أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين منحني الدالة $y=x^2+1$ والمستقيم $y=4$ حول المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=1\\ & \because y=x^2+1\Rightarrow x^2=y-1\\ & V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_1^4(y-1)dy=\pi {[\frac{y^2}{2}-y]}_1^4\\ & =\pi \left[\right(8-4)-(\frac{1}{2}-1)]=\pi [4+\frac{1}{2}]=4\frac{1}{2}\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

تمارين (7-4)

(1)- أوجد الحجم الدوراني المتولد من دوران المساحة المحددة بالقطع المكافئ $y=x^2$ والمستقيمين $x=1,x=2$ حول المحور السيني A.

$\mathrm{V}=\pi {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{y}^{2}dx=\pi {\int }_1^2{\left(x^2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2{x}^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_1^2=\pi [\frac{32}{5}-\frac{1}{5}]=\frac{31}{5}\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$

(2)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين منحني الدالة $y=x^2+1$ والمستقيم $y=4$ حول المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=1\\ & \because y=x^2+1\Rightarrow x^2=y-1\\ & V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_1^4(y-1)dy=\pi {[\frac{y^2}{2}-y]}_1^4\\ & =\pi \left[\right(8-4)-(\frac{1}{2}-1)]=\pi [4+\frac{1}{2}]=4\frac{1}{2}\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

(3)- احسب الحجم المتولد من دوران المساحة المحصورة بين المنحني $y^2+x=1$ والمستقيم $x=0$ حول المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& y^2+x=1\Rightarrow x=1-y^2\\ & x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1 \left(\mathrm{التكامل} \mathrm{حدود}\right)\\ & V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_{-1}^1{(1-y^2)}^{2}dy=\pi {\int }_{-1}^1(1-2y^2+y^4)dy\\ & V=\pi {[y-\frac{2y^3}{3}+\frac{y^5}{5}]}_{-1}^1=\pi [(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5})-(-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5})]=\pi [2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5}]\\ & V=\frac{30-20+6}{15}\pi =\frac{16}{15}\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

(4)- احسب الحجم المتولد من دوران المساحة المحصورة بين المنحني $y^2=x^3$ والمستقيمان $x=0,x=2$ حول المحور السيني.

$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^2{x}^{3}dx=\pi {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\pi [\frac{16}{4}-0]=4\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$