أوجد ${\int }_3^{2}3x^{2}dx$

${\int }_3^{2}3x^{2}dx=-{\int }_2^{3}3x^{2}dx=-{\left[x^3\right]}_2^3=-[27-8]=-27+8=-19$

ملاحظة:

إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x<1\\ 4x-2& x\ge 1\end{array}$ جد إن أمكن ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

في هذا المثال تكون الاستمرارية متحققة لأنها معرفة عند $x=1$ بعد أن نعوض بالدالة الثانية $\left(4x-2\right)$ .

إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x\le 1\\ 4x-2& x>1\end{array}$ جد إن أمكن ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

في هذا المثال تكون الاستمرارية غير متحققة لأنها غير معرفة عند $x=1$ بعد أن نعوض بالدالة الأولى $\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)$ .

خواص التكامل المحدد

1. إذا كانت $f$ دالة مستمرة على $\left[a,b\right]$ وكانت $f\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

$\begin{array}{rl}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge 0 \left(\mathrm{فإن}\right)\\ & f\left(x\right)=x^2\ge 0,\mathrm{\forall }x\in [-1,2] \left(\mathrm{لأن}\right) {\int }_{-1}^2{x}^{2}dx\ge 0\\ & f\left(x\right)=3>0,\mathrm{\forall }x\in [-2,3] \left(\mathrm{لأن}\right) {\int }_{-2}^{3}3dx>0\\ & f\left(x\right)=(x+1)>0,\mathrm{\forall }x\in [2,3] \left(\mathrm{لأن}\right) {\int }_2^3(x+1)dx>0\end{array}$

2. إذا كانت $f$ دالة مستمرة على $\left[a,b\right]$ وكانت $f\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

$\begin{array}{rl}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le 0 \left(\mathrm{فإن}\right)\\ & f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in [1,2] \left(\mathrm{لأن}\right) {\int }_1^2(-2)dx<0\\ & f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in [-2,-1] \left(\mathrm{لأن}\right) {\int }_{-2}^{-1}xdx<0\end{array}$

3. الثابت (العدد) يستخرج خارج التكامل

إذا $f$ دالة مستمرة على $\left[a,b\right]$ وكان $c$ عدد حقيقي ثابتاً فإن:

${\int }_a^{b}cf\left(x\right)dx=c{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

(1)- إذا كان ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx=8$ فأوجد ${\int }_2^{5}5f\left(x\right)dx$

${\int }_2^{5}5f\left(x\right)dx=5{\int }_2^{5}f\left(x\right)dx=5\times 8=40$

4. اذا كانت دالتان $f_1,f_2$ مستمرتين على الفترة $\left[a,b\right]$

${\int }_a^b(f_1\mp f_2)={\int }_a^b{f}_1\mp {\int }_a^b{f}_2$

يمكننا تعميم هذه الخاصية على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على فترة $\left[a,b\right]$

(2)- إذا كانت ${\int }_1^3{f}_1\left(x\right)dx=15 , {\int }_1^3{f}_2\left(x\right)dx=17$ فأوجد كلاً من:

${\int }_1^3\left(f_1\right(x)+f_2(x\left)\right)dx , {\int }_1^3\left(f_1\right(x)-f_2(x\left)\right)dx$

$\begin{array}{rl}& {\int }_1^3\left(f_1\right(x)+f_2(x\left)\right)dx={\int }_1^3{f}_1\left(x\right)dx+{\int }_1^3{f}_2\left(x\right)dx=15+17=32\\ & {\int }_1^3\left(f_1\right(x)-f_2(x\left)\right)dx={\int }_1^3{f}_1\left(x\right)dx-{\int }_1^3{f}_2\left(x\right)dx=15-17=-2\end{array}$

(3)- إذا كانت $f\left(x\right)=3x^2+2x$ فأوجد ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$

$\begin{array}{rl}& {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx={\int }_1^2(3x^2+2x)dx={\int }_1^{2}3x^{2}dx+{\int }_1^{3}2xdx\\ & {\left[\frac{3x^3}{3}\right]}_1^2+{\left[\frac{2x^2}{2}\right]}_1^2={\left[x^3\right]}_1^2+{\left[x^2\right]}_1^2=[8-1]+[4-1]=7+3=10\end{array}$

