حلول الأسئلة

السؤال

جد تكامل كل مما يأتي: $\int \frac{d x}{x + 1}$

الحل

$\int \frac{d x}{x + 1} = \ln | x + 1 | + c$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

اللوغاريتم الطبيعي

لتكن $u$ دالة موجبة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى $x$ فإن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي للدالة $u$ هي:

$\frac{d}{d x} (\ln u) = \frac{الدالة مشتقة}{الدالة} = \frac{(\frac{d u}{d x})}{u}$ وعليه فإن $\int \frac{1}{u} d u = \ln | u | + c$ شرط أن تكون الدالة $(u)$ موجبة الدالة وتستخدم هذه الدالة في توفير المشتقة الأولى في بعض الدوال التي يصعب اشتقاقها وهي تملك مجموعة من الخصائص الخاصة.

مثل: $l n 1 = 0, l n (x y) = l n x + l n y, l n (x^{y}) = y l n x, l n (\frac{x}{y}) = l n x - l n y$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = \ln (3 x^{2} + 4)$

$y = \ln (3 x^{2} + 4) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{3 x^{2} + 4}$

$y = \ln (\sin x)$

$y = \ln (\sin x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

$y = \ln (\frac{1}{x^{2}})$

$\begin{aligned} y = \ln (\frac{1}{x^{2}}) \Rightarrow y = \ln x^{- 2} \\ y = \ln x^{- 2} = - 2 \ln x \\ \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x} = \frac{- 2}{x} \end{aligned}$

$y = \ln (\tan x + x^{2})$

$\begin{aligned} y = \ln (\tan x + x^{2}) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} x + 2 x}{\tan x + x^{2}} \end{aligned}$

$y = \ln (\ln x)$

$y = \ln (\ln x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$

$y = \ln 3 x$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

(2)- جد مشتقة الدوال الآتية:

$y = \ln (x \sin x)$

$y = \ln (x \sin x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x}$

$y = \ln (x y^{2})$

$y = \ln (x y^{2}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + y^{2}}{x y^{2}}$

$y = (\sin x)^{x}$

$y = (\sin x)^{x} \Rightarrow \ln y = \ln (\sin x)^{x} \Rightarrow \ln y = x \ln \sin x \frac{y^{'}}{y} = x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \ln (\sin x) (1) \Rightarrow y^{'} = x y (\frac{\cos x}{\sin x}) + y \ln (\sin x)$

تعريف: $\int \frac{d x}{x} = \ln | x | + c$ أي إذا كان المقام اسه $(1)$ ومشتقته موجودة بالبسط فيكون تكامل $\ln$ .

(3)- جد تكامل كل مما يأتي:

$\int \frac{d x}{x + 1}$

$\int \frac{d x}{x + 1} = \ln | x + 1 | + c$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x = \ln | 2 x^{2} + x | + c$

$\int \cot x d x$

$\int \cot x d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \ln | \sin x | + c$

$\int \frac{d x}{x \ln x}$

$\int \frac{d x}{x \ln x} = \int \frac{\frac{1}{x} d x}{\ln x} = \ln | \ln x | + c$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ}$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ} = \ln | 1 + \sin θ | + c$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد تكامل كل مما يأتي: $\int \frac{d x}{x + 1}$

الحل

$\int \frac{d x}{x + 1} = \ln | x + 1 | + c$

اللوغاريتم الطبيعي

لتكن $u$ دالة موجبة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى $x$ فإن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي للدالة $u$ هي:

مثل: $l n 1 = 0, l n (x y) = l n x + l n y, l n (x^{y}) = y l n x, l n (\frac{x}{y}) = l n x - l n y$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = \ln (3 x^{2} + 4)$

$y = \ln (3 x^{2} + 4) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{3 x^{2} + 4}$

$y = \ln (\sin x)$

$y = \ln (\sin x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

$y = \ln (\frac{1}{x^{2}})$

$\begin{aligned} y = \ln (\frac{1}{x^{2}}) \Rightarrow y = \ln x^{- 2} \\ y = \ln x^{- 2} = - 2 \ln x \\ \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x} = \frac{- 2}{x} \end{aligned}$

