حلول الأسئلة

السؤال

مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ . احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

الحل

الشكل

المعطيات:

مخروط دائري قائم مركزه $E$ قطعه المستوى $A B C$ بحيث $ED ⊥ BC E ED = 8 cm$
مساحة المقطع $102 {cm}^{2} = ABC$ ، ارتفاع المخروط = $15 c m$

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم $⊥ AE$ الدائرة BC محتوى في الدائرة، $E D ⊥ B C$ معطى.

$AD ⊥ BC$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$A E ⊥ E D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A D)^{2} = (A E)^{2} + (E D)^{2} \\ (A D)^{2} = (15)^{2} + (8)^{2} = 225 + 64 \Rightarrow (A D)^{2} = 289 \Rightarrow A D = 17 cm \end{aligned}$
مساحة (المقطع) المثلث $A B C$ = $\frac{1}{2}$ × القاعدة × الارتفاع.
$102 = \frac{1}{2} \times B C \times A D \Rightarrow 102 = \frac{1}{2} \times B C \times 17 \Rightarrow B C = 12 cm$
في المثلث $E D B$ القائم الزاوية في $D$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (E B)^{2} = (E D)^{2} + (B D)^{2} \\ (E B)^{2} = 64 + 36 \Rightarrow (E B)^{2} = 100 \Rightarrow E B = 10 cm \end{aligned}$
اي أن نصف قطر قاعدة المخروط = $10 c m$
في المثلث $A E B$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A B)^{2} = (A E)^{2} + (E B)^{2} \\ (A B)^{2} = 225 + 100 \Rightarrow (A B)^{2} = 325 \Rightarrow A B = 5 \sqrt{13} cm \end{aligned}$
حيث يمثل الضلع $A B$ طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
المساحة الجانبية للمخروط = $\frac{1}{2}$ محيط القاعدة × طول المولد.
$L \cdot A = \frac{1}{2} (2) (10) π (5 \sqrt{13}) = 50 \sqrt{13} π {cm}^{2}$
المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
$T \cdot A = 50 \sqrt{13} π + (10)^{2} π = 50 π (\sqrt{13} + 2) {cm}^{2}$
حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.
$v = \frac{1}{3} (10)^{2} π (15) = 500 π {cm}^{3}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = $724 {cm}^{2}$ ومساحة قاعدته = $132 {cm}^{2}$ ومساحة أحد أوجهه الجانبية = $110 {cm}^{2}$ جد أبعاده وحجمه.

الشكل

المعطيات:

متوازي المستطيلات.
مساحته الكلية = $724 {cm}^{2}$ ، ومساحة أحد أوجهه الأربعة = $110 {cm}^{2}$ ومساحة القاعدة = $132 {cm}^{2}$

المطلوب إثباته: إيجاد أبعاده وحجمه

البرهان:

$x$ = طول قاعدة متوازي المستطيلات.
$y$ = عرض قاعدته.
$h$ = ارتفاعه.

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + (2) (مساحة القاعدة).

$\begin{aligned} L . A = 2 (x + y) (h) + 2 x y \\ [724 = 2 x h + 2 y h + 2 x y] \overset{\div 2}{\Rightarrow} 362 = x h + y h + x y \\ ∵ x y = 132, ∵ y h = 110 \end{aligned} \begin{aligned} 362 = x h + 110 + 132 \Rightarrow 362 = x h + 242 \Rightarrow x h = 362 - 242 = 120 \\ x h = 120 \Rightarrow x = \frac{120}{h} \dots \dots . (1) \\ y h = 110 \Rightarrow y = \frac{110}{h} \dots \dots . (2) \\ x y = 132 \Rightarrow \frac{120}{h} \cdot \frac{110}{h} = 132 \Rightarrow \frac{13200}{h^{2}} = 132 \Rightarrow 132 h^{2} = 13200 \\ h^{2} = \frac{13200}{132} = 100 \Rightarrow h^{2} = 100 \Rightarrow h = 10 cm \\ x = \frac{120}{h} = \frac{120}{10} = 12 cm \\ y = \frac{110}{h} = \frac{110}{10} = 11 cm \end{aligned}$