5. إذا كانت $f\left(x\right)$ دالة مستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ وكانت $c\in (a,b)$ فإن:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

(4)- إذا كانت ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=5 , {\int }_3^{7}f\left(x\right)dx=8$ فأوجد ${\int }_1^{7}f\left(x\right)dx$

${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx={\int }_1^{3}f\left(x\right)dx+{\int }_2^{1}f\left(x\right)dx=5+8=13$

(5)- لتكن $f\left(x\right)=\left|x\right|$ أوجد ${\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)dx$

دالة مستمرة على $\left[-3,4\right]$ ولها قاعدتان هما:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x& \mathrm{\forall }x\ge 0\\ -x& \mathrm{\forall }x<0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)dx={\int }_{-3}^0(-x)dx+{\int }_0^{4}xdx={\left[\frac{-x^2}{2}\right]}_{-3}^0+{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4\\ & =[0-\left(\frac{-9}{2}\right)]+[\frac{16}{2}-0]=\frac{9}{2}+\frac{16}{2}=\frac{25}{2}\end{array}$

(6)- إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x+1& \mathrm{\forall }x\ge 1\\ 3& \mathrm{\forall }x<1\end{array}$ فأوجد ${\int }_0^{5}f\left(x\right)dx$

الدالة $f$ مستمرة على الفترة $\left[0,5\right]$ وذلك لأنها مستمرة عند $x=1$ لأن

$$\begin{gathered} \text{1) }f\left(1\right)=2\left(1\right)+1=3 \left(\mathrm{معرفة}\right) \\ 2) \underset{x\to 1}{lim}f(x)=\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{lim}(2x+1)=3=L_1\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}3=3=L_2\end{array} \\ \therefore L_1=L_2 \left(\mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\right) \\ \text{3)}\underset{x\to 1}{ lim}f(x)=3\text{موجودة}\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}f(x)=f(1)=3 \end{gathered}$$

الدالة $f$ مستمرة $\{x:x>1\},\{x:x<1\}$ فتكون الدالة $f$ مستمرة على الفترة $\left[0,5\right]$

$\begin{array}{rl}\therefore {\int }_0^{5}f\left(x\right)dx& ={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{5}f\left(x\right)dx={\int }_0^{1}3dx+{\int }_1^5(2x+1)dx\\ & =[3x{]}_0^1+{[x^2+x]}_1^5=[3-0]+[(25+5)-\left(2\right)]=3+28=31\end{array}$

6. إذا كان:

$$\begin{gathered} 1) {\int }_a^{a}f(x)dx=0 \\ 2) {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

(7)- أوجد ${\int }_3^{3}xdx$

${\int }_3^{3}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_3^3=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0$

او باستخدام القاعدة المباشرة ${\int }_3^{3}xdx=0$

(8)- أوجد ${\int }_3^{2}3x^{2}dx$

${\int }_3^{2}3x^{2}dx=-{\int }_2^{3}3x^{2}dx=-{\left[x^3\right]}_2^3=-[27-8]=-27+8=-19$

ملاحظة:

إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x<1\\ 4x-2& x\ge 1\end{array}$ جد إن أمكن ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

في هذا المثال تكون الاستمرارية متحققة لأنها معرفة عند $x=1$ بعد أن نعوض بالدالة الثانية $\left(4x-2\right)$.

إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x\le 1\\ 4x-2& x>1\end{array}$ جد إن أمكن ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

في هذا المثال تكون الاستمرارية غير متحققة لأنها غير معرفة عند $x=1$ بعد أن نعوض بالدالة الأولى $\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)$.

ملاحظة: إذا كان الحد الفاصل هو أحد حدي التكامل الأعلى أو الأدنى ففيها وجهان:

1. إذا كانت جميع العناصر الواقعة بين حدي التكامل تقع ضمن أحد الجزئين بما فيها الحد الفاصل فتثبت الاستمرارية على ذلك الجزء وعدم الاهتمام بالجزء الآخر.
2. إذا كانت جميع العناصر الواقعة بين حدي التكامل تقع ضمن أحد الجزئين وكان الحد الفاصل تقع ضمن الجزء الآخر فيجب إثبات الاستمرارