حلول الأسئلة

السؤال

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

الحل

$σ_{1} = (2, 3, 5) σ_{2} = (2, 3, 4, 5)$

$σ_{1} (2, 3, 5) = [2, 3] + [3, 5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{aligned} m_{1} = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \\ m_{2} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ A_{1} + A_{2} = (3 - 2) m_{1} + (5 - 3) m_{2} \\ A_{1} + A_{2} = 1 (5) + 2 (10) = 5 + 20 = 25 \end{aligned}$

المستطيلات في الخارج:

$\begin{aligned} M_{1} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ M_{2} = f (5) = (5)^{2} + 1 = 26 \\ A_{1}^{'} + A_{2}^{'} = (3 - 2) M_{1} + (5 - 3) M_{2} \\ A_{1}^{'} + A_{2}^{'} = (3 - 2) \cdot 10 + (5 - 3) \cdot 26 = 10 + 52 = 62 \\ ∴ A = \frac{25 + 62}{2} = \frac{87}{2} = 43 \frac{1}{2} u n i t^{2} \end{aligned}$

$σ_{2} = (2, 3, 4, 5) = [2, 3] + [3, 4] + [4, 5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{aligned} m_{1} = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \\ m_{2} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ m_{3} = f (4) = (3)^{2} + 1 = 17 \\ A_{1} + A_{2} + A_{3} = (3 - 2) m_{1} + (4 - 3) m_{2} + (5 - 4) m_{3} \\ A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1 (5) + 1 (10) + 1 (17) = 32 {unit}^{2} \end{aligned}$

المستطيلات في الخارج:

$\begin{aligned} M_{1} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ M_{2} = f (4) = (4)^{2} + 1 = 17 \\ M_{3} = f (5) = (5)^{2} + 1 = 26 \\ A_{1}^{'} + A_{2}^{'} + A_{3}^{'} = (3 - 2) M_{1} + (4 - 3) M_{2} + (5 - 4) M_{3} \\ A_{1}^{'} + A_{2}^{'} + A_{3}^{'} = 1 (10) + 1 (17) + 1 (26) = 53 {unit}^{2} \\ A = \frac{\sum A_{n} + \sum A_{n}}{N} ⟹∴ A = \frac{32 + 53}{2} = \frac{85}{2} = 42 \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

يرمز للمجاميع العليا $U (σ, f)$
يرمز للمجاميع السفلي $L (σ, f)$

$U (σ, f) \geq L (σ, f)$

سنعتبر الدالة: $f [a, b] \to R$ مستمرة على الفترة $[a, b]$ حيث يمكن أن تكون الدالة متزايدة أو متناقصة أو تحتوي على نقطة حرجة.
إذا كانت التجزيئات متساوية والدالة هي عبارة عن ثابت في هذه الحالة يتساوى المجموع الأعلى مع المجموع الأسفل.
إذا أردنا استخراج $m$ نعوض الرقم الأصغر لبداية الفترة وإذا أردنا استخراج $M$ نعوض الرقم الأكبر تنتهي به الفترة.
في حالة احتواء الفترة الجزئية على نقطة حرجة نحسب قيم بداية الفترة ونهايتها وقيمة النقطة الحرجة وتكون القيمة الصغيرة هي $m$ والقيمة الأكبر هي $M$ .
إذا لم نشترط أن تكون $f (x) \geq 0$ فإن من المتوقع ظهور المجموعة السفلى عدد موجب أو سالب أو صفر وبالمثل للمجموعة العليا.

الشكل

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

المناطق المحددة بمنحنيات

هناك مناطق مستوية يمكن إيجاد مساحتها مثل المستطيل، المثلث، شبه المنحرف الدائرة.. إلخ. ولكن هناك أشكال تسمى مناطق مضلعة لا يمكن إيجاد مساحتها إلا بتقسيمها إلى مناطق مثلثة أو مربعة او مستطيلة . .... إلخ.