$y = \ln (\tan x + x^{2})$

$\begin{aligned} y = \ln (\tan x + x^{2}) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} x + 2 x}{\tan x + x^{2}} \end{aligned}$

$y = \ln (\ln x)$

$y = \ln (\ln x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$

$y = \ln 3 x$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

(2)- جد مشتقة الدوال الآتية:

$y = \ln (x \sin x)$

$y = \ln (x \sin x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x}$

$y = \ln (x y^{2})$

$y = \ln (x y^{2}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + y^{2}}{x y^{2}}$

$y = (\sin x)^{x}$

تعريف: $\int \frac{d x}{x} = \ln | x | + c$ أي إذا كان المقام اسه $(1)$ ومشتقته موجودة بالبسط فيكون تكامل $\ln$ .

(3)- جد تكامل كل مما يأتي:

$\int \frac{d x}{x + 1}$

$\int \frac{d x}{x + 1} = \ln | x + 1 | + c$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x = \ln | 2 x^{2} + x | + c$

$\int \cot x d x$

$\int \cot x d x = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x = \ln | \sin x | + c$

$\int \frac{d x}{x \ln x}$

$\int \frac{d x}{x \ln x} = \int \frac{\frac{1}{x} d x}{\ln x} = \ln | \ln x | + c$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ}$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ} = \ln | 1 + \sin θ | + c$

حلول الأسئلة

جد تكامل كل مما يأتي: ∫ d x x + 1

مشاركة الحل

اللوغاريتم الطبيعي

(1)- جد dydxلكل مما يأتي:

y=ln⁡(3x2+4)

y=ln⁡(sin⁡x)

y=ln⁡(1x2)

y=ln⁡(tan⁡x+x2)

y=ln⁡(ln⁡x)

y=ln⁡3x

(2)- جد مشتقة الدوال الآتية:

y=ln⁡(xsin⁡x)

y=ln⁡(xy2)

y=(sin⁡x)x

(3)- جد تكامل كل مما يأتي:

∫dxx+1

∫(4x+1)(2x2+x)dx

∫cot⁡xdx

∫dxxln⁡x

∫cos⁡θdθ1+sin⁡θ

مشاركة الدرس

جد تكامل كل مما يأتي: ∫ d x x + 1

اللوغاريتم الطبيعي

(1)- جد dydxلكل مما يأتي:

y=ln⁡(3x2+4)

y=ln⁡(sin⁡x)

y=ln⁡(1x2)

y=ln⁡(tan⁡x+x2)

y=ln⁡(ln⁡x)

y=ln⁡3x

(2)- جد مشتقة الدوال الآتية:

y=ln⁡(xsin⁡x)

y=ln⁡(xy2)

y=(sin⁡x)x

(3)- جد تكامل كل مما يأتي:

∫dxx+1

∫(4x+1)(2x2+x)dx

∫cot⁡xdx

∫dxxln⁡x

∫cos⁡θdθ1+sin⁡θ

جد تكامل كل مما يأتي: $\int \frac{d x}{x + 1}$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = \ln (3 x^{2} + 4)$

$y = \ln (\sin x)$

$y = \ln (\frac{1}{x^{2}})$

$y = \ln (\tan x + x^{2})$

$y = \ln (\ln x)$

$y = \ln 3 x$

$y = \ln (x \sin x)$

$y = \ln (x y^{2})$

$y = (\sin x)^{x}$

$\int \frac{d x}{x + 1}$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x$

$\int \cot x d x$

$\int \frac{d x}{x \ln x}$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ}$

جد تكامل كل مما يأتي: $\int \frac{d x}{x + 1}$

(1)- جد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$y = \ln (3 x^{2} + 4)$

$y = \ln (\sin x)$

$y = \ln (\frac{1}{x^{2}})$

$y = \ln (\tan x + x^{2})$

$y = \ln (\ln x)$

$y = \ln 3 x$

$y = \ln (x \sin x)$

$y = \ln (x y^{2})$

$y = (\sin x)^{x}$

$\int \frac{d x}{x + 1}$

$\int \frac{(4 x + 1)}{(2 x^{2} + x)} d x$

$\int \cot x d x$

$\int \frac{d x}{x \ln x}$

$\int \frac{\cos θ d θ}{1 + \sin θ}$