حلول الأسئلة

السؤال

أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

الحل

الفترات $[2, 3], [3, 4]$
الدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x \Rightarrow 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \notin [2, 4]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
24	9	$M_{1} = f (3) = 24$	$m_{1} = f (2) = 9$	1	[2,3]
45	24	$M_{2} = f (4) = 45$	$m_{2} = f (3) = 24$	1	[3,4]

$\begin{aligned} ∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = 33 U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = 69 \\ \int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{33 + 69}{2} = \frac{102}{2} = 51 \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-4)

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3)$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,3]

$∵ f (x) = \frac{3}{x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 3}{x^{2}} \Rightarrow 0 = \frac{- 3}{x^{2}} \Rightarrow - 3 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	$\frac{3}{2}$	$M_{1} = f (1) = 3$	$\begin{aligned} m_{1} = f (2) \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}$	1	[1,2]
$\frac{3}{2}$	1	$M_{2} = f (2) = \frac{3}{2}$	$m_{2} = f (3) = 1$	1	[2,3]

$\begin{aligned} L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}, U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \\ \int_{1}^{3} \frac{3}{x} d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{\frac{5}{2} + \frac{9}{2}}{2} = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2} \end{aligned}$

(2)- لتكن $f [1, 4] \to R, f (x) = 3 x - 3$ أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{4} f (x) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3, 4)$ ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني $f$ .

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,4] لأنها كثيرة حدود.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 > 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	0	$M_{1} = f (2) = 3$	$m_{1} = f (1) = 0$	1	[1,2]
6	3	$M_{2} = f (3) = 6$	$m_{2} = f (2) = 3$	1	[2,3]
9	6	$M_{3} = f (4) = 9$	$m_{3} = f (3) = 6$	1	[3,4]

$∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = 9 U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = 18$

$\int_{1}^{3} (3 x - 3) d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{9 + 18}{2} = \frac{27}{2} = 13 \frac{1}{2}$

الحل الهندسي:

$\begin{aligned} f (1) = 3 - 3 = 0 ⟹ (1, 0) \\ f (4) = 12 - 3 = 9 ⟹ (4, 9) \\ A مساحة = \frac{1}{2} (الارتفاع \times القاعدة) \\ A مساحة = \frac{1}{2} ((4 - 1) \times 9) = \frac{27}{2} = 13 \frac{1}{2} \end{aligned}$

الشكل

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

الفترات $[2, 3], [3, 4]$
الدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x \Rightarrow 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \notin [2, 4]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
24	9	$M_{1} = f (3) = 24$	$m_{1} = f (2) = 9$	1	[2,3]
45	24	$M_{2} = f (4) = 45$	$m_{2} = f (3) = 24$	1	[3,4]

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{- 3}^{2} f (x) d x$ حيث $f (x) = - 4$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [3,2-] لأنها كثيرة حدود.

$∵ f (x) = - 4 ⟹ f^{'} (x) = 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
12-	12-	$M_{1} = f (0) = - 4$	$m_{1} = f (- 3) = - 4$	3	[3,0-]
8-	8-	$M_{2} = f (2) = - 4$	$m_{2} = f (0) = - 4$	2	[0,2]

$∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = - 20, U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = - 20$

أو تحل حسب التجزيئات التالية:

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
12-	12-	$M_{1} = f (- 1) = - 4$	$m_{1} = f (- 3) = - 4$	2	[1-,3-]
8-	8-	$M_{2} = f (2) = - 4$	$m_{2} = f (- 1) = - 4$	3	[1,2-]

$\begin{aligned} ∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = - 20 U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = - 20 \\ \int_{- 3}^{2} (- 4) d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{- 20 - 20}{2} = \frac{- 40}{2} = - 20 \end{aligned}$

(5)- أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{5} x^{3} d x$ باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $∵ f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} \Rightarrow 3 x^{2} > 0$

$h = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

الفترات $[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
8	1	$M_{1} = f (2) = 8$	$m_{1} = f (1) = 1$	1	[1,2]
27	8	$M_{2} = f (3) = 27$	$m_{2} = f (2) = 8$	1	[2,3]
64	27	$M_{1} = f (4) = 64$	$m_{3} = f (3) = 27$	1	[3,4]
125	64	$M_{2} = f (5) = 125$	$m_{4} = f (4) = 64$	1	[4,5]

$\begin{aligned} ∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = 100 U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = 224 \\ \int_{1}^{5} (- 4) d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{100 + 224}{2} = \frac{324}{2} = 162 \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

الحل

الفترات $[2, 3], [3, 4]$
الدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x \Rightarrow 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \notin [2, 4]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
24	9	$M_{1} = f (3) = 24$	$m_{1} = f (2) = 9$	1	[2,3]
45	24	$M_{2} = f (4) = 45$	$m_{2} = f (3) = 24$	1	[3,4]

تمارين (2-4)

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3)$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,3]

$∵ f (x) = \frac{3}{x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 3}{x^{2}} \Rightarrow 0 = \frac{- 3}{x^{2}} \Rightarrow - 3 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	$\frac{3}{2}$	$M_{1} = f (1) = 3$	$\begin{aligned} m_{1} = f (2) \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}$	1	[1,2]
$\frac{3}{2}$	1	$M_{2} = f (2) = \frac{3}{2}$	$m_{2} = f (3) = 1$	1	[2,3]

(2)- لتكن $f [1, 4] \to R, f (x) = 3 x - 3$ أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{4} f (x) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3, 4)$ ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني $f$ .