أما المنطقة $A$ والتي تسمى منطقة تحت المنحني $f$ وهي مجموعة النقاط المحصورة بين المنحني (بيان الدالة $f$ ) والمستقيمين $y = b, x = a$ ومحور السينات فلا يمكن تقسيمها إلى مناطق معلومة (مثلث، مستطيل، دائرة .... إلخ)

لذلك كيف يمكن حساب مساحتها؟

الشكل

إيجاد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة المستوية:

اذا كانت $f$ دالة (منحني) وكانت $(A)$ المنطقة المحصورة بينها وبين الإحداثي السيني في الفترة $[a, b]$ كما هو مبين الشكل أدناه، فيمكننا إيجاد مساحة المنطقة $(A)$ المحددة بالرسم.

الشكل

ملاحظات:

نرسم مستطيلاً من أدنى نقطة في المنحني ضمن الفترة $[a, b]$ وترمز له بالرمز $(A_{1})$
نرسم مستطيلاً من أعلى نقطة في المنحتي ضمن الفترة $[a, b]$ وترمز له بالرمز $(A_{2})$
توجد مساحة المنطقتين المستطيلتين $(A_{1})$ و $(A_{2})$
المطلوب هو حساب القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ بالاعتماد على القانون $A \approx \frac{A_{1} + A_{2}}{2}$
مساحة أي منطقة هي عدد حقيقي غير سالب
$A_{1} \subseteq A \subseteq A_{2}$ ، $A_{2} مساحة \geq A مساحة \geq A_{1} مساحة$
نرمز لارتفاع المستطيل الصغير $(A_{1})$ بالرمز $m$ حيث $m = f (a)$
نرمز لارتفاع المستطيل الكبير $(A_{2})$ بالرمز $M$ حيث $M = f (b)$

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y), 2 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq f (x), f (x) = \sqrt{x - 1}}$

$\begin{aligned} h = 5 - 2 = 3 \\ f (x) = \sqrt{x - 1} \\ m = f (2) = \sqrt{2 - 1} = 1 \\ A_{1} = m \cdot h = (1) (3) = 3 المستطيل داخل \end{aligned} \begin{aligned} M = f (5) = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2 \\ A_{2} = M \cdot h = 2 (3) = 6 المستطيل خارج \\ A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4 \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

الشكل

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 2, f (x) = x^{2} + 1}$

$\begin{aligned} h = 2 - 1 = 1 \\ m = f (1) = (1)^{2} + 1 = 2 \\ A_{1} = m \cdot h = 2 (1) = 2 {unit}^{2} المستطيل داخل \\ M = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \end{aligned} \begin{aligned} A_{2} = M \cdot h = 5 (1) = 5 u n i t^{2} المستطيل خارج \\ A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{2 + 5}{2} = 3 \frac{1}{2} u n i t^{2} (A للمنطقة التقريبية المساحة) \end{aligned}$

الشكل

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 3, f (x) = x^{2} + 1}$

$\begin{aligned} h = 3 - 1 = 2 \\ m = f (1) = (1)^{2} + 1 = 2 \\ A_{1} = m \cdot h = 2 (2) = 4 {unit}^{2} \\ M = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ A_{2} = M \cdot h = 10 (2) = 20 {unit}^{2} \\ A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12 {unit}^{2} (A للمنطقة التقريبية المساحة) \end{aligned}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, f (x) = 3 x^{2} - 2}$

$\begin{aligned} h = 5 - 2 = 3 \\ m = f (2) = 3 (2)^{2} - 2 = 10 \\ A_{1} = m \cdot h = 10 (3) = 30 {unit}^{2} \\ M = f (5) = 3 (5)^{2} - 2 = 73 \\ A_{2} = M \cdot h = 73 (3) = 219 {unit}^{2} \\ A = \frac{A_{1} + A_{2}}{2} = \frac{30 + 219}{2} = \frac{249}{2} = 124 \frac{1}{2} {unit}^{2} (A للمنطقة التقريبية المساحة) \end{aligned}$

مساحة المنطقة المستوية بدقة أكبر:

نجزأ الفترة المعطاة $[a, b]$ إلى فترات حسب الطلب وليكن عدد الفترات هو $(n)$ وبذلك يكون طول الفترة $h = \frac{b - a}{n}$ حيث يرمز للأعداد من $(1, 2, \dots, n)$ بالرمز $δ$ (سكما) حيث أن $(σ = 1, 2, 3 \dots, n)$
نحسب مساحة أكبر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n})$
نحسب مساحة أصغر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(\bar{A_{1}} + \bar{A_{2}} + \bar{A_{3}} + \dots + \bar{A_{n}})$
نجد مساحة المنطقة $A$ حسب القانون التالي $A = \frac{\sum A_{n} + \sum A'_{n}}{N}$ ونلاحظ أنه كلما زادت عدد نقاط التجزئة فإن المحصلة النهائية تقل وتصبح القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ أكثر دقة.

