جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $g\left(x\right)=\sin x,f\left(x\right)=\sin 2x$ وعلى الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$ .

$\begin{array}{rl}& h\left(x\right)=\sin 2x-\sin x\\ & 2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)\\ & \sin x(2\cos x-1)=0\\ & \text{either }\sin x=0\Rightarrow x=0\in [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right) x=\pi \notin [0,\frac{\pi }{2}]\\ & \text{or}\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\in [0,\frac{\pi }{2}]x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}\notin [0,\frac{\pi }{2}]\\ & A={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin x(2\cos x-1)dx+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\sin x(2\cos x-1)dx\\ & A=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(2\cos x-1)(-2\sin x)dx+(-\frac{1}{2}){\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(2\cos x-1)(-2\sin x)dx\\ & A=-\frac{1}{4}{\left[\right(2\cos x-1{)}^2]}_0^{\frac{\pi }{3}}+(-\frac{1}{4}){\left[\right(2\cos x-1{)}^2]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & A=-\frac{1}{4}[{(2\cos \frac{\pi }{3}-1)}^2-(2\cos 0-1{)}^2]-\frac{1}{4}[{(2\cos \frac{\pi }{2}-1)}^2-{(2\cos \frac{\pi }{3}-1)}^2]\\ & A=\left|\frac{-1}{4}\left[\right(1-1{)}^2-(2-1{)}^2]\right|+\left|\frac{-1}{4}\left[\right(0-1{)}^2-(1-1{)}^2]\right|=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$

مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين

إذا علمت معادلتي منحني $f\left(x\right),g\left(x\right)$ المعرفتين على الفترة $[a,b]$ وكان المطلوب إيجاد المساحة بينهما فنقوم بإيجاد الدالة المولدة وهي $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ مع مراعاة الاحتمالات الخمسة سابقة الذكر بالنسبة للدالة المولدة $h\left(x\right)$.

$A=\left|{\int }_a^{b}h\right(x\left)dx\right|$

ملاحظة: إذا كانت الدالة المولدة لها أكثر من صورة واحدة فيمكن إجراء التكامل على أي صورة منها ما لم نضرب بعدد أو نقسم على عدد أو ترفع الطرفين إلى قوة معينة كأن تكون تربيع أو جذر.

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y=\sqrt{x}$ والمستقيم $y=x$.

$h\left(x\right)=\sqrt{x}-x$ الدالة المولدة.

$\begin{array}{rl}& x=\sqrt{x} \left(\mathrm{بالتربيع}\right)\\ & x^2=x\Rightarrow x(x-1)=0\\ & x=0,x=1x\in [0,1]\\ & A={\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx={\int }_0^1(x^{\frac{1}{2}}-x)dx={[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{3}}-\frac{x^2}{2}]}_0^1={[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-\frac{x^2}{2}]}_0^1\\ & A=[\frac{2}{3}-\frac{1}{2}]-\left[0\right]=\frac{1}{6}\Rightarrow A=\left|\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{6}{\text{unit}}^2\end{array}$

(2)- جد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني $y=x^3$ والمستقيم $y=x$.

$h\left(x\right)=x^3-x$ الدالة المولدة.

$\begin{array}{rl}& x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow \text{either }x=0 \text{or }{x}^2=1\Rightarrow x=\pm 1\\ & \left(x=0,x=1,x=-1\right),[-1,0],[0,1]\\ & A=\left|{\int }_{-1}^0(x^3-x)dx\right|+\left|{\int }_0^1(x^3-x)dx\right|=\left|{[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}]}_{-1}^0\right|+\left|{[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}]}_0^1\right|\\ & A=\left|\right(0)-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})|+|(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})-(0\left)\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+\left|\frac{-1}{4}\right|=\frac{1}{2}\end{array}$

(3)- جد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين $g\left(x\right)=\sin x , f\left(x\right)=\cos x$ وعلى الفترة $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

$[\sin x=\cos x]÷\cos x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4} \left(\mathrm{الاسناد} \mathrm{زاوية}\right)$

دالة الظل موجبة في الربعين الأول والثالث

$\begin{array}{rl}& x=\frac{\pi }{4}\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{or }x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}\notin [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\\ & A=\left|{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}\right(\cos x-\sin x\left)dx\right|+\left|{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\right(\cos x-\sin x\left)dx\right|=\left|\right[\sin x+\cos x{]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}+[\sin x+\cos x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}|\\ & A=|(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4})-\sin (-\frac{\pi }{2})+\cos (-\frac{\pi }{2})|+|(\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2})-(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4})|\\ & A=|(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})-(-1+0\left)\right|+\left|\right(1+0)-(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})|=|\frac{2}{\sqrt{2}}+1|+|1-\frac{2}{\sqrt{2}}|\\ & A=|\sqrt{2}+1|+|1-\sqrt{2}|=|\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1|=2\sqrt{2}{\text{unit}}^2\end{array}$

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين وعلى الفترة $y=-\sin x,y=\cos x[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

زاوية الأسناد $\frac{\pi }{4}$ حيث دالة الظل تكون سالبة في الربعين الثاني والرابع.

$\begin{array}{rl}& -\sin x=\cos x\Rightarrow -\tan x=1\\ & x=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}\notin [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{or}x=2\pi -\frac{\pi }{4}\notin [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\\ & A={\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\cos x+\sin x)dx=[\sin x-\cos x{]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & A=(\sin \frac{\pi }{2}-\cos \frac{\pi }{2})-\sin (-\frac{\pi }{2})-\cos (-\frac{\pi }{2})\end{array}$

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $g\left(x\right)=\sin x,f\left(x\right)=\sin 2x$ وعلى الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$.

$\begin{array}{rl}& h\left(x\right)=\sin 2x-\sin x\\ & 2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)\\ & \sin x(2\cos x-1)=0\\ & \text{either }\sin x=0\Rightarrow x=0\in [0,\frac{\pi }{2}] \left(\mathrm{يجزئ} \mathrm{لا}\right) x=\pi \notin [0,\frac{\pi }{2}]\\ & \text{or}\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\in [0,\frac{\pi }{2}]x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}\notin [0,\frac{\pi }{2}]\\ & A={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin x(2\cos x-1)dx+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\sin x(2\cos x-1)dx\\ & A=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(2\cos x-1)(-2\sin x)dx+(-\frac{1}{2}){\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(2\cos x-1)(-2\sin x)dx\\ & A=-\frac{1}{4}{\left[\right(2\cos x-1{)}^2]}_0^{\frac{\pi }{3}}+(-\frac{1}{4}){\left[\right(2\cos x-1{)}^2]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & A=-\frac{1}{4}[{(2\cos \frac{\pi }{3}-1)}^2-(2\cos 0-1{)}^2]-\frac{1}{4}[{(2\cos \frac{\pi }{2}-1)}^2-{(2\cos \frac{\pi }{3}-1)}^2]\\ & A=\left|\frac{-1}{4}\left[\right(1-1{)}^2-(2-1{)}^2]\right|+\left|\frac{-1}{4}\left[\right(0-1{)}^2-(1-1{)}^2]\right|=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$