حلول الأسئلة

السؤال

جد تكامل لكل مما يأتي: $\int 4^{x} d x$

الحل

$\int 4^{x} d x = 4^{x} (\frac{1}{\ln 4}) + c$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

الدالة الأسية (الأساس عدد ثابت)

نفرض أن $a$ عدد ثابت يمثل أساس الدالة الأسية فإن مشتقة أي دالة أسية مرفوعة لقوة $u$ هي:

$\frac{d}{d x} a^{u} = (الدالة) (\ln الأساس) (الأس مشتقة) = a^{u} \cdot \ln a \frac{d u}{d x}$ وعليه فإن $\int (a^{u}) d u = \frac{1}{\ln a} e^{u} + c$

وتتميز ببعض الخصائص التي ذكرناها في الدالة الأسية السابقة وسوف نوضح ذلك في المثال التالي:

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = 4^{x^{2} - 3}$

$y = 4^{x^{2} - 3} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 4^{x^{2} - 3} \ln (4) (2 x) = \ln 4 (4^{x^{2} - 3}) 2 x$

$y = 5^{\sin x}$

$y = 5^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 5^{\sin x} \ln 5 (\cos x) = (\ln 5) 5^{\sin x} \cdot \cos x$

$y = (12)^{x^{\frac{1}{3}}}$

$y = (12)^{x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = (12)^{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \ln (12) \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} = (\ln 12) (12)^{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = (7)^{\frac{- x}{3}} \cdot \ln (7) (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} \ln (7) \cdot (7)^{\frac{- x}{3}}$

(2)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = e^{x^{2} + x}$

$y = e^{x^{2} + x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + x} (2 x + 1)$

$y = e^{\sin x}$

$y = e^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{\sin x} \cos x$

$y = e^{- x}$

$y = e^{- x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{- x} (- 1) = - e^{- x}$

$y = \ln x \cdot e^{x}$

$y = \ln x \cdot e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \ln x \cdot e^{x} + e^{x} \cdot \frac{1}{x}$

$y = \sin (x e^{x})$

$y = \sin (x e^{x}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \cos (x e^{x}) [x e^{x} + e^{x}] = [x e^{x} + e^{x}] \cos (x e^{x})$

$y = 3^{(2 + 4^{x})}$

$y = 3^{(2 + 4^{x})} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3^{(2 + 4^{x})} (\ln 3) [4^{x} (\ln 4) (1)]$

$y = \cot e^{2 x}$

$y = \cot e^{2 x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \csc^{2} e^{2 x} (2 e^{2 x})$

$y = 5^{\sin x}$

$y = 5^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 5^{\sin x} \ln (5) \cos x = (\ln 5) 5^{\sin x} \cos x$

(3)- جد تكامل لكل مما يأتي:

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x$

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x = e^{x^{2} + x} + c$

$\int e^{s i n x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(c o s x)}} d x$

$\int e^{\sin x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(\cos x)}} d x = e^{\sin x} + c$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x = \int e^{x^{3}} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int e^{x^{3}} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(3 x^{2})}} d x = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + c$

$\int {(1 + e^{x})}^{2} d x$

$\begin{aligned} \int {(1 + e^{x})}^{2} d x & = \int (1 + 2 e^{x} + e^{2 x}) d x \\ = \int [1 + 2 e^{x} + \frac{1}{2} e^{2 x} (2)] d x = x + 2 e^{x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + c \end{aligned}$

$\int e^{t a n x} \cdot s e c^{2} x d x$

$\int e^{\tan x} \cdot \sec^{2} x d x = e^{\tan x} + c$

$\int \frac{e^{l n x}}{x} d x$

$\int \frac{e^{\ln x}}{x} d x = e^{\ln x} + c = x + c$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x = 2 \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} = 2 e^{\sqrt{x}} + c$

