدينا الأهرامات التي رؤوسها وقواعدها المتساوية بالمساحة هي:
(الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).
قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:
(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)
حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير
حجم الهرم الكبير = 4 ×