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,4] لأنها كثيرة حدود.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 > 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	0	$M_{1} = f (2) = 3$	$m_{1} = f (1) = 0$	1	[1,2]
6	3	$M_{2} = f (3) = 6$	$m_{2} = f (2) = 3$	1	[2,3]
9	6	$M_{3} = f (4) = 9$	$m_{3} = f (3) = 6$	1	[3,4]

$∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = 9 U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = 18$

$\int_{1}^{3} (3 x - 3) d x = \frac{L (σ, f) + U (σ, f)}{2} = \frac{9 + 18}{2} = \frac{27}{2} = 13 \frac{1}{2}$

الحل الهندسي:

الشكل

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

الفترات $[2, 3], [3, 4]$
الدالة متزايدة $∵ f (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x \Rightarrow 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \notin [2, 4]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
24	9	$M_{1} = f (3) = 24$	$m_{1} = f (2) = 9$	1	[2,3]
45	24	$M_{2} = f (4) = 45$	$m_{2} = f (3) = 24$	1	[3,4]

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{- 3}^{2} f (x) d x$ حيث $f (x) = - 4$

الدالة f(x) دالة مستمرة على الفترة [3,2-] لأنها كثيرة حدود.

$∵ f (x) = - 4 ⟹ f^{'} (x) = 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
12-	12-	$M_{1} = f (0) = - 4$	$m_{1} = f (- 3) = - 4$	3	[3,0-]
8-	8-	$M_{2} = f (2) = - 4$	$m_{2} = f (0) = - 4$	2	[0,2]

$∴ L (σ, f) = \sum h_{i} m_{i} = - 20, U (σ, f) = \sum h_{i} M_{i} = - 20$

أو تحل حسب التجزيئات التالية:

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
12-	12-	$M_{1} = f (- 1) = - 4$	$m_{1} = f (- 3) = - 4$	2	[1-,3-]
8-	8-	$M_{2} = f (2) = - 4$	$m_{2} = f (- 1) = - 4$	3	[1,2-]

(5)- أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{5} x^{3} d x$ باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

لا توجد نقطة حرجة والدالة متزايدة $∵ f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} \Rightarrow 3 x^{2} > 0$

$h = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

الفترات $[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
8	1	$M_{1} = f (2) = 8$	$m_{1} = f (1) = 1$	1	[1,2]
27	8	$M_{2} = f (3) = 27$	$m_{2} = f (2) = 8$	1	[2,3]
64	27	$M_{1} = f (4) = 64$	$m_{3} = f (3) = 27$	1	[3,4]
125	64	$M_{2} = f (5) = 125$	$m_{4} = f (4) = 64$	1	[4,5]

حلول الأسئلة

أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫ 2 4 ( 3 x 2 − 3 ) d x باستخدام التجزئة σ = ( 2 , 3 , 4 )

مشاركة الحل

تمارين (2-4)

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫133xdx باستخدام التجزئة σ=(1,2,3)

(2)- لتكن f[1,4]→R,f(x)=3x−3 أوجد قيمة التكامل ∫14f(x)dx باستخدام التجزئة σ=(1,2,3,4) ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني f.

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫24(3x2−3)dx باستخدام التجزئة σ=(2,3,4)

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫−32f(x)dx حيث f(x)=−4

(5)- أوجد قيمة التكامل ∫15x3dx باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

مشاركة الدرس

أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫ 2 4 ( 3 x 2 − 3 ) d x باستخدام التجزئة σ = ( 2 , 3 , 4 )

تمارين (2-4)

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫133xdx باستخدام التجزئة σ=(1,2,3)

(2)- لتكن f[1,4]→R,f(x)=3x−3 أوجد قيمة التكامل ∫14f(x)dx باستخدام التجزئة σ=(1,2,3,4) ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني f.

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫24(3x2−3)dx باستخدام التجزئة σ=(2,3,4)

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل ∫−32f(x)dx حيث f(x)=−4

(5)- أوجد قيمة التكامل ∫15x3dx باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3)$

(2)- لتكن $f [1, 4] \to R, f (x) = 3 x - 3$ أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{4} f (x) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3, 4)$ ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني $f$ .

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{- 3}^{2} f (x) d x$ حيث $f (x) = - 4$

(5)- أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{5} x^{3} d x$ باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.

أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

(1)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{1}^{3} \frac{3}{x} d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3)$

(2)- لتكن $f [1, 4] \to R, f (x) = 3 x - 3$ أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{4} f (x) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (1, 2, 3, 4)$ ثم تحقق هندسياً بحساب المنطقة تحت المنحني $f$ .

(3)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{2}^{4} (3 x^{2} - 3) d x$ باستخدام التجزئة $σ = (2, 3, 4)$

(4)- أوجد قيمة تقريبية للتكامل $\int_{- 3}^{2} f (x) d x$ حيث $f (x) = - 4$

(5)- أوجد قيمة التكامل $\int_{1}^{5} x^{3} d x$ باستخدام أربعة تجزيئات ممكنة.