حلول الأسئلة

السؤال

دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

الشكل

الحل

المعطيات:

$\bar{A B}$ قطرة في دائرة، (مستوي الدائرة) $\bar{A C} ⊥$

$D$ نقطة تنتمي للدائرة

المطلوب إثباته:

$(C D A) ⊥ (C D B)$

البرهان:

$<) A D B ∵$ زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة قياسها $90^{\circ}$ (لأن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية).
$\bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (إذا كانت الزاوية بين مستقيمين قائمة فإن المستقيمين متعامدين).
$\bar{A C}$ عمودي على مستوى الدائرة (معطى).
$\bar{C D} ⊥ \bar{D B}$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
أصبح لدينا كلاً من $\bar{C D}, \bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (بالبرهان).
$\bar{D B} ⊥ C D A$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
لكن $\bar{D B} \subset (C D B)$
$(C D A) ⊥ (C D B)$ (كل مستوي مار بمستقيم عمودي على مستوي معلوم يكون عمودياً عليه) (و. هـ. م).

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (1-6)

(1)- برهن أن مستوي الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودياً على حرفها.

الشكل

المعطيات:

الزاوية الزوجية $(X) - \overset{\leftrightarrow}{AB} - (Y)$

والزاوية المستوية العائدة لها $<) C D E$

المطلوب إثباته:

$\bar{A B} ⊥ (Z)$

البرهان:

$<) C D E$ زاوية عائدة للزاوية الزوجية $(X) - \overset{\leftrightarrow}{AB} - (Y)$ (معطى).

$\begin{aligned} \bar{A B} ⊥ \bar{D C} \\ \bar{A B} ⊥ \bar{D E} \end{aligned}$

(من تعريف الزاوية العائدة لزاوية زوجية).
(هي الزاوية الناتجة من اتحاد شعاعين عموديين على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي إليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية).
ليكن $(Z)$ مستوي المستقيمين المتقاطعين $C D, D E$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستوٍ وحيد يحتويهما).
$\bar{A B} ⊥ (Z) ∴$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
(و . هـ . م).

(2)- برهن أنه إذا وازی مستقيم مستوياً وكان عمودياً على مستوٍِ آخر فإن المستويين متعامدان.

الشكل

المعطيات: $\bar{A B} / / (Y), \bar{A B} ⊥ (X)$

المطلوب إثباته: $(X) ⊥ (Y)$

البرهان: لتكن $C \subset (Y)$ نرسم $\overset{\leftrightarrow}{C D} ⊥ (X)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد..).

$\overset{\leftrightarrow}{A B} ⊥ (X) ∵$ (معطی).
$A B / / C D$ (المستقيمان العموديان على مستوي واحد متوازيان).
$C \subset (Y) \Rightarrow \overset{\leftrightarrow}{C D} \subset (Y) ∴$ (إذا وازی مستقيم مستوياً معلوماً فالمستقيم المرسوم من أية نقطة من نقط المستوي الموازي للمستقيم المعلوم يكون محتوى فيه).
$(X) ⊥ (Y) ∴$ (يتعامد المستويان احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر) (و. هـ. م).

(3)- برهن أن المستوي العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً.

الشكل

المعطيات: $(Z) \cap (X) = \overset{\leftrightarrow}{A B}, (Z) ⊥ (X), (X) / / (Y)$

المطلوب إثباته: $(Z) ⊥ (Y)$

البرهان: نرسم $\overset{\leftrightarrow}{E F} \subset (Z)$ بحيث $\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{A B}$ (في المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).

$(Z) ⊥ (X) ∵$ (معطى).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (X)$ (إذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم لأحدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودي على الآخر).
$(X) / / (Y) ∵$ (معطی).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Y) ∴$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً).
$(Z) ⊥ (X) ∴$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر) (و- هـ. م).

(4)- $A, B, C, D$ أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث $E \in \bar{B C}, A B = A C$ فإذا كانت $<) A E D$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$ برهن $C D = B D$ .

