حلول الأسئلة
السؤال
إذا كانت أوجد كل من:
الحل
مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.
أي أن العدد الحرج يوجد في الفترة [1,2]
ملاحظة:
تقع ضمن الفترة [1,2] لذلك نعوض بدل x ضمن فترتها، وعندما نصل إلى فترات التناقص نعوض لكل m i بـ (f(b وبدل M i بـ (f(a
Mi | mi | طول الفترة | الفترة | ||
2 | 0 | 1 | [0,1] | ||
2 | 1 | [1,2] | |||
2 | 0 | 1 | [2,3] | ||
0 | 4- | 1 | [3,4] |
لاحظ أن
مشاركة الحل
المجاميع العليا والمجاميع السفلى
- يرمز للمجاميع العليا
- يرمز للمجاميع السفلي
- سنعتبر الدالة: مستمرة على الفترة حيث يمكن أن تكون الدالة متزايدة أو متناقصة أو تحتوي على نقطة حرجة.
- إذا كانت التجزيئات متساوية والدالة هي عبارة عن ثابت في هذه الحالة يتساوى المجموع الأعلى مع المجموع الأسفل.
- إذا أردنا استخراج نعوض الرقم الأصغر لبداية الفترة وإذا أردنا استخراج نعوض الرقم الأكبر تنتهي به الفترة.
- في حالة احتواء الفترة الجزئية على نقطة حرجة نحسب قيم بداية الفترة ونهايتها وقيمة النقطة الحرجة وتكون القيمة الصغيرة هي والقيمة الأكبر هي .
- إذا لم نشترط أن تكون فإن من المتوقع ظهور المجموعة السفلى عدد موجب أو سالب أو صفر وبالمثل للمجموعة العليا.
(1)- لتكن جد المجموع الأسفل والمجموع الأعلى .
نتبع ما يلي لحل هذه الأسئلة:
- تجزأ الفترة (ويفضل أن تكون منتظمة).
- نشتق الدالة ونساوي المشتقة للصفر فإذا كان الجواب عدداً ثابتاً فإذا كانت موجبة فالدالة متزايدة وإذا كانت سالبة فهي متناقصة، أما إذا حصلنا على قيمة (x) نستخدم الاختبار للإشارة (الطريقة السابقة) ونجد هل هي متزايدة أو متناقصة، وبطريقة أخرى نشتق المشتقة الثانية فإذا كان الناتج موجباً فإن النهاية تكون صغرى وعندها تكتب القيمة المؤجلة في m ثم نعوض طرفي الفترة المؤجلة ثم نختار أكبر الناتجين ليكون في حقل M، أما إذا كانت المشتقة الثانية سالبة فتكون النهاية عظمى محلية وعندها تكتب القيمة المؤجلة M ثم نعوض طرفي الفترة المؤجلة ونختار أصغر الناتجين ونضعه في حقل m>
- نكتب الجدول وهو ثابت لا تتغير حقوله.
- ننتبه إلى ما يلي: إذا كانت الدالة متزايدة فإنه mi حيث m هي (أصغر قيمة للدالة) تأخذ (f(a وكذلك للدالة المتزايدة فإن Mi حيث M (هي أكبر قيمة للدالة) تأخذ (f(b.
Mi | mi | طول الفترة | الفترة | ||
9 | 7 | 1 | [1,2] | ||
11 | 9 | 1 | [2,3] | ||
13 | 11 | 1 | [3,4] |
(2)- إذا كانت أوجد كل من:
مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.
أي أن العدد الحرج يوجد في الفترة [1,2]
ملاحظة:
تقع ضمن الفترة [1,2] لذلك نعوض بدل x ضمن فترتها، وعندما نصل إلى فترات التناقص نعوض لكل mi بـ (f(b وبدل Mi بـ (f(a
Mi | mi | طول الفترة | الفترة | ||
2 | 0 | 1 | [0,1] | ||
2 | 1 | [1,2] | |||
2 | 0 | 1 | [2,3] | ||
0 | 4- | 1 | [3,4] |
لاحظ أن