لتكن $y=e^{\tan x}$ فجد $\frac{dy}{dx}$

$y=e^{\tan x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{\tan x}\cdot ({\sec }^{2}x)$

دالة اللوغاريتم الطبيعي

الدالة الأسية $e^u$ هي دالة عكسية لدالة اللوغاريتم الطبيعي بمعنى آخر هناك بعض الدوال عندما نشتقها أو نكاملها ندخل عليها الدالة الأسية ثم عندما ننتهي نقوم بإلغاء الدالة الأسية عن طريق إدخال دالة اللوغاريتم الطبيعي الهدف من هذه العملية هي لتغير شكل الدالة المراد العمل عليها.

$\frac{d}{dx}\left(e^u\right)=\left(\text{الدالة}\right(\text{الأس مشتقة})=e^u\frac{du}{dx}$

وعليه فإن $\int e^u=e^u+c$ وهي تمتلك مجموعة من الخصائص الخاصة مثل:

$e=2.71828 , e^x\cdot e^y=e^{x+y} ,\hspace{0.17em}\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y} ,\hspace{0.17em}{e}^0=1 ,\hspace{0.17em}\frac{1}{e^x}=e^{-x}$

(1)- لتكن $y=e^{\tan x}$ فجد $\frac{dy}{dx}$

$y=e^{\tan x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^{\tan x}\cdot ({\sec }^{2}x)$

(2)- جد $\int x{e}^{x^2}dx$

$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int 2x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+c$