أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالمقطع المكافئ الذي معادلته $y=2x^2$ والمستقيمين $x=0,x=5$ حول المحور السيني.

$$\begin{gathered} y=4x^2\Rightarrow x^2=\frac{y}{4} \\ \mathrm{V}=\pi {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{16}\frac{y}{4}dy=\frac{\pi }{4}{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^{16}=\pi [\frac{(16{)}^2}{8}-0]=32\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right) \end{gathered}$$

الحجوم الدورانية

1. لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة $y=f\left(x\right)$ المستمرة من $a=x$ إلى $b=x$ حول محور السينات نطبق العلاقة $\mathrm{V}=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$.
2. لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة $x=f\left(y\right)$ المستمرة من $y=b$ إلى $y=a$ حول محور الصادات نطيق العلاقة $\mathrm{V}=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy$.

(1)- المنطقة المحددة بين المنحني $y=\sqrt{x} , 0\le x\le 4$ ومحور السينات دارت حول محور السينات جد حجمها.

$\mathrm{V}=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx={\left[\pi \frac{x^2}{2}\right]}_0^4=8\pi -0=8\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$

(2)- المنطقة المحددة بين المنحني $x=\frac{1}{\sqrt{y}} , 1\le y\le 4$ دارت حول محور الصادات جد حجمها.

$V=\pi {\int }_1^4{x}^{2}dy=\pi {\int }_1^4{\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)}^{2}dy=\pi {\int }_1^4\frac{1}{y}dy=\pi [\ln y{]}_1^4=\pi [\ln 4-\ln 1]=2\pi \ln 2z \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$

(3)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين منحني الدالة $f\left(x\right)=x^2+1$ والمستقيم $y=4$ حول محور الصادات دورة كاملة.

نجد التقاطع مع $y$ بوضع $x=0$

$\begin{array}{rl}& y=0+1\Rightarrow y=1,[1,4]\\ & \mathrm{V}=\pi {\int }_1^4{x}^{2}dy\\ & y=x^2+1\Rightarrow x^2=y-1\\ & \mathrm{V}=\pi {\int }_1^4(\mathrm{y}-1)dy=\pi {[\frac{y^2}{2}-y]}_1^4=\pi [\frac{16}{2}-4]-[\frac{1}{2}-1]=\frac{9}{2}\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

(4)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالقطع المكافئ الذي معادلته $x=2y^2$ ومحور الصادات ضمن الفترة $y=2,y=0$.

$$\begin{gathered} x=2y^2\stackrel{\mathrm{بالتربيع}}{⟹}{x}^2=4y^4 \\ \begin{array}{rl}& V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dy\\ & V=\pi {\int }_0^{2}4y^{4}dy=4\pi {\left[\frac{y^5}{5}\right]}_0^2=4\pi [\frac{(2{)}^5}{5}-\frac{0}{5}]=4\pi \left[\frac{32}{5}\right]=\frac{128\pi }{5} \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(5)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالقطع المكافئ الذي معادلته $y^2=8x$ والمستقيمين $x=2,x=0$ حول المحور السيني.

$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{2}8xdx=4\pi {\left[x^2\right]}_0^2=4\pi [4-0]=16\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$

(6)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالمقطع المكافئ الذي معادلته $y=2x^2$ والمستقيمين $x=0,x=5$ حول المحور السيني.

$$\begin{gathered} y=4x^2\Rightarrow x^2=\frac{y}{4} \\ \mathrm{V}=\pi {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{16}\frac{y}{4}dy=\frac{\pi }{4}{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^{16}=\pi [\frac{(16{)}^2}{8}-0]=32\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right) \end{gathered}$$

(7)- أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة بالمقطع المكافئ $y=\frac{1}{x}$ والمستقيمين $y=2,y=1$ حول المحور الصادي.

$$\begin{gathered} y=4x^2\Rightarrow x^2=\frac{y}{4} \\ V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{16}\frac{y}{4}dy=\frac{\pi }{4}{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^{16}=\pi [\frac{(16{)}^2}{8}-0]=32\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right) \end{gathered}$$

(8)- أوجد حجم المنطقة المحصورة بين منحني الدالة $y=\frac{1}{x}$ والمستقيمين $y=2,y=1$ ومحور الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dyx=\frac{1}{y}\stackrel{\left(\mathrm{بالتربيع}\right)}{⟹}{x}^2=\frac{1}{y^2}\\ & V=\pi {\int }_1^2\frac{1}{y^2}dy=\pi {\left[\frac{-1}{y}\right]}_1^2=\pi [\frac{-1}{2}+1]=\frac{\pi }{2} \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

(9)- أوجد الحجم الناشئ من دوران المنطقة المحصورة بين محور الصادات ومنحني الدالة $1\le y\le 3 ,\hspace{0.17em}y=\frac{3}{x}$ دورة كاملة حول المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{V}=\pi {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{x}^{2}dyx=\frac{1}{y}\stackrel{\left(\mathrm{بالتربيع}\right)}{⟹}{x}^2=\frac{1}{y^2}\\ & \mathrm{V}=\pi {\int }_1^3{\left(\frac{3}{y}\right)}^{2}dy=9\pi {\left[\frac{-1}{y}\right]}_1^3=9\pi [\frac{-1}{3}+1]=6\pi \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$