$\int 4^{x} d x$

$\int 4^{x} d x = 4^{x} (\frac{1}{\ln 4}) + c$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x = \frac{1}{7} \int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) (7) d x = \frac{1}{7} 3^{\tan 7 x} (\frac{1}{\ln 3}) + c$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد تكامل لكل مما يأتي: $\int 4^{x} d x$

الحل

$\int 4^{x} d x = 4^{x} (\frac{1}{\ln 4}) + c$

الدالة الأسية (الأساس عدد ثابت)

نفرض أن $a$ عدد ثابت يمثل أساس الدالة الأسية فإن مشتقة أي دالة أسية مرفوعة لقوة $u$ هي:

$\frac{d}{d x} a^{u} = (الدالة) (\ln الأساس) (الأس مشتقة) = a^{u} \cdot \ln a \frac{d u}{d x}$ وعليه فإن $\int (a^{u}) d u = \frac{1}{\ln a} e^{u} + c$

وتتميز ببعض الخصائص التي ذكرناها في الدالة الأسية السابقة وسوف نوضح ذلك في المثال التالي:

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = 4^{x^{2} - 3}$

$y = 4^{x^{2} - 3} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 4^{x^{2} - 3} \ln (4) (2 x) = \ln 4 (4^{x^{2} - 3}) 2 x$

$y = 5^{\sin x}$

$y = 5^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 5^{\sin x} \ln 5 (\cos x) = (\ln 5) 5^{\sin x} \cdot \cos x$

$y = (12)^{x^{\frac{1}{3}}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = (7)^{\frac{- x}{3}} \cdot \ln (7) (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} \ln (7) \cdot (7)^{\frac{- x}{3}}$

(2)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = e^{x^{2} + x}$

$y = e^{x^{2} + x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + x} (2 x + 1)$

$y = e^{\sin x}$

$y = e^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{\sin x} \cos x$

$y = e^{- x}$

$y = e^{- x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{- x} (- 1) = - e^{- x}$

$y = \ln x \cdot e^{x}$

$y = \ln x \cdot e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \ln x \cdot e^{x} + e^{x} \cdot \frac{1}{x}$

$y = \sin (x e^{x})$

$y = \sin (x e^{x}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \cos (x e^{x}) [x e^{x} + e^{x}] = [x e^{x} + e^{x}] \cos (x e^{x})$

$y = 3^{(2 + 4^{x})}$

$y = 3^{(2 + 4^{x})} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3^{(2 + 4^{x})} (\ln 3) [4^{x} (\ln 4) (1)]$

$y = \cot e^{2 x}$

$y = \cot e^{2 x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \csc^{2} e^{2 x} (2 e^{2 x})$

$y = 5^{\sin x}$

$y = 5^{\sin x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 5^{\sin x} \ln (5) \cos x = (\ln 5) 5^{\sin x} \cos x$

(3)- جد تكامل لكل مما يأتي:

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x$

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x = e^{x^{2} + x} + c$

$\int e^{s i n x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(c o s x)}} d x$

$\int e^{\sin x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(\cos x)}} d x = e^{\sin x} + c$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x = \int e^{x^{3}} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int e^{x^{3}} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(3 x^{2})}} d x = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + c$

$\int {(1 + e^{x})}^{2} d x$

$\begin{aligned} \int {(1 + e^{x})}^{2} d x & = \int (1 + 2 e^{x} + e^{2 x}) d x \\ = \int [1 + 2 e^{x} + \frac{1}{2} e^{2 x} (2)] d x = x + 2 e^{x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + c \end{aligned}$

$\int e^{t a n x} \cdot s e c^{2} x d x$

$\int e^{\tan x} \cdot \sec^{2} x d x = e^{\tan x} + c$

$\int \frac{e^{l n x}}{x} d x$

$\int \frac{e^{\ln x}}{x} d x = e^{\ln x} + c = x + c$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x = 2 \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} = 2 e^{\sqrt{x}} + c$

$\int 4^{x} d x$

$\int 4^{x} d x = 4^{x} (\frac{1}{\ln 4}) + c$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x = \frac{1}{7} \int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) (7) d x = \frac{1}{7} 3^{\tan 7 x} (\frac{1}{\ln 3}) + c$