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع = $x y h$

$v = (12) \cdot (11) \cdot (10) = 1320 {cm}^{3}$

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية $400 π {cm}^{2}$ وحجمها $2000 π {cm}^{2}$ أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

المعطيات: المساحة الجانبية = $400 π {cm}^{2}$ ، الحجم = $2000 π {cm}^{2}$
المطلوب إثباته: إيجاد نصف قطر $r$ ، الارتفاع $h$
البرهان: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\begin{aligned} v = π r^{2} h \\ 2000 π = r^{2} π h \overset{(\div π)}{⟹} r^{2} h = 2000 \Rightarrow h = \frac{2000}{r^{2}} \dots \dots (1) \end{aligned}$

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

$\begin{aligned} L . A = 2 r π h \\ 400 π = 2 r π h \overset{(\div 2 π)}{⟹} 400 π = 2 π r \frac{2000}{r^{2}} \Rightarrow 400 = \frac{4000}{r} \\ 400 r = 4000 \Rightarrow r = \frac{4000}{400} = 10 cm \\ h = \frac{2000}{r^{2}} \Rightarrow h = \frac{2000}{100} = 20 cm \end{aligned}$

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = $l$ هو $\frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$ وحدة مكعبة.

الشكل

المعطيات: $A - D B C$ ذو الوجوه الأربعة المنتظم طول كل حرف من أحرفه = $l$

المطلوب إثباته:

$v = \frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$

البرهان: نرسم $A G ⊥ B C, D F ⊥ B C$ وتلتقي في $E$ .

(المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).
$A G$ ينصف زاوية $A$ .
$D B$ ينصف زاوية $A C$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها وينصف زاوية الرأس).
لتكن $E$ منتصفات الأعمدة (الأعمدة المنصفة لأضلاع مثلث متساوي الساقين تلتقي في نقطة واحدة).
$E F ⊥ (A B C)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد على مستو معلوم من نقطة معلومة).
$EF ⊥ EA$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

في $△ A E D$ القائم الزاوية في $D$ :

$\cos 30 = \frac{\frac{1}{2} l}{A E} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{1}{2} l}{A E} \Rightarrow A E = \frac{l}{\sqrt{3}}$

في $△ AFE$ القائم الزاوية في $E$ وحسب مبرهنة فيثاغورس:

$l^{2} = h^{2} + {(\frac{l}{\sqrt{3}})}^{2} \Rightarrow l^{2} = h^{2} + \frac{l^{2}}{3} \Rightarrow h^{2} = l^{2} - \frac{l^{2}}{3} \Rightarrow h^{2} = \frac{2}{3} l^{2} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} l$

مساحة القاعدة المثلثة متساوية الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}$

حجم الهرم = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.

$∴ v = \frac{1}{3} (\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}) (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} l) = \frac{\sqrt{2}}{12} l^{3} (مكعبة وحدة)$

ملاحظة: مساحة قاعدة الهرم = مساحة مثلث متساوي الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}$ حيث $(l)$ طول الحرف للهرم.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ .

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

الشكل

المعطيات:

مخروط دائري قائم مركزه $E$ قطعه المستوى $A B C$ بحيث $ED ⊥ BC E ED = 8 cm$
مساحة المقطع $102 {cm}^{2} = ABC$ ، ارتفاع المخروط = $15 c m$

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم $⊥ AE$ الدائرة BC محتوى في الدائرة، $E D ⊥ B C$ معطى.

