جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(18\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2)$ فإذا كانت سرعته قد أصبحت $(82m/s)$ بعد مرور $4$ ثواني من بدء الحركة.

المسافة خلال الثانية الثالثة.

$$\begin{gathered} V\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt\Rightarrow V\left(t\right)=\int 18dt=18t+c \\ \begin{array}{rl}& V\left(t\right)=82 \left(t=4\right)\\ & 82=18\left(4\right)+c\Rightarrow c=82-72=10\\ & V\left(t\right)=18t+10\\ & d={\int }_2^3(18t+10)dt={[9t^2+10t]}_2^3\\ & d=[81+30]-[36+20]=111-56=55\mathrm{m}\end{array} \end{gathered}$$

بعده عن نقطة بدء الحركة بعد مرور $3$ ثواني.

$S={\int }_0^3(18t+10)dt={[9t^2+10t]}_0^3=[81+30]-\left[0\right]=111\mathrm{m}$

السرعة بعد مرور $10$ ثواني.

$V\left(t\right)=18t+10\Rightarrow V\left(10\right)=18\left(10\right)+10=190\mathrm{m}/\mathrm{s}$

المسافة

المسافة: ويرمز لها بالرمز $\left(d\right)$ وهي كمية غير متجهة، أما الإزاحة فهي $S\left(t\right)$ والسرعة $V\left(t\right)$ والتعجيل $a\left(t\right)$ وهي كميات متجهة لذلك فإن:

$d={\int }_{t_1}^{t_2}\left|V\right(t\left)\right|dt , S\left(t\right)={\int }_{t_1}^{t_2}V\left(t\right)dt , V\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

ملاحظات:

1. أقصى مسافة يصل إليها الجسم عندما تكون السرعة = 0
2. بعد الجسم بعد مرور $3 \text{sec}$ من البدء بالحركة $[0,3]$
3. أقصى سرعة يصل إليها الجسم عندما يكون التعجيل = 0

ملاحظات:

إذا كانت $V\left(t\right)$ تمثل سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم فإن:

• المسافة المقطوعة في أو خلال الثانية $t$ هي $d=\left|{\int }_{t-1}^{t}V\right(t\left)dt\right|$ فمثلاً إذا طلب في السؤال جد المسافة خلال الثانية الثامنة يعني حساب ${\int }_7^8$.
• بعد الجسم بعد مرور $t$ ثانية من بدء الحركة فإن بعد الجسم هو $S={\int }_0^{t}V\left(t\right)dt$.
• الإزاحة التي يقطعها الجسم بالفترة $[a,b]$ هي $S={\int }_a^{b}V\left(t\right)dt$ وفي هذه الحالة لا يجب مساواة السرعة بالصفر لاستخراج قيم $t$ أي أن الإزاحة هي تكامل السرعة مباشرة على الفترة المعطاة.
• المسافة التي يقطعها الجسم بعد مرور $t$ ثانية من بدء الحركة هي $d={\int }_0^t\left|V\right(t\left)\right|dt$ أي تكون بالفترة $[a,b]$ ويجب علينا مساواة دالة السرعة بالصفر لاستخراج قيم $t$ ومن ثم المقارنة بالفترة لنقرر التجزئة من عدمها.

ملاحظة: إذا كانت $a\left(t\right)$ تمثل تعجيل جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V\left(t\right)$ فإننا (تكامل بالتكامل غير المحدد) $\int a\left(t\right)dt=V\left(t\right)+c$.

(1)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V\left(t\right)=2t-4m/s$ فجد:

المسافة المقطوعة في الفترة $[1,3]$.

$\begin{array}{rl}& V\left(t\right)=0\Rightarrow 2t-4=0\Rightarrow t=2\in [1,3]\\ & d=\left|{\int }_1^2\right(2t-4\left)dt\right|+\left|{\int }_2^3\right(2t-4\left)dt\right|=\left|{[t^2-4t]}_1^2\right|+\left|{[t^2-4t]}_2^3\right|\\ & d=\left|\right(4-8)-(1-4\left)\right|+\left|\right(9-12)-(4-8\left)\right|=1+1=2\end{array}$

الإزاحة المقطوعة بالفترة $[1,3]$.

$S\left(t\right)={\int }_1^3(2t-4)dt={[t^2-4t]}_1^3=[9-12]-[1-4]=-3+3=0$

المسافة المقطوعة في الثانية الخامسة.

$d=\left|{\int }_4^{5}V\right(t\left)dt\right|=\left|{\int }_4^5\right(2t-4\left)dt\right|=\left|{[t^2-4t]}_4^5\right|=\left|\right[25-20]-[16-16\left]\right|=5m$

بعده بعد مضي $4$ ثواني من بدء الحركة.

$S={\int }_0^4(2t-4)dt={[t^2-4t]}_0^4=[16-16]-\left[0\right]=0$

(2)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(18\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2)$ فإذا كانت سرعته قد أصبحت $(82m/s)$ بعد مرور $4$ ثواني من بدء الحركة.

المسافة خلال الثانية الثالثة.

$$\begin{gathered} V\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt\Rightarrow V\left(t\right)=\int 18dt=18t+c \\ \begin{array}{rl}& V\left(t\right)=82 \left(t=4\right)\\ & 82=18\left(4\right)+c\Rightarrow c=82-72=10\\ & V\left(t\right)=18t+10\\ & d={\int }_2^3(18t+10)dt={[9t^2+10t]}_2^3\\ & d=[81+30]-[36+20]=111-56=55\mathrm{m}\end{array} \end{gathered}$$

بعده عن نقطة بدء الحركة بعد مرور $3$ ثواني.

$S={\int }_0^3(18t+10)dt={[9t^2+10t]}_0^3=[81+30]-\left[0\right]=111\mathrm{m}$

السرعة بعد مرور $10$ ثواني.

$V\left(t\right)=18t+10\Rightarrow V\left(10\right)=18\left(10\right)+10=190\mathrm{m}/\mathrm{s}$