الشكل

المعطيات:

$A, B, C, D$ أربع نقاط مختلفة ليست في مستو واحد.
$<) A E D, E \in \bar{B C}, A B = A C$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$

المطلوب إثباته: $C D = B D$

البرهان:

$A B = A C$ (معطی).
$\overset{\leftrightarrow}{A E} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{B C}$ (حسب تعريف الزاوية العائدة).
$\overset{\leftrightarrow}{BE} = \overset{\leftrightarrow}{C E}$ (العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\overset{\leftrightarrow}{D E} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{B C}$ (حسب تعريف الزاوية العائدة).
المثلثان $D E C, D E B$ فيهما: $m ∢ D E C = m ∢ D E B$ (قوائم).
$ED$ ضلع مشترك في المثلثين.
المثلثان $D E C, D E B$ متطابقان (يتطابق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة بينهما).
ومن التطابق ينتج $CD = BD$ (و . هـ . م).

(5)- برهن أنه إذا وازى كل من مستقيمين متقاطعين مستوياً معلوماً وكانا عمودين على مستويين متقاطعين فإن مستقيم المستويين المتقاطعين يكون عمودياً على المستوي المعلوم.

الشكل

المعطيات: $A B / / (Z), A C / / (Z) (X) \cap (Y) = \bar{E F}, \bar{A B} ⊥ (X), \bar{A C} ⊥ (Y)$

المطلوب إثباته: $\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Z)$

البرهان:

$\bar{A B}, \bar{A C} = M$ (لكل مستقيمين متقاطعين يحتويهما مستوٍ وحيد يحتويهما).
$A B, A C / / (Z) ∵$ (معطی).
$(Z) / / (M) ∴$ (إذا كان كل من مستقيمين متقاطعين يوازيان مستوياً معلوماً فإن مستويهما يوازي المستوى المعلوم).
$\bar{A B} ⊥ (X)$ (معطی)، $\bar{A B} \subset M$ (بالبرهان).
$(M) ⊥ (X)$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر).
$\bar{A C} ⊥ (Y)$ (معطی) $\bar{A C} \subset M$ (بالبرهان).
$(M) ⊥ (Y)$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (M)$ (إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوٍ ثالث فإن مستقيم تقاطعهما يكون عمودياً على المستوي الثالث).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Z)$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على المستوى الآخر) (و، هـ، م).

(6)- دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

الشكل

المعطيات:

$\bar{A B}$ قطرة في دائرة، (مستوي الدائرة) $\bar{A C} ⊥$

$D$ نقطة تنتمي للدائرة

المطلوب إثباته:

$(C D A) ⊥ (C D B)$

البرهان:

$<) A D B ∵$ زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة قياسها $90^{\circ}$ (لأن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية).
$\bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (إذا كانت الزاوية بين مستقيمين قائمة فإن المستقيمين متعامدين).
$\bar{A C}$ عمودي على مستوى الدائرة (معطى).
$\bar{C D} ⊥ \bar{D B}$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
أصبح لدينا كلاً من $\bar{C D}, \bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (بالبرهان).
$\bar{D B} ⊥ C D A$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
لكن $\bar{D B} \subset (C D B)$
$(C D A) ⊥ (C D B)$ (كل مستوي مار بمستقيم عمودي على مستوي معلوم يكون عمودياً عليه) (و. هـ. م).

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

الشكل

الحل

المعطيات:

$\bar{A B}$ قطرة في دائرة، (مستوي الدائرة) $\bar{A C} ⊥$

$D$ نقطة تنتمي للدائرة

المطلوب إثباته:

$(C D A) ⊥ (C D B)$

البرهان:

$<) A D B ∵$ زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة قياسها $90^{\circ}$ (لأن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية).
$\bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (إذا كانت الزاوية بين مستقيمين قائمة فإن المستقيمين متعامدين).
$\bar{A C}$ عمودي على مستوى الدائرة (معطى).
$\bar{C D} ⊥ \bar{D B}$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
أصبح لدينا كلاً من $\bar{C D}, \bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (بالبرهان).
$\bar{D B} ⊥ C D A$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
لكن $\bar{D B} \subset (C D B)$
$(C D A) ⊥ (C D B)$ (كل مستوي مار بمستقيم عمودي على مستوي معلوم يكون عمودياً عليه) (و. هـ. م).

تمارين (1-6)

(1)- برهن أن مستوي الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودياً على حرفها.

الشكل

المعطيات:

الزاوية الزوجية $(X) - \overset{\leftrightarrow}{AB} - (Y)$

والزاوية المستوية العائدة لها $<) C D E$

المطلوب إثباته:

$\bar{A B} ⊥ (Z)$

البرهان:

$<) C D E$ زاوية عائدة للزاوية الزوجية $(X) - \overset{\leftrightarrow}{AB} - (Y)$ (معطى).