$AD ⊥ BC$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$A E ⊥ E D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A D)^{2} = (A E)^{2} + (E D)^{2} \\ (A D)^{2} = (15)^{2} + (8)^{2} = 225 + 64 \Rightarrow (A D)^{2} = 289 \Rightarrow A D = 17 cm \end{aligned}$
مساحة (المقطع) المثلث $A B C$ = $\frac{1}{2}$ × القاعدة × الارتفاع.
$102 = \frac{1}{2} \times B C \times A D \Rightarrow 102 = \frac{1}{2} \times B C \times 17 \Rightarrow B C = 12 cm$
في المثلث $E D B$ القائم الزاوية في $D$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (E B)^{2} = (E D)^{2} + (B D)^{2} \\ (E B)^{2} = 64 + 36 \Rightarrow (E B)^{2} = 100 \Rightarrow E B = 10 cm \end{aligned}$
اي أن نصف قطر قاعدة المخروط = $10 c m$
في المثلث $A E B$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A B)^{2} = (A E)^{2} + (E B)^{2} \\ (A B)^{2} = 225 + 100 \Rightarrow (A B)^{2} = 325 \Rightarrow A B = 5 \sqrt{13} cm \end{aligned}$
حيث يمثل الضلع $A B$ طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
المساحة الجانبية للمخروط = $\frac{1}{2}$ محيط القاعدة × طول المولد.
$L \cdot A = \frac{1}{2} (2) (10) π (5 \sqrt{13}) = 50 \sqrt{13} π {cm}^{2}$
المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
$T \cdot A = 50 \sqrt{13} π + (10)^{2} π = 50 π (\sqrt{13} + 2) {cm}^{2}$
حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.
$v = \frac{1}{3} (10)^{2} π (15) = 500 π {cm}^{3}$

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = $\frac{3}{4}$ الارتفاع.

الشكل

المعطيات:

$A - B C D$ هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها $E$ ونصف قطرها $A E$
رسمت الكرة التي مركزها $C$ خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.

المطلوب إثباته:

$A E = \frac{3}{4} A F$

البرهان: نرسم $A F ⊥ (B C D)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).

نصل $\overset{\leftrightarrow}{ED}, \overset{\leftrightarrow}{EC}, \overset{\leftrightarrow}{EB}$ أصبحت لدينا الأهرامات التي رؤوسها $(E)$ وقواعدها المتساوية بالمساحة هي:

$(BCD), (ACD), (ABC), (ABD)$ (الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).

قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:

$(E - BCD), (E - ACD), (E - ABC), (E - ABD)$

(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)

حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير

حجم الهرم الكبير = 4 × $E - BCD$

$\begin{aligned} \frac{1}{3} (B C D) (A F) = 4 (\frac{1}{3}) (B C D) (E F) \\ AF = 4 (E F) \\ A F = 4 (A F - A E) \\ A F = 4 A F - 4 A E \\ 4 A E = 3 A F \Rightarrow A E = \frac{3}{4} A F \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ . احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

الحل

الشكل

المعطيات:

مخروط دائري قائم مركزه $E$ قطعه المستوى $A B C$ بحيث $ED ⊥ BC E ED = 8 cm$
مساحة المقطع $102 {cm}^{2} = ABC$ ، ارتفاع المخروط = $15 c m$

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم $⊥ AE$ الدائرة BC محتوى في الدائرة، $E D ⊥ B C$ معطى.

$AD ⊥ BC$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$A E ⊥ E D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A D)^{2} = (A E)^{2} + (E D)^{2} \\ (A D)^{2} = (15)^{2} + (8)^{2} = 225 + 64 \Rightarrow (A D)^{2} = 289 \Rightarrow A D = 17 cm \end{aligned}$
مساحة (المقطع) المثلث $A B C$ = $\frac{1}{2}$ × القاعدة × الارتفاع.
$102 = \frac{1}{2} \times B C \times A D \Rightarrow 102 = \frac{1}{2} \times B C \times 17 \Rightarrow B C = 12 cm$
في المثلث $E D B$ القائم الزاوية في $D$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (E B)^{2} = (E D)^{2} + (B D)^{2} \\ (E B)^{2} = 64 + 36 \Rightarrow (E B)^{2} = 100 \Rightarrow E B = 10 cm \end{aligned}$
اي أن نصف قطر قاعدة المخروط = $10 c m$
في المثلث $A E B$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A B)^{2} = (A E)^{2} + (E B)^{2} \\ (A B)^{2} = 225 + 100 \Rightarrow (A B)^{2} = 325 \Rightarrow A B = 5 \sqrt{13} cm \end{aligned}$
حيث يمثل الضلع $A B$ طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
المساحة الجانبية للمخروط = $\frac{1}{2}$ محيط القاعدة × طول المولد.
$L \cdot A = \frac{1}{2} (2) (10) π (5 \sqrt{13}) = 50 \sqrt{13} π {cm}^{2}$
المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
$T \cdot A = 50 \sqrt{13} π + (10)^{2} π = 50 π (\sqrt{13} + 2) {cm}^{2}$
حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.
$v = \frac{1}{3} (10)^{2} π (15) = 500 π {cm}^{3}$

تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = $724 {cm}^{2}$ ومساحة قاعدته = $132 {cm}^{2}$ ومساحة أحد أوجهه الجانبية = $110 {cm}^{2}$ جد أبعاده وحجمه.

الشكل

المعطيات:

متوازي المستطيلات.
مساحته الكلية = $724 {cm}^{2}$ ، ومساحة أحد أوجهه الأربعة = $110 {cm}^{2}$ ومساحة القاعدة = $132 {cm}^{2}$

المطلوب إثباته: إيجاد أبعاده وحجمه

البرهان:

$x$ = طول قاعدة متوازي المستطيلات.
$y$ = عرض قاعدته.
$h$ = ارتفاعه.

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + (2) (مساحة القاعدة).

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع = $x y h$

$v = (12) \cdot (11) \cdot (10) = 1320 {cm}^{3}$

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية $400 π {cm}^{2}$ وحجمها $2000 π {cm}^{2}$ أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

المعطيات: المساحة الجانبية = $400 π {cm}^{2}$ ، الحجم = $2000 π {cm}^{2}$
المطلوب إثباته: إيجاد نصف قطر $r$ ، الارتفاع $h$
البرهان: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\begin{aligned} v = π r^{2} h \\ 2000 π = r^{2} π h \overset{(\div π)}{⟹} r^{2} h = 2000 \Rightarrow h = \frac{2000}{r^{2}} \dots \dots (1) \end{aligned}$

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = $l$ هو $\frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$ وحدة مكعبة.

الشكل

المعطيات: $A - D B C$ ذو الوجوه الأربعة المنتظم طول كل حرف من أحرفه = $l$

المطلوب إثباته:

$v = \frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$

البرهان: نرسم $A G ⊥ B C, D F ⊥ B C$ وتلتقي في $E$ .

(المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).
$A G$ ينصف زاوية $A$ .
$D B$ ينصف زاوية $A C$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها وينصف زاوية الرأس).
لتكن $E$ منتصفات الأعمدة (الأعمدة المنصفة لأضلاع مثلث متساوي الساقين تلتقي في نقطة واحدة).
$E F ⊥ (A B C)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد على مستو معلوم من نقطة معلومة).
$EF ⊥ EA$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

في $△ A E D$ القائم الزاوية في $D$ :

$\cos 30 = \frac{\frac{1}{2} l}{A E} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{1}{2} l}{A E} \Rightarrow A E = \frac{l}{\sqrt{3}}$

في $△ AFE$ القائم الزاوية في $E$ وحسب مبرهنة فيثاغورس:

مساحة القاعدة المثلثة متساوية الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}$

حجم الهرم = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.

$∴ v = \frac{1}{3} (\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}) (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} l) = \frac{\sqrt{2}}{12} l^{3} (مكعبة وحدة)$

ملاحظة: مساحة قاعدة الهرم = مساحة مثلث متساوي الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}$ حيث $(l)$ طول الحرف للهرم.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ .

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

الشكل

المعطيات:

مخروط دائري قائم مركزه $E$ قطعه المستوى $A B C$ بحيث $ED ⊥ BC E ED = 8 cm$
مساحة المقطع $102 {cm}^{2} = ABC$ ، ارتفاع المخروط = $15 c m$

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم $⊥ AE$ الدائرة BC محتوى في الدائرة، $E D ⊥ B C$ معطى.

