جد $\int x{e}^{x^2}dx$

$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int 2x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+c$

نفرض أن $a$ عدد ثابت يمثل أساس الدالة الأسية فإن مشتقة أي دالة أسية مرفوعة لقوة $u$ هي:

$\frac{d}{dx}{a}^u=\left(\mathrm{الدالة}\text{)}\right(\ln \text{الأساس})\left(\mathrm{الأس} \mathrm{مشتقة}\right)=a^u\cdot \ln a\frac{du}{dx}$ وعليه فإن $\int \left(a^u\right)du=\frac{1}{\ln a}{e}^u+c$

وتتميز ببعض الخصائص التي ذكرناها في الدالة الأسية السابقة وسوف نوضح ذلك في المثال التالي:

دالة اللوغاريتم الطبيعي

الدالة الأسية $e^u$ هي دالة عكسية لدالة اللوغاريتم الطبيعي بمعنى آخر هناك بعض الدوال عندما نشتقها أو نكاملها ندخل عليها الدالة الأسية ثم عندما ننتهي نقوم بإلغاء الدالة الأسية عن طريق إدخال دالة اللوغاريتم الطبيعي الهدف من هذه العملية هي لتغير شكل الدالة المراد العمل عليها.

$\frac{d}{dx}\left(e^u\right)=\left(\text{الدالة}\right(\text{الأس مشتقة})=e^u\frac{du}{dx}$

وعليه فإن $\int e^u=e^u+c$ وهي تمتلك مجموعة من الخصائص الخاصة مثل:

$e=2.71828 , e^x\cdot e^y=e^{x+y} ,\hspace{0.17em}\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y} ,\hspace{0.17em}{e}^0=1 ,\hspace{0.17em}\frac{1}{e^x}=e^{-x}$

(1)- لتكن $y=e^{\tan x}$ فجد $\frac{dy}{dx}$

$y=e^{\tan x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{\tan x}\cdot ({\sec }^{2}x)$

(2)- جد $\int x{e}^{x^2}dx$

$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int 2x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+c$