$\begin{aligned} \bar{A B} ⊥ \bar{D C} \\ \bar{A B} ⊥ \bar{D E} \end{aligned}$

(من تعريف الزاوية العائدة لزاوية زوجية).
(هي الزاوية الناتجة من اتحاد شعاعين عموديين على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي إليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية).
ليكن $(Z)$ مستوي المستقيمين المتقاطعين $C D, D E$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستوٍ وحيد يحتويهما).
$\bar{A B} ⊥ (Z) ∴$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
(و . هـ . م).

(2)- برهن أنه إذا وازی مستقيم مستوياً وكان عمودياً على مستوٍِ آخر فإن المستويين متعامدان.

الشكل

المعطيات: $\bar{A B} / / (Y), \bar{A B} ⊥ (X)$

المطلوب إثباته: $(X) ⊥ (Y)$

البرهان: لتكن $C \subset (Y)$ نرسم $\overset{\leftrightarrow}{C D} ⊥ (X)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد..).

$\overset{\leftrightarrow}{A B} ⊥ (X) ∵$ (معطی).
$A B / / C D$ (المستقيمان العموديان على مستوي واحد متوازيان).
$C \subset (Y) \Rightarrow \overset{\leftrightarrow}{C D} \subset (Y) ∴$ (إذا وازی مستقيم مستوياً معلوماً فالمستقيم المرسوم من أية نقطة من نقط المستوي الموازي للمستقيم المعلوم يكون محتوى فيه).
$(X) ⊥ (Y) ∴$ (يتعامد المستويان احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر) (و. هـ. م).

(3)- برهن أن المستوي العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً.

الشكل

المعطيات: $(Z) \cap (X) = \overset{\leftrightarrow}{A B}, (Z) ⊥ (X), (X) / / (Y)$

المطلوب إثباته: $(Z) ⊥ (Y)$

$(Z) ⊥ (X) ∵$ (معطى).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (X)$ (إذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم لأحدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودي على الآخر).
$(X) / / (Y) ∵$ (معطی).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Y) ∴$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً).
$(Z) ⊥ (X) ∴$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر) (و- هـ. م).

(4)- $A, B, C, D$ أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث $E \in \bar{B C}, A B = A C$ فإذا كانت $<) A E D$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$ برهن $C D = B D$ .

الشكل

المعطيات:

$A, B, C, D$ أربع نقاط مختلفة ليست في مستو واحد.
$<) A E D, E \in \bar{B C}, A B = A C$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$

المطلوب إثباته: $C D = B D$

البرهان:

$A B = A C$ (معطی).
$\overset{\leftrightarrow}{A E} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{B C}$ (حسب تعريف الزاوية العائدة).
$\overset{\leftrightarrow}{BE} = \overset{\leftrightarrow}{C E}$ (العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصفها).
$\overset{\leftrightarrow}{D E} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{B C}$ (حسب تعريف الزاوية العائدة).
المثلثان $D E C, D E B$ فيهما: $m ∢ D E C = m ∢ D E B$ (قوائم).
$ED$ ضلع مشترك في المثلثين.
المثلثان $D E C, D E B$ متطابقان (يتطابق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة بينهما).
ومن التطابق ينتج $CD = BD$ (و . هـ . م).

(5)- برهن أنه إذا وازى كل من مستقيمين متقاطعين مستوياً معلوماً وكانا عمودين على مستويين متقاطعين فإن مستقيم المستويين المتقاطعين يكون عمودياً على المستوي المعلوم.

الشكل

المعطيات: $A B / / (Z), A C / / (Z) (X) \cap (Y) = \bar{E F}, \bar{A B} ⊥ (X), \bar{A C} ⊥ (Y)$

المطلوب إثباته: $\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Z)$

البرهان:

$\bar{A B}, \bar{A C} = M$ (لكل مستقيمين متقاطعين يحتويهما مستوٍ وحيد يحتويهما).
$A B, A C / / (Z) ∵$ (معطی).
$(Z) / / (M) ∴$ (إذا كان كل من مستقيمين متقاطعين يوازيان مستوياً معلوماً فإن مستويهما يوازي المستوى المعلوم).
$\bar{A B} ⊥ (X)$ (معطی)، $\bar{A B} \subset M$ (بالبرهان).
$(M) ⊥ (X)$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر).
$\bar{A C} ⊥ (Y)$ (معطی) $\bar{A C} \subset M$ (بالبرهان).
$(M) ⊥ (Y)$ (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم وكان عمودياً على الآخر).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (M)$ (إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوٍ ثالث فإن مستقيم تقاطعهما يكون عمودياً على المستوي الثالث).
$\overset{\leftrightarrow}{E F} ⊥ (Z)$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على المستوى الآخر) (و، هـ، م).

