حلول الأسئلة

السؤال

$A B C$ مثلث، $\bar{B C} \subset (X)$ والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث $(A B C)$ والمستوي $(X)$ قياسها $60 °$ فإذا كان $A B = A C = 13 cm, B C = 10 cm$ جد مسقط المثلث $(A B C)$ على ( $(X)$ ثم جد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

الحل

- الشكل

المعطيات:

$△ A B C, \bar{B C} \subset (X)$

قياس $A B C - \bar{B C} - (X) = 60^{\circ}$

$B C = 10 cm, AB = A C = 13 cm$

المطلوب إثباته: إيجاد مسقط $△ A B C$ على $(X)$ وإيجاد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

البرهان: نرسم $\bar{A D} ⊥ (X)$ في $D$ (يمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة).

$\bar{CD}$ مسقط $\bar{AC}$
$\bar{BD}$ مسقط $\bar{AB}$
$\bar{B C}$ مسقط نفسه على $(X)$
(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوى من طريق القطعة المستقيمة).
$△ B C D ∴$ مسقط $△ A B C$ على $(X)$
في $(A B C)$ نرسم $\bar{B C} ⊥ \bar{A E}$ في $E$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم عمود على آخر من نقطة معلومة).
$A C = A B ∵$ (معطی)
$E C = B E = 5 cm ∴$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\bar{E D} ⊥ \bar{B C} ∴$ (نتيجة مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$<) D E A ∴$ عائدة للزوجية $\bar{B C}$ (تعريف الزاوية العائدة).
لكن قياس الزاوية الزوجية $\bar{B C} = 60^{\circ}$ (معطی).
في $△ A E B$ القائم في $E$ :
$A E = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
في $△ A E D$ القائم في $D$ :
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} = \frac{E D}{A E} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{E D}{12} \Rightarrow E D = 6 cm \\ B C D (المثلث مساحة) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
(و. هـ. م).

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

الإسقاط العمودي على مستو

1. مسقط نقطة على مستوٍ: هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي.

2. مسقط مجموعة نقط على مستوي: لتكن $L$ مجموعة من نقاط في الفراغ فإن مسقطها هو مجموع كل آثار الأعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي.

3. مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستوٍ معلوم: هي قطعة المستقيم المحددة بأثري العمودين المرسومين من نهايتي القطعة المستقيمة على المستوي المعلوم.

الشكل

ليكن $\bar{A B}$ غير عمودي على $(X)$
وليكن $\Leftarrow \bar{A C} ⊥ (X)$ مسقط $A$ على $(X)$ هو $C$
$\Leftarrow \bar{B D} ⊥ (X)$ مسقط $B$ على $(X)$ هو $D$
مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ هو $\bar{C D}$

ملاحظة:

إذا كان $\bar{A B} / / (X)$ فإن $AB = CD$

4. المستقيم المائل على مستو: هو المستقيم غير العمودي على المستوي وقاطع له.

5. زاوية الميل: هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي.

الشكل

ليكن $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ مائلاً على $(X)$ في $B$ ليكن $\bar{A C} ⊥ (X)$ في $C$
$C ∴$ مسقط $A$ على $(X)$ حيث $A \notin (X)$
كذلك $B$ مسقط نفسها حيث $B \in (X)$
$\bar{B C}$ مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ أي أن $θ \in (0, 90^{\circ}), 0 < θ < 90^{\circ}$

6. طول المسقط: طول مسقط قطعة مستقيم على مستوٍ = طول المائل × جيب تمام زاوية الميل فعندما تكون $\bar{A B}$ مائلاً على $(X)$ وزاوية ميله $θ$ ومسقطه $\bar{B C}$ $B C = A B \cos θ$

7. مسقط مستوى مائل على $(X)$ : زاوية ميل مستوي على مستوٍ معلوم هو قياس الزاوية المستوية العائدة للزاوية الزوجية بينهما.

مساحة مسقط منطقة مائلة على مستو معلوم = مساحة المنطقة المائلة × جيب تمام زاوية الميل.

