حلول الأسئلة

السؤال

أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

الحل

الفترات هي $[- 2, 0], [0, 1]$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة $f (x) = 3 - x \Rightarrow f' (x) = - 1 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
10	6	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$m_{1} = f (0) = 3 - 0 = 3$	2	[2,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$m_{2} = f (1) = 3 - 1 = 2$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 8, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 13$

ملاحظة:

إذا طلب في السؤال إيجاد المساحة التقريبية A يكون $A = \frac{8 + 13}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 {unit}^{2}$

تقسم الفترة إلى ثلاث فترات منتظمة

$\begin{aligned} h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - (- 2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \\ ∵ f (x) = 3 - x \Rightarrow f (x) = - 1 \neq 0 \end{aligned}$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة.

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
5	4	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{1} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	1	[1-,2-]
4	3	$\begin{aligned} M_{2} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	1	[1,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{3} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (1) \\ = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 9, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 12$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (1-4)

(1)- أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

الفترات هي $[- 2, 0], [0, 1]$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة $f (x) = 3 - x \Rightarrow f' (x) = - 1 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
10	6	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$m_{1} = f (0) = 3 - 0 = 3$	2	[2,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$m_{2} = f (1) = 3 - 1 = 2$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 8, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 13$

ملاحظة:

إذا طلب في السؤال إيجاد المساحة التقريبية A يكون $A = \frac{8 + 13}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 {unit}^{2}$

تقسم الفترة إلى ثلاث فترات منتظمة

$\begin{aligned} h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - (- 2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \\ ∵ f (x) = 3 - x \Rightarrow f (x) = - 1 \neq 0 \end{aligned}$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة.

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
5	4	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{1} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	1	[1-,2-]
4	3	$\begin{aligned} M_{2} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	1	[1,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{3} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (1) \\ = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 9, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 12$

(2)- إذا كان $f : [0, 4] \to R, f (x) = 4 x - x^{2}, σ = (0, 1, 2, 3, 4)$

الفترات هي $[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]$

$f (x) = 4 x - x^{2} \Rightarrow f (x) = 4 - 2 x \Rightarrow 4 - 2 x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2 \in [1, 2]$

توجد نقطة حرجة هي (2,4) وهي نهاية عظمى محلية ولا تجزئ الفترة

الشكل

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	0	$\begin{array}{r} M_{1} = f (1) = 4 - 1 \\ = 3 \end{array}$	$m_{1} = f (0) = 0$	1	[0,1]
4	3	$\begin{array}{r} M_{2} = f (2) = 8 - 4 \\ = 4 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (1) \\ = 4 (1) - 1 = 3 \end{aligned}$	1	[1,2]
4	3	$\begin{array}{r} M_{3} = f (2) = 8 - 4 \\ = 4 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (3) \\ = 12 - 9 = 3 \end{aligned}$	1	[2,3]
3	0	$\begin{array}{r} M_{4} = f (3) = 12 - 9 \\ = 3 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{4} = f (4) \\ = 16 - 16 = 0 \end{aligned}$	1	[3,4]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 6, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 14$

أحياناً يطلب في السؤال إيجاد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A وكما يلي:

نقوم بحل السؤال كما هو أعلاه ثم يضاف إليه:

$A_{1} = L (σ, f) = 6, A_{2} = U (σ, f) = 14 \Rightarrow A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10$

(3)- $f : [1, 4] \to R, f (x) = 3 x^{2} + 2 x$

$σ = (1, 2, 4)$

استخدام ثلاث تجزيئات متساوية.