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

$σ_{1} = (2, 3, 5) σ_{2} = (2, 3, 4, 5)$

$σ_{1} (2, 3, 5) = [2, 3] + [3, 5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{aligned} m_{1} = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \\ m_{2} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ A_{1} + A_{2} = (3 - 2) m_{1} + (5 - 3) m_{2} \\ A_{1} + A_{2} = 1 (5) + 2 (10) = 5 + 20 = 25 \end{aligned}$

المستطيلات في الخارج:

$σ_{2} = (2, 3, 4, 5) = [2, 3] + [3, 4] + [4, 5]$

المستطيلات في الداخل:

المستطيلات في الخارج:

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

الحل

$σ_{1} = (2, 3, 5) σ_{2} = (2, 3, 4, 5)$

$σ_{1} (2, 3, 5) = [2, 3] + [3, 5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{aligned} m_{1} = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \\ m_{2} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ A_{1} + A_{2} = (3 - 2) m_{1} + (5 - 3) m_{2} \\ A_{1} + A_{2} = 1 (5) + 2 (10) = 5 + 20 = 25 \end{aligned}$

المستطيلات في الخارج:

$σ_{2} = (2, 3, 4, 5) = [2, 3] + [3, 4] + [4, 5]$

المستطيلات في الداخل:

المستطيلات في الخارج:

يرمز للمجاميع العليا $U (σ, f)$
يرمز للمجاميع السفلي $L (σ, f)$

$U (σ, f) \geq L (σ, f)$

سنعتبر الدالة: $f [a, b] \to R$ مستمرة على الفترة $[a, b]$ حيث يمكن أن تكون الدالة متزايدة أو متناقصة أو تحتوي على نقطة حرجة.
إذا كانت التجزيئات متساوية والدالة هي عبارة عن ثابت في هذه الحالة يتساوى المجموع الأعلى مع المجموع الأسفل.
إذا أردنا استخراج $m$ نعوض الرقم الأصغر لبداية الفترة وإذا أردنا استخراج $M$ نعوض الرقم الأكبر تنتهي به الفترة.
في حالة احتواء الفترة الجزئية على نقطة حرجة نحسب قيم بداية الفترة ونهايتها وقيمة النقطة الحرجة وتكون القيمة الصغيرة هي $m$ والقيمة الأكبر هي $M$ .
إذا لم نشترط أن تكون $f (x) \geq 0$ فإن من المتوقع ظهور المجموعة السفلى عدد موجب أو سالب أو صفر وبالمثل للمجموعة العليا.

الشكل

المناطق المحددة بمنحنيات

لذلك كيف يمكن حساب مساحتها؟

الشكل

إيجاد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة المستوية:

الشكل

ملاحظات:

نرسم مستطيلاً من أدنى نقطة في المنحني ضمن الفترة $[a, b]$ وترمز له بالرمز $(A_{1})$
نرسم مستطيلاً من أعلى نقطة في المنحتي ضمن الفترة $[a, b]$ وترمز له بالرمز $(A_{2})$
توجد مساحة المنطقتين المستطيلتين $(A_{1})$ و $(A_{2})$
المطلوب هو حساب القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ بالاعتماد على القانون $A \approx \frac{A_{1} + A_{2}}{2}$
مساحة أي منطقة هي عدد حقيقي غير سالب
$A_{1} \subseteq A \subseteq A_{2}$ ، $A_{2} مساحة \geq A مساحة \geq A_{1} مساحة$
نرمز لارتفاع المستطيل الصغير $(A_{1})$ بالرمز $m$ حيث $m = f (a)$
نرمز لارتفاع المستطيل الكبير $(A_{2})$ بالرمز $M$ حيث $M = f (b)$

