جد مشتقة الدوال الآتية: $y=(\sin x{)}^x$

$$\begin{gathered} y=(\sin x{)}^x\Rightarrow \ln y=\ln (\sin x{)}^x\Rightarrow \ln y=x\ln \sin x \\ \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}+\ln (\sin x)\left(1\right)\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=xy\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)+y\ln (\sin x) \end{gathered}$$

اللوغاريتم الطبيعي

لتكن $u$ دالة موجبة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى $x$ فإن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي للدالة $u$ هي:

$\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{\mathrm{الدالة} \mathrm{مشتقة}}{\text{الدالة}}=\frac{\left(\frac{du}{dx}\right)}{u}$ وعليه فإن $\int \frac{1}{u}du=\ln \left|u\right|+c$ شرط أن تكون الدالة $\left(u\right)$ موجبة الدالة وتستخدم هذه الدالة في توفير المشتقة الأولى في بعض الدوال التي يصعب اشتقاقها وهي تملك مجموعة من الخصائص الخاصة.

مثل: $ln1=0 , ln\left(xy\right)=lnx+lny , ln\left(x^y\right)=ylnx , ln\left(\frac{x}{y}\right)=lnx-lny$

(1)- جد $\frac{dy}{dx}$لكل مما يأتي:

$y=\ln (3x^2+4)$

$y=\ln (3x^2+4)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x}{3x^2+4}$

$y=\ln (\sin x)$

$y=\ln (\sin x)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$

$y=\ln \left(\frac{1}{x^2}\right)$

$\begin{array}{rl}& y=\ln \left(\frac{1}{x^2}\right)\Rightarrow y=\ln x^{-2}\\ & y=\ln x^{-2}=-2\ln x\\ & \frac{dy}{dx}=-2\frac{1}{x}=\frac{-2}{x}\end{array}$

$y=\ln (\tan x+x^2)$

$\begin{array}{rl}& y=\ln (\tan x+x^2)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{{\sec }^{2}x+2x}{\tan x+x^2}\end{array}$

$y=\ln (\ln x)$

$y=\ln (\ln x)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}$

$y=\ln 3x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x}$

(2)- جد مشتقة الدوال الآتية:

$y=\ln (x\sin x)$

$y=\ln (x\sin x)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\cos x+\sin x}{x\sin x}$

$y=\ln \left(x{y}^2\right)$

$y=\ln \left(x{y}^2\right)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2xy+y^2}{x{y}^2}$

$y=(\sin x{)}^x$

$$\begin{gathered} y=(\sin x{)}^x\Rightarrow \ln y=\ln (\sin x{)}^x\Rightarrow \ln y=x\ln \sin x \\ \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}+\ln (\sin x)\left(1\right)\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=xy\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)+y\ln (\sin x) \end{gathered}$$

تعريف: $\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+c$ أي إذا كان المقام اسه $\left(1\right)$ ومشتقته موجودة بالبسط فيكون تكامل $\ln$.

(3)- جد تكامل كل مما يأتي:

$\int \frac{dx}{x+1}$

$\int \frac{dx}{x+1}=\ln |x+1|+c$

$\int \frac{(4x+1)}{(2x^2+x)}dx$

$\int \frac{(4x+1)}{(2x^2+x)}dx=\ln |2x^2+x|+c$

$\int \cot xdx$

$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln |\sin x|+c$

$\int \frac{dx}{x\ln x}$

$\int \frac{dx}{x\ln x}=\int \frac{\frac{1}{x}dx}{\ln x}=\ln |\ln x|+c$

$\int \frac{\cos \theta d\theta }{1+\sin \theta }$

$\int \frac{\cos \theta d\theta }{1+\sin \theta }=\ln |1+\sin \theta |+c$