الفترات هي $[1, 2], [2, 4]$

$\begin{aligned} f (x) = 3 x^{2} + 2 x \Rightarrow f' (x) = 6 x + 2 \\ f' (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \notin [1, 4] \end{aligned}$

لا توجد نقاط حرجة والدالة متزايدة في الفترة [1,4]

وسوف يكون $M_{i} = f (b), m_{i} = f (a)$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
16	5	$M_{1} = f (2) = 16$	$m_{1} = f (1) = 5$	1	[1,2]
112	32	$M_{2} = f (4) = 56$	$m_{2} = f (2) = 16$	2	[2,4]
$U (σ, f) = 128$	$L (σ, f) = 37$

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 37, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 128$

$h = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

الفترات هي $[1, 2], [2, 3], [3, 4]$

$f' (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \notin [1, 4] f' (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \notin [1, 4]$

لا توجد نقاط حرجة والدالة متزايدة في الفترة [1,4]

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
16	5	$M_{1} = f (2) = 16$	$m_{1} = f (1) = 5$	1	[1,2]
33	16	$M_{2} = f (3) = 33$	$m_{2} = f (2) = 16$	1	[2,3]
56	33	$M_{3} = f (4) = 56$	$m_{3} = f (3) = 33$	1	[3,4]
$U (σ, f) = 105$	$L (σ, f) = 54$

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 54, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 105$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

الحل

الفترات هي $[- 2, 0], [0, 1]$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة $f (x) = 3 - x \Rightarrow f' (x) = - 1 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
10	6	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$m_{1} = f (0) = 3 - 0 = 3$	2	[2,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$m_{2} = f (1) = 3 - 1 = 2$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 8, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 13$

ملاحظة:

إذا طلب في السؤال إيجاد المساحة التقريبية A يكون $A = \frac{8 + 13}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 {unit}^{2}$

تقسم الفترة إلى ثلاث فترات منتظمة

$\begin{aligned} h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - (- 2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \\ ∵ f (x) = 3 - x \Rightarrow f (x) = - 1 \neq 0 \end{aligned}$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة.

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
5	4	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{1} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	1	[1-,2-]
4	3	$\begin{aligned} M_{2} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	1	[1,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{3} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (1) \\ = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 9, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 12$

تمارين (1-4)

(1)- أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

الفترات هي $[- 2, 0], [0, 1]$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة $f (x) = 3 - x \Rightarrow f' (x) = - 1 \neq 0$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
10	6	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$m_{1} = f (0) = 3 - 0 = 3$	2	[2,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$m_{2} = f (1) = 3 - 1 = 2$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 8, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 13$

ملاحظة:

إذا طلب في السؤال إيجاد المساحة التقريبية A يكون $A = \frac{8 + 13}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 {unit}^{2}$

تقسم الفترة إلى ثلاث فترات منتظمة

$\begin{aligned} h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - (- 2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \\ ∵ f (x) = 3 - x \Rightarrow f (x) = - 1 \neq 0 \end{aligned}$

لا توجد نقطة حرجة والدالة متناقصة.

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
5	4	$\begin{aligned} M_{1} = f (- 2) \\ = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{1} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	1	[1-,2-]
4	3	$\begin{aligned} M_{2} = f (- 1) \\ = 3 + 1 = 4 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	1	[1,0-]
3	2	$\begin{aligned} M_{3} = f (0) \\ = 3 - 0 = 3 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (1) \\ = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$	1	[0,1]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 9, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 12$

(2)- إذا كان $f : [0, 4] \to R, f (x) = 4 x - x^{2}, σ = (0, 1, 2, 3, 4)$

الفترات هي $[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]$

$f (x) = 4 x - x^{2} \Rightarrow f (x) = 4 - 2 x \Rightarrow 4 - 2 x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2 \in [1, 2]$

توجد نقطة حرجة هي (2,4) وهي نهاية عظمى محلية ولا تجزئ الفترة

الشكل

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
3	0	$\begin{array}{r} M_{1} = f (1) = 4 - 1 \\ = 3 \end{array}$	$m_{1} = f (0) = 0$	1	[0,1]
4	3	$\begin{array}{r} M_{2} = f (2) = 8 - 4 \\ = 4 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (1) \\ = 4 (1) - 1 = 3 \end{aligned}$	1	[1,2]
4	3	$\begin{array}{r} M_{3} = f (2) = 8 - 4 \\ = 4 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (3) \\ = 12 - 9 = 3 \end{aligned}$	1	[2,3]
3	0	$\begin{array}{r} M_{4} = f (3) = 12 - 9 \\ = 3 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{4} = f (4) \\ = 16 - 16 = 0 \end{aligned}$	1	[3,4]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 6, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 14$

أحياناً يطلب في السؤال إيجاد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A وكما يلي:

نقوم بحل السؤال كما هو أعلاه ثم يضاف إليه:

$A_{1} = L (σ, f) = 6, A_{2} = U (σ, f) = 14 \Rightarrow A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10$

(3)- $f : [1, 4] \to R, f (x) = 3 x^{2} + 2 x$

$σ = (1, 2, 4)$

استخدام ثلاث تجزيئات متساوية.