لتكن $A$ مساحة المنطقة المائلة، ' $A'$ مساحة المسقط و $θ$ قياس زاوية الميل $A^{'} = A \cdot \cos θ$

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

الشكل

المعطيات:

$<) A B C$ قائمة في $B$
$\bar{A B} / / (X)$
$\bar{A' B'}$ هو مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$
$\bar{B' C'}$ هو مسقط $\bar{B C}$ على $(X)$

المطلوب إثباته: $\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'}$

البرهان:

$\bar{A' B'}$ مسقط $\bar{A B}$ (معطى).
$\bar{B' C'}$ مسقط $\bar{B C}$ (معطى).
$\bar{C C'}, \bar{B B'}, \bar{A A'} ⊥ (X) \Leftarrow$
(مسقط قطعة مستقيم على مستوٍ معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة).
$\bar{C C'} / / \bar{B B'}, \bar{A A'} / / \bar{B B'}$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان).
بالمستقيمين المتوازيين $C C', B B'$ نعين $(Z)$
بالمستقيمين المتوازيين $A A', B B'$ نعين $(Y)$
(لكل مستقيمين متوازيين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
لكن $\bar{A B} / / (X)$ (معطی).
$(Y) \cap (X) = A' B'$ (يتقاطع المستويان بخط مستقيم).
$\bar{A B} / / \bar{A' B'} ⟸$ (إذا وازی مستقيم مستوياً معلوماً فإنه يوازي جميع المستقيمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي والمستويات التي تحوي المستقيم).
كذلك $\bar{B B'} ⊥ \bar{A' B'}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
$\bar{A B} ⊥ \bar{B B'}$ (في المستوى الواحد: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
لكن $\bar{A B} ⊥ \bar{B C}$ (لأن ° $m <) A B C = 90^{\circ}$ معطی).
$\bar{A' B'} ⊥ (Z) ⟸$ (المستوي العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
$\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'} ∴$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

(2)- $A B C$ مثلث، $\bar{B C} \subset (X)$ والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث $(A B C)$ والمستوي $(X)$ قياسها $60 °$ فإذا كان $A B = A C = 13 cm, B C = 10 cm$ جد مسقط المثلث $(A B C)$ على ( $(X)$ ثم جد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

الشكل

المعطيات:

$△ A B C, \bar{B C} \subset (X)$

قياس $A B C - \bar{B C} - (X) = 60^{\circ}$

$B C = 10 cm, AB = A C = 13 cm$

المطلوب إثباته: إيجاد مسقط $△ A B C$ على $(X)$ وإيجاد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

البرهان: نرسم $\bar{A D} ⊥ (X)$ في $D$ (يمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة).

$\bar{CD}$ مسقط $\bar{AC}$
$\bar{BD}$ مسقط $\bar{AB}$
$\bar{B C}$ مسقط نفسه على $(X)$
(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوى من طريق القطعة المستقيمة).
$△ B C D ∴$ مسقط $△ A B C$ على $(X)$
في $(A B C)$ نرسم $\bar{B C} ⊥ \bar{A E}$ في $E$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم عمود على آخر من نقطة معلومة).
$A C = A B ∵$ (معطی)
$E C = B E = 5 cm ∴$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\bar{E D} ⊥ \bar{B C} ∴$ (نتيجة مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$<) D E A ∴$ عائدة للزوجية $\bar{B C}$ (تعريف الزاوية العائدة).
لكن قياس الزاوية الزوجية $\bar{B C} = 60^{\circ}$ (معطی).
في $△ A E B$ القائم في $E$ :
$A E = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
في $△ A E D$ القائم في $D$ :
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} = \frac{E D}{A E} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{E D}{12} \Rightarrow E D = 6 cm \\ B C D (المثلث مساحة) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
(و. هـ. م).

ملاحظة: لو طلب مساحة المسقط فقط فيمكن إيجاده كالآتي:

$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} \times A B C (مساحة) = B C D (مساحة) \\ = \frac{1}{2} \times (12 \times 10 \times \frac{1}{2}) = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$

(و. هـ. م).

ملاحظة: كل سؤال يعطي فيه زاوية زوجية علينا اتباع الآتي:

معرفة مستقيم تقاطع المستويين الذي هو حرف الزاوية الزوجية.
نرسم عمود على حرف الزاوية الزوجية والعمود الآخر نستنتجه من مبرهنة الأعمدة الثلاث.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

$A B C$ مثلث، $\bar{B C} \subset (X)$ والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث $(A B C)$ والمستوي $(X)$ قياسها $60 °$ فإذا كان $A B = A C = 13 cm, B C = 10 cm$ جد مسقط المثلث $(A B C)$ على ( $(X)$ ثم جد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

الحل

- الشكل

المعطيات:

$△ A B C, \bar{B C} \subset (X)$

قياس $A B C - \bar{B C} - (X) = 60^{\circ}$

$B C = 10 cm, AB = A C = 13 cm$

المطلوب إثباته: إيجاد مسقط $△ A B C$ على $(X)$ وإيجاد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

البرهان: نرسم $\bar{A D} ⊥ (X)$ في $D$ (يمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة).