(6)- دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

الشكل

المعطيات:

$\bar{A B}$ قطرة في دائرة، (مستوي الدائرة) $\bar{A C} ⊥$

$D$ نقطة تنتمي للدائرة

المطلوب إثباته:

$(C D A) ⊥ (C D B)$

البرهان:

$<) A D B ∵$ زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة قياسها $90^{\circ}$ (لأن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية).
$\bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (إذا كانت الزاوية بين مستقيمين قائمة فإن المستقيمين متعامدين).
$\bar{A C}$ عمودي على مستوى الدائرة (معطى).
$\bar{C D} ⊥ \bar{D B}$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
أصبح لدينا كلاً من $\bar{C D}, \bar{A D} ⊥ \bar{D B}$ (بالبرهان).
$\bar{D B} ⊥ C D A$ (المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما).
لكن $\bar{D B} \subset (C D B)$
$(C D A) ⊥ (C D B)$ (كل مستوي مار بمستقيم عمودي على مستوي معلوم يكون عمودياً عليه) (و. هـ. م).

حلول الأسئلة

دائرة قطرها A C ¯ , A B ¯ عمودي على مستويها، D نقطة تنتمي للدائرة برهن أن ( C D A ) ⊥ ( C D B ) .

مشاركة الحل

تمارين (1-6)

(1)- برهن أن مستوي الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودياً على حرفها.

(2)- برهن أنه إذا وازی مستقيم مستوياً وكان عمودياً على مستوٍِ آخر فإن المستويين متعامدان.

(3)- برهن أن المستوي العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً.

(4)- A,B,C,D أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث E∈BC¯,AB=AC فإذا كانت <)AED عائدة للزاوية الزوجية A−BC¯−D برهن CD=BD.

(5)- برهن أنه إذا وازى كل من مستقيمين متقاطعين مستوياً معلوماً وكانا عمودين على مستويين متقاطعين فإن مستقيم المستويين المتقاطعين يكون عمودياً على المستوي المعلوم.

(6)- دائرة قطرها AC¯,AB¯ عمودي على مستويها، D نقطة تنتمي للدائرة برهن أن (CDA)⊥(CDB).

مشاركة الدرس

دائرة قطرها A C ¯ , A B ¯ عمودي على مستويها، D نقطة تنتمي للدائرة برهن أن ( C D A ) ⊥ ( C D B ) .

تمارين (1-6)

(1)- برهن أن مستوي الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودياً على حرفها.

(2)- برهن أنه إذا وازی مستقيم مستوياً وكان عمودياً على مستوٍِ آخر فإن المستويين متعامدان.

(3)- برهن أن المستوي العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر أيضاً.

(4)- A,B,C,D أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث E∈BC¯,AB=AC فإذا كانت <)AED عائدة للزاوية الزوجية A−BC¯−D برهن CD=BD.

(5)- برهن أنه إذا وازى كل من مستقيمين متقاطعين مستوياً معلوماً وكانا عمودين على مستويين متقاطعين فإن مستقيم المستويين المتقاطعين يكون عمودياً على المستوي المعلوم.

(6)- دائرة قطرها AC¯,AB¯ عمودي على مستويها، D نقطة تنتمي للدائرة برهن أن (CDA)⊥(CDB).

دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

(4)- $A, B, C, D$ أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث $E \in \bar{B C}, A B = A C$ فإذا كانت $<) A E D$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$ برهن $C D = B D$ .

(6)- دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .

(4)- $A, B, C, D$ أربع نقاط ليست في مستو واحد بحيث $E \in \bar{B C}, A B = A C$ فإذا كانت $<) A E D$ عائدة للزاوية الزوجية $A - \bar{B C} - D$ برهن $C D = B D$ .

(6)- دائرة قطرها $\bar{A C}, \bar{A B}$ عمودي على مستويها، $D$ نقطة تنتمي للدائرة برهن أن $(C D A) ⊥ (C D B)$ .