الفترات هي $[1, 2], [2, 4]$

$\begin{aligned} f (x) = 3 x^{2} + 2 x \Rightarrow f' (x) = 6 x + 2 \\ f' (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \notin [1, 4] \end{aligned}$

لا توجد نقاط حرجة والدالة متزايدة في الفترة [1,4]

وسوف يكون $M_{i} = f (b), m_{i} = f (a)$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
16	5	$M_{1} = f (2) = 16$	$m_{1} = f (1) = 5$	1	[1,2]
112	32	$M_{2} = f (4) = 56$	$m_{2} = f (2) = 16$	2	[2,4]
$U (σ, f) = 128$	$L (σ, f) = 37$

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 37, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 128$

$h = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

الفترات هي $[1, 2], [2, 3], [3, 4]$

لا توجد نقاط حرجة والدالة متزايدة في الفترة [1,4]

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
16	5	$M_{1} = f (2) = 16$	$m_{1} = f (1) = 5$	1	[1,2]
33	16	$M_{2} = f (3) = 33$	$m_{2} = f (2) = 16$	1	[2,3]
56	33	$M_{3} = f (4) = 56$	$m_{3} = f (3) = 33$	1	[3,4]
$U (σ, f) = 105$	$L (σ, f) = 54$

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 54, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 105$

حلول الأسئلة

أوجد كل من U ( σ , f ) , L ( σ , f ) لكل مما يأتي:

f : [ − 2 , 1 ] → R , f ( x ) = 3 − x

σ = ( − 2 , 0 , 1 ) ​​​​​​​

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

مشاركة الحل

تمارين (1-4)

(1)- أوجد كل من U(σ,f),L(σ,f) لكل مما يأتي:

f:[−2,1]→R,f(x)=3−x

σ=(−2,0,1)

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

(2)- إذا كان f:[0,4]→R,f(x)=4x−x2,σ=(0,1,2,3,4)

(3)- f:[1,4]→R,f(x)=3x2+2x

σ=(1,2,4)

استخدام ثلاث تجزيئات متساوية.

مشاركة الدرس

أوجد كل من U ( σ , f ) , L ( σ , f ) لكل مما يأتي:

f : [ − 2 , 1 ] → R , f ( x ) = 3 − x

σ = ( − 2 , 0 , 1 ) ​​​​​​​

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

تمارين (1-4)

(1)- أوجد كل من U(σ,f),L(σ,f) لكل مما يأتي:

f:[−2,1]→R,f(x)=3−x

σ=(−2,0,1)

تقسيم الفترة [2,1-] إلى ثلاث فترات جزئية منتظمة.

(2)- إذا كان f:[0,4]→R,f(x)=4x−x2,σ=(0,1,2,3,4)

(3)- f:[1,4]→R,f(x)=3x2+2x

σ=(1,2,4)

استخدام ثلاث تجزيئات متساوية.

أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

(1)- أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

(2)- إذا كان $f : [0, 4] \to R, f (x) = 4 x - x^{2}, σ = (0, 1, 2, 3, 4)$

(3)- $f : [1, 4] \to R, f (x) = 3 x^{2} + 2 x$

$σ = (1, 2, 4)$

أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

(1)- أوجد كل من $U (σ, f), L (σ, f)$ لكل مما يأتي:

$f : [- 2, 1] \to R, f (x) = 3 - x$

$σ = (- 2, 0, 1)$

(2)- إذا كان $f : [0, 4] \to R, f (x) = 4 x - x^{2}, σ = (0, 1, 2, 3, 4)$

(3)- $f : [1, 4] \to R, f (x) = 3 x^{2} + 2 x$

$σ = (1, 2, 4)$