$\bar{CD}$ مسقط $\bar{AC}$
$\bar{BD}$ مسقط $\bar{AB}$
$\bar{B C}$ مسقط نفسه على $(X)$
(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوى من طريق القطعة المستقيمة).
$△ B C D ∴$ مسقط $△ A B C$ على $(X)$
في $(A B C)$ نرسم $\bar{B C} ⊥ \bar{A E}$ في $E$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم عمود على آخر من نقطة معلومة).
$A C = A B ∵$ (معطی)
$E C = B E = 5 cm ∴$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\bar{E D} ⊥ \bar{B C} ∴$ (نتيجة مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$<) D E A ∴$ عائدة للزوجية $\bar{B C}$ (تعريف الزاوية العائدة).
لكن قياس الزاوية الزوجية $\bar{B C} = 60^{\circ}$ (معطی).
في $△ A E B$ القائم في $E$ :
$A E = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
في $△ A E D$ القائم في $D$ :
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} = \frac{E D}{A E} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{E D}{12} \Rightarrow E D = 6 cm \\ B C D (المثلث مساحة) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
(و. هـ. م).

الإسقاط العمودي على مستو

1. مسقط نقطة على مستوٍ: هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي.

الشكل

ليكن $\bar{A B}$ غير عمودي على $(X)$
وليكن $\Leftarrow \bar{A C} ⊥ (X)$ مسقط $A$ على $(X)$ هو $C$
$\Leftarrow \bar{B D} ⊥ (X)$ مسقط $B$ على $(X)$ هو $D$
مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ هو $\bar{C D}$

ملاحظة:

إذا كان $\bar{A B} / / (X)$ فإن $AB = CD$

4. المستقيم المائل على مستو: هو المستقيم غير العمودي على المستوي وقاطع له.

5. زاوية الميل: هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي.

الشكل

ليكن $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ مائلاً على $(X)$ في $B$ ليكن $\bar{A C} ⊥ (X)$ في $C$
$C ∴$ مسقط $A$ على $(X)$ حيث $A \notin (X)$
كذلك $B$ مسقط نفسها حيث $B \in (X)$
$\bar{B C}$ مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$ أي أن $θ \in (0, 90^{\circ}), 0 < θ < 90^{\circ}$

مساحة مسقط منطقة مائلة على مستو معلوم = مساحة المنطقة المائلة × جيب تمام زاوية الميل.

لتكن $A$ مساحة المنطقة المائلة، ' $A'$ مساحة المسقط و $θ$ قياس زاوية الميل $A^{'} = A \cdot \cos θ$

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

الشكل

المعطيات:

$<) A B C$ قائمة في $B$
$\bar{A B} / / (X)$
$\bar{A' B'}$ هو مسقط $\bar{A B}$ على $(X)$
$\bar{B' C'}$ هو مسقط $\bar{B C}$ على $(X)$

المطلوب إثباته: $\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'}$

البرهان:

$\bar{A' B'}$ مسقط $\bar{A B}$ (معطى).
$\bar{B' C'}$ مسقط $\bar{B C}$ (معطى).
$\bar{C C'}, \bar{B B'}, \bar{A A'} ⊥ (X) \Leftarrow$
(مسقط قطعة مستقيم على مستوٍ معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة).
$\bar{C C'} / / \bar{B B'}, \bar{A A'} / / \bar{B B'}$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان).
بالمستقيمين المتوازيين $C C', B B'$ نعين $(Z)$
بالمستقيمين المتوازيين $A A', B B'$ نعين $(Y)$
(لكل مستقيمين متوازيين يوجد مستو وحيد يحتويهما).
لكن $\bar{A B} / / (X)$ (معطی).
$(Y) \cap (X) = A' B'$ (يتقاطع المستويان بخط مستقيم).
$\bar{A B} / / \bar{A' B'} ⟸$ (إذا وازی مستقيم مستوياً معلوماً فإنه يوازي جميع المستقيمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي والمستويات التي تحوي المستقيم).
كذلك $\bar{B B'} ⊥ \bar{A' B'}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
$\bar{A B} ⊥ \bar{B B'}$ (في المستوى الواحد: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
لكن $\bar{A B} ⊥ \bar{B C}$ (لأن ° $m <) A B C = 90^{\circ}$ معطی).
$\bar{A' B'} ⊥ (Z) ⟸$ (المستوي العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر).
$\bar{A' B'} ⊥ \bar{B' C'} ∴$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