حلول الأسئلة

جد تكامل لكل مما يأتي: ∫ 4 x d x

مشاركة الحل

الدالة الأسية (الأساس عدد ثابت)

(1)- جد dydx لكل مما يأتي:

y=4x2−3

y=5sin⁡x

y=(12)x13

y=7−x3

(2)- جد dydx لكل مما يأتي:

y=ex2+x

y=esin⁡x

y=e−x

y=ln⁡x⋅ex

y=sin⁡(xex)

y=3(2+4x)

y=cot⁡e2x

y=5sin⁡x

(3)- جد تكامل لكل مما يأتي:

∫ex2+x(2x+1)⏟الأس مشتقةdx

∫esin⁡xcos⁡x⏟الأس مشتقةdx

∫x2ex3dx

∫(1+ex)2dx

∫etan⁡x⋅sec2⁡xdx

∫eln⁡xxdx

∫exxdx

∫4xdx

∫3tan⁡7x(sec2⁡7x)dx

مشاركة الدرس

جد تكامل لكل مما يأتي: ∫ 4 x d x

الدالة الأسية (الأساس عدد ثابت)

(1)- جد dydx لكل مما يأتي:

y=4x2−3

y=5sin⁡x

y=(12)x13

y=7−x3

(2)- جد dydx لكل مما يأتي:

y=ex2+x

y=esin⁡x

y=e−x

y=ln⁡x⋅ex

y=sin⁡(xex)

y=3(2+4x)

y=cot⁡e2x

y=5sin⁡x

(3)- جد تكامل لكل مما يأتي:

∫ex2+x(2x+1)⏟الأس مشتقةdx

∫esin⁡xcos⁡x⏟الأس مشتقةdx

∫x2ex3dx

∫(1+ex)2dx

∫etan⁡x⋅sec2⁡xdx

∫eln⁡xxdx

∫exxdx

∫4xdx

∫3tan⁡7x(sec2⁡7x)dx

جد تكامل لكل مما يأتي: $\int 4^{x} d x$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = 4^{x^{2} - 3}$

$y = 5^{\sin x}$

$y = (12)^{x^{\frac{1}{3}}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}}$

(2)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = e^{x^{2} + x}$

$y = e^{\sin x}$

$y = e^{- x}$

$y = \ln x \cdot e^{x}$

$y = \sin (x e^{x})$

$y = 3^{(2 + 4^{x})}$

$y = \cot e^{2 x}$

$y = 5^{\sin x}$

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x$

$\int e^{s i n x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(c o s x)}} d x$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$

$\int {(1 + e^{x})}^{2} d x$

$\int e^{t a n x} \cdot s e c^{2} x d x$

$\int \frac{e^{l n x}}{x} d x$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

$\int 4^{x} d x$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x$

جد تكامل لكل مما يأتي: $\int 4^{x} d x$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = 4^{x^{2} - 3}$

$y = 5^{\sin x}$

$y = (12)^{x^{\frac{1}{3}}}$

$y = 7^{\frac{- x}{3}}$

(2)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = e^{x^{2} + x}$

$y = e^{\sin x}$

$y = e^{- x}$

$y = \ln x \cdot e^{x}$

$y = \sin (x e^{x})$

$y = 3^{(2 + 4^{x})}$

$y = \cot e^{2 x}$

$y = 5^{\sin x}$

$\int e^{x^{2} + x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(2 x + 1)}} d x$

$\int e^{s i n x} \underset{الأس مشتقة}{\underset{⏟}{(c o s x)}} d x$

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$

$\int {(1 + e^{x})}^{2} d x$

$\int e^{t a n x} \cdot s e c^{2} x d x$

$\int \frac{e^{l n x}}{x} d x$

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

$\int 4^{x} d x$

$\int 3^{\tan 7 x} (\sec^{2} 7 x) d x$