برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان بمستقيم فإنه ميله على أحدهما يساوي ميله على الآخر. 

المعطيات:

• $\left(\mathrm{X}\right)//\left(\mathrm{Y}\right)$
• $\overleftrightarrow{AB}$ يقطع $\left(\mathrm{Y}\right),\left(\mathrm{X}\right)$ في النقطتين $C,B$ على الترتيب.

المطلوب إثباته: زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$ .

البرهان: نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (في المستوى الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستوٍ معلوم من نقطة معلومة).

• $\left(\mathrm{Y}\right)//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی).
• $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{Y}\right)\therefore$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
• $\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{AE}$ يعينان المستوي $Z$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
• $\left(\mathrm{X}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{CD},\left(\mathrm{Y}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{EB}$ (يتقاطع المستويين بمستقيم).
• $\overline{CD}//\overline{BE}$ (خطأ تقاطع مستويين متوازيين بمستو ثالث متوازيان).
• $<)ACD$ هي زاوية ميل $AB$ على $X$ ، $<)ABE$ هي زاوية ميل $AB$ على $Y$
• (زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي).
• $m\times ABE=m\times ACD\therefore$ (بالتناظر).
• زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$ (و. هـ. م).

تمارين (2-6)

(1)- برهن أن طول قطعة المستقيم الموازي لمستوٍ معلوم يساوي طول مسقطه على المستوي المعلوم ويوازيه.

المعطيات: $\overline{AB}//\left(\mathrm{X}\right)$، $\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(\mathrm{X}\right)$

المطلوب إثباته:

1. $\overline{AB}//\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$

2. $AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$

البرهان:

• $\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\because$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(\mathrm{X}\right)$ (معطی).
• $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}\perp \left(\mathrm{X}\right),\overline{B{B}^{\mathrm{\prime }}}\perp \left(\mathrm{X}\right)\therefore$ (حسب تعريف مسقط قطعة مستقيم).
• $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}//\overline{B{B}^{\mathrm{\prime }}}\therefore$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان).
• لیكن $\left(Y\right)$ مستوي المستقيمين المتوازيين $A{A}^{\mathrm{\prime }},B{B}^{\mathrm{\prime }}$ (لكل مستقيمين متوازيين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
• $\overline{AB}//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی).
• $\overline{AB}//\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\therefore$ (مستقيم تقاطع مستويين يوازي كل مستقيم محتوى في أحدهما ويوازي الآخر) (و. هـ. م) (1).
• الشكل $AB{B}^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}$ متوازي أضلاع (يكون الشكل الرباعي متوازي إذا كان فيه كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين).
• $AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\therefore$ (متوازي الأضلاع يكون فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين) (و. هـ. م) (2).

(2)- برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان بمستقيم فإنه ميله على أحدهما يساوي ميله على الآخر.

المعطيات:

• $\left(\mathrm{X}\right)//\left(\mathrm{Y}\right)$
• $\overleftrightarrow{AB}$ يقطع $\left(\mathrm{Y}\right),\left(\mathrm{X}\right)$ في النقطتين $C,B$ على الترتيب.

المطلوب إثباته: زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$.

البرهان: نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (في المستوى الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستوٍ معلوم من نقطة معلومة).

• $\left(\mathrm{Y}\right)//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی).
• $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{Y}\right)\therefore$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
• $\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{AE}$ يعينان المستوي $Z$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
• $\left(\mathrm{X}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{CD},\left(\mathrm{Y}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{EB}$ (يتقاطع المستويين بمستقيم).
• $\overline{CD}//\overline{BE}$ (خطأ تقاطع مستويين متوازيين بمستو ثالث متوازيان).
• $<)ACD$ هي زاوية ميل $AB$ على $X$، $<)ABE$ هي زاوية ميل $AB$ على $Y$
• (زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي).
• $m\times ABE=m\times ACD\therefore$ (بالتناظر).
• زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$ (و. هـ. م).

(3)- يرهن على أن للمستقيمات المتوازية المائلة على مستوي الميل نفسه.

المعطيات: $\overline{AB}//\overline{CD}$ وكل منهما مائلان على $\left(X\right)$

المطلوب إثباته: زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{CD}$ على $\left(X\right)$

البرهان: نرسم$\begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{AE}\perp \left(\mathrm{X}\right)\begin{array}{rl},& \overleftrightarrow{CF}\perp \left(\mathrm{X}\right)\end{array}\end{array}$

• (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو من نقطة معلومة).
• $\overleftrightarrow{EB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$
• $\overleftrightarrow{FD}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{CD}$ على $\left(X\right)$

(تعريف مسقط قطعة مستقيم على المستوي).