(2)- $A B C$ مثلث، $\bar{B C} \subset (X)$ والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث $(A B C)$ والمستوي $(X)$ قياسها $60 °$ فإذا كان $A B = A C = 13 cm, B C = 10 cm$ جد مسقط المثلث $(A B C)$ على ( $(X)$ ثم جد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

الشكل

المعطيات:

$△ A B C, \bar{B C} \subset (X)$

قياس $A B C - \bar{B C} - (X) = 60^{\circ}$

$B C = 10 cm, AB = A C = 13 cm$

المطلوب إثباته: إيجاد مسقط $△ A B C$ على $(X)$ وإيجاد مساحة مسقط $△ A B C$ على $(X)$ .

البرهان: نرسم $\bar{A D} ⊥ (X)$ في $D$ (يمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة).

$\bar{CD}$ مسقط $\bar{AC}$
$\bar{BD}$ مسقط $\bar{AB}$
$\bar{B C}$ مسقط نفسه على $(X)$
(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودين المرسومين على المستوى من طريق القطعة المستقيمة).
$△ B C D ∴$ مسقط $△ A B C$ على $(X)$
في $(A B C)$ نرسم $\bar{B C} ⊥ \bar{A E}$ في $E$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم عمود على آخر من نقطة معلومة).
$A C = A B ∵$ (معطی)
$E C = B E = 5 cm ∴$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\bar{E D} ⊥ \bar{B C} ∴$ (نتيجة مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
$<) D E A ∴$ عائدة للزوجية $\bar{B C}$ (تعريف الزاوية العائدة).
لكن قياس الزاوية الزوجية $\bar{B C} = 60^{\circ}$ (معطی).
في $△ A E B$ القائم في $E$ :
$A E = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
في $△ A E D$ القائم في $D$ :
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} = \frac{E D}{A E} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{E D}{12} \Rightarrow E D = 6 cm \\ B C D (المثلث مساحة) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
(و. هـ. م).

ملاحظة: لو طلب مساحة المسقط فقط فيمكن إيجاده كالآتي:

$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} \times A B C (مساحة) = B C D (مساحة) \\ = \frac{1}{2} \times (12 \times 10 \times \frac{1}{2}) = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$

(و. هـ. م).

ملاحظة: كل سؤال يعطي فيه زاوية زوجية علينا اتباع الآتي:

معرفة مستقيم تقاطع المستويين الذي هو حرف الزاوية الزوجية.
نرسم عمود على حرف الزاوية الزوجية والعمود الآخر نستنتجه من مبرهنة الأعمدة الثلاث.

حلول الأسئلة

A B C مثلث، B C ¯ ⊂ ( X ) والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث ( A B C ) والمستوي X قياسها 60 ° فإذا كان A B = A C = 13 cm , B C = 10 cm جد مسقط المثلث ( A B C ) على ( X ثم جد مساحة مسقط △ A B C على X .

مشاركة الحل

الإسقاط العمودي على مستو

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

(2)- ABC مثلث، BC¯⊂(X) والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث (ABC) والمستوي X قياسها 60° فإذا كان AB=AC=13cm,BC=10cm جد مسقط المثلث (ABC) على (X ثم جد مساحة مسقط △ABC على X.

مشاركة الدرس

A B C مثلث، B C ¯ ⊂ ( X ) والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث ( A B C ) والمستوي X قياسها 60 ° فإذا كان A B = A C = 13 cm , B C = 10 cm جد مسقط المثلث ( A B C ) على ( X ثم جد مساحة مسقط △ A B C على X .

الإسقاط العمودي على مستو

(1)- إذا وازى أحد ضلعي زاوية قائمة مستوياً معلوماً فإن مسقطي ضلعيها على المستوي متعامدان.

(2)- ABC مثلث، BC¯⊂(X) والزاوية الزوجية بين مستوي المثلث (ABC) والمستوي X قياسها 60° فإذا كان AB=AC=13cm,BC=10cm جد مسقط المثلث (ABC) على (X ثم جد مساحة مسقط △ABC على X.