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y), 2 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq f (x), f (x) = \sqrt{x - 1}}$

الشكل

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 2, f (x) = x^{2} + 1}$

الشكل

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 3, f (x) = x^{2} + 1}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, f (x) = 3 x^{2} - 2}$

مساحة المنطقة المستوية بدقة أكبر:

نجزأ الفترة المعطاة $[a, b]$ إلى فترات حسب الطلب وليكن عدد الفترات هو $(n)$ وبذلك يكون طول الفترة $h = \frac{b - a}{n}$ حيث يرمز للأعداد من $(1, 2, \dots, n)$ بالرمز $δ$ (سكما) حيث أن $(σ = 1, 2, 3 \dots, n)$
نحسب مساحة أكبر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n})$
نحسب مساحة أصغر منطقة مستطيلة داخل $A$ حيث تساوي $(\bar{A_{1}} + \bar{A_{2}} + \bar{A_{3}} + \dots + \bar{A_{n}})$
نجد مساحة المنطقة $A$ حسب القانون التالي $A = \frac{\sum A_{n} + \sum A'_{n}}{N}$ ونلاحظ أنه كلما زادت عدد نقاط التجزئة فإن المحصلة النهائية تقل وتصبح القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ أكثر دقة.

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

$σ_{1} = (2, 3, 5) σ_{2} = (2, 3, 4, 5)$

$σ_{1} (2, 3, 5) = [2, 3] + [3, 5]$

المستطيلات في الداخل:

$\begin{aligned} m_{1} = f (2) = (2)^{2} + 1 = 5 \\ m_{2} = f (3) = (3)^{2} + 1 = 10 \\ A_{1} + A_{2} = (3 - 2) m_{1} + (5 - 3) m_{2} \\ A_{1} + A_{2} = 1 (5) + 2 (10) = 5 + 20 = 25 \end{aligned}$

المستطيلات في الخارج:

$σ_{2} = (2, 3, 4, 5) = [2, 3] + [3, 4] + [4, 5]$

المستطيلات في الداخل:

المستطيلات في الخارج:

حلول الأسئلة

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A = { ( x , y ) : 2 ≤ x ≤ 5 , y = x 2 + 1 } وذلك باستخدام التجزئة.

مشاركة الحل

المناطق المحددة بمنحنيات

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y),2≤x≤5,0≤y≤f(x),f(x)=x−1}

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):1≤x≤2,f(x)=x2+1}

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة A حيث A={(x,y):1≤x≤3,f(x)=x2+1}

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):2≤x≤5,f(x)=3x2−2}

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):2≤x≤5,y=x2+1} وذلك باستخدام التجزئة.

مشاركة الدرس

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A = { ( x , y ) : 2 ≤ x ≤ 5 , y = x 2 + 1 } وذلك باستخدام التجزئة.

المناطق المحددة بمنحنيات

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y),2≤x≤5,0≤y≤f(x),f(x)=x−1}

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):1≤x≤2,f(x)=x2+1}

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة A حيث A={(x,y):1≤x≤3,f(x)=x2+1}

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):2≤x≤5,f(x)=3x2−2}

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة A حيث A={(x,y):2≤x≤5,y=x2+1} وذلك باستخدام التجزئة.

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y), 2 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq f (x), f (x) = \sqrt{x - 1}}$

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 2, f (x) = x^{2} + 1}$

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 3, f (x) = x^{2} + 1}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, f (x) = 3 x^{2} - 2}$

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.

(1)- أوجد القيمة التقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y), 2 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq f (x), f (x) = \sqrt{x - 1}}$

(2)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 2, f (x) = x^{2} + 1}$

(3)- أوجد قيمة تقريبية المساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 1 \leq x \leq 3, f (x) = x^{2} + 1}$

(4)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, f (x) = 3 x^{2} - 2}$

(5)- أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة $A$ حيث $A = {(x, y) : 2 \leq x \leq 5, y = x^{2} + 1}$ وذلك باستخدام التجزئة.