$AD ⊥ BC$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$A E ⊥ E D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
في المثلث $A D E$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A D)^{2} = (A E)^{2} + (E D)^{2} \\ (A D)^{2} = (15)^{2} + (8)^{2} = 225 + 64 \Rightarrow (A D)^{2} = 289 \Rightarrow A D = 17 cm \end{aligned}$
مساحة (المقطع) المثلث $A B C$ = $\frac{1}{2}$ × القاعدة × الارتفاع.
$102 = \frac{1}{2} \times B C \times A D \Rightarrow 102 = \frac{1}{2} \times B C \times 17 \Rightarrow B C = 12 cm$
في المثلث $E D B$ القائم الزاوية في $D$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (E B)^{2} = (E D)^{2} + (B D)^{2} \\ (E B)^{2} = 64 + 36 \Rightarrow (E B)^{2} = 100 \Rightarrow E B = 10 cm \end{aligned}$
اي أن نصف قطر قاعدة المخروط = $10 c m$
في المثلث $A E B$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
$\begin{aligned} (A B)^{2} = (A E)^{2} + (E B)^{2} \\ (A B)^{2} = 225 + 100 \Rightarrow (A B)^{2} = 325 \Rightarrow A B = 5 \sqrt{13} cm \end{aligned}$
حيث يمثل الضلع $A B$ طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
المساحة الجانبية للمخروط = $\frac{1}{2}$ محيط القاعدة × طول المولد.
$L \cdot A = \frac{1}{2} (2) (10) π (5 \sqrt{13}) = 50 \sqrt{13} π {cm}^{2}$
المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
$T \cdot A = 50 \sqrt{13} π + (10)^{2} π = 50 π (\sqrt{13} + 2) {cm}^{2}$
حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.
$v = \frac{1}{3} (10)^{2} π (15) = 500 π {cm}^{3}$

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = $\frac{3}{4}$ الارتفاع.

الشكل

المعطيات:

$A - B C D$ هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها $E$ ونصف قطرها $A E$
رسمت الكرة التي مركزها $C$ خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.

المطلوب إثباته:

$A E = \frac{3}{4} A F$

البرهان: نرسم $A F ⊥ (B C D)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).

$(BCD), (ACD), (ABC), (ABD)$ (الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).

قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:

$(E - BCD), (E - ACD), (E - ABC), (E - ABD)$

(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)

حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير

حجم الهرم الكبير = 4 × $E - BCD$

حلول الأسئلة

مشاركة الحل

تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = 724cm2 ومساحة قاعدته = 132cm2 ومساحة أحد أوجهه الجانبية = 110cm2 جد أبعاده وحجمه.

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية 400πcm2 وحجمها 2000πcm2 أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = l هو 2l312 وحدة مكعبة.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار 8cm فإذا كانت مساحة القطع = 102cm2 وارتفاعه 15cm.

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = 34 الارتفاع.

مشاركة الدرس

تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = 724cm2 ومساحة قاعدته = 132cm2 ومساحة أحد أوجهه الجانبية = 110cm2 جد أبعاده وحجمه.

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية 400πcm2 وحجمها 2000πcm2 أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = l هو 2l312 وحدة مكعبة.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار 8cm فإذا كانت مساحة القطع = 102cm2 وارتفاعه 15cm.

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = 34 الارتفاع.

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = $724 {cm}^{2}$ ومساحة قاعدته = $132 {cm}^{2}$ ومساحة أحد أوجهه الجانبية = $110 {cm}^{2}$ جد أبعاده وحجمه.

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية $400 π {cm}^{2}$ وحجمها $2000 π {cm}^{2}$ أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = $l$ هو $\frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$ وحدة مكعبة.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ .

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = $\frac{3}{4}$ الارتفاع.

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = $724 {cm}^{2}$ ومساحة قاعدته = $132 {cm}^{2}$ ومساحة أحد أوجهه الجانبية = $110 {cm}^{2}$ جد أبعاده وحجمه.

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية $400 π {cm}^{2}$ وحجمها $2000 π {cm}^{2}$ أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = $l$ هو $\frac{\sqrt{2} l^{3}}{12}$ وحدة مكعبة.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8 c m$ فإذا كانت مساحة القطع = $102 {cm}^{2}$ وارتفاعه $15 cm$ .

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = $\frac{3}{4}$ الارتفاع.