• $\mathrm{\Delta }\mathrm{△}AEB,CFD$ قائما الزاوية في $\mathrm{E},\mathrm{F}$ على الترتيب.
• (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• $\overleftrightarrow{AE}//\overleftrightarrow{CF}\therefore$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان).
• $\overleftrightarrow{AB}//\overleftrightarrow{CD}\because$ (معطى).
• $m<)FCD=m<)EAB$ (إذا وازی ضلعا زاوية ضلعي زاوية أخرى تساوى قياسهما وتوازي مستويهما).
• $m<)CFD=m<)AEB={90}^{\circ }\therefore$ (لأنه مثلث قائم الزاوية).
• $m<)CDF=m<)ABE\therefore$ (مجموع قياسات زوايا المثلث = ${180}^{\circ }$) (و. هـ. م).

(4)- برهن على أنه إذا رسم مائلان مختلفان في الطول من نقطة لا تنتمي إلى مستوي معلوم فإن أطولهما زاوية ميله على المستوي أصغر من زاوية ميل الآخر عليه.

المعطيات:

• $A\notin \left(\mathrm{X}\right),AB>AC$
• $AB,AC$ مائلان على $X$

المطلوب إثباته: قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$

البرهان: نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستوي معلوم من نقطة معلومة).

• نصل $\overleftrightarrow{DC},\overleftrightarrow{DB}$
• $\overleftrightarrow{DB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$
• $\overleftrightarrow{DC}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$
• (مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستوٍ هو قطعة المستقيم الواصلة بين أثري العمودين النازلين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة).
• $<){\theta }_1\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$
• $<){\theta }_2\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$
• (زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي).
• $AD\perp BD,AD\perp CD$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• $\mathrm{△}\mathrm{\Delta }ADB,ADC$ قائما الزاوية في $D$.
• $AB>AC\because$ (معطى).
• $\frac{AB}{AD}>\frac{AC}{AD}\Rightarrow \frac{AD}{AB}<\frac{AD}{AC}$ (خواص التباين).
• قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$ (و. هـ. م).

(5)- برهن على أنه إذا رسم مائلان من نقطة ما إلى مستوي فأصغرهما ميلاً هو الأطول.

المعطيات:

• $\overline{AB},\overline{AC}$ مائلان على $\left(X\right)$
• قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$

المطلوب إثباته:

$AB>AC$

البرهان: نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).

• نصل $\overleftrightarrow{DC},\overleftrightarrow{DB}$
• $\overleftrightarrow{DB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$
• $\overleftrightarrow{DC}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$
• (مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستو هو قطعة المستقيم الواصلة بين أثري العمودين النازلين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة).
• $<){\theta }_1\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$
• $<){\theta }_2\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$
• (زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي).
• $AD\perp BD,AD\perp CD$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• $△△ADB,ADC$ قائما الزاوية في $D$.
• قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$ (معطى).
• $\sin B<\sin C\Rightarrow <)B<<)C$
• $\frac{AD}{AB}<\frac{AD}{AC}\Rightarrow \frac{AB}{AD}>\frac{AC}{AD}\Rightarrow AB>AC$ (خواص التباين) (و. هـ. م).

(6)- برهن أن زاوية الميل بين المستقيم ومسقطه على مستوٍ أصغر من الزاوية المحصورة بين المستقيم نفسه وأي مستقيم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي.

المعطيات:

• $\overline{AB}$ مائل على $\left(X\right)$، $\overline{BC}$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(X\right)$
• $<)ABC,\overline{BC}\subset \left(X\right)$ محددة بـ $\overline{BC},\overline{AB}$
• $<)ABD$ محددة بـ $\overline{BD},\overline{AB}$

المطلوب إثباته: $m<)ABC<m<)ABD$

البرهان:

• لتكن $\mathrm{E}\in \mathrm{BD}$ بحيث أن $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BE}}$، نصل $AE$
• نرسم $\overline{AC}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).
• $\overline{AC}\perp \overline{BC}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• $AC<AE$ (العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بين النقطة المعلومة وأي نقطة أخرى تقع ضمن ذلك المستوي).
• $AB$ مشترك، $AE=BC$ (بالبرهان).
• لتكن ${\theta }_2=ABE,{\theta }_1=ABC$
• $m<)ABC<m<)ABE$ (إذا ساوى ضلعا مثلث ضلعي مثلث آخر واختلف الضلعان الآخران فأصغرهما يقابل أصغر الزاويتين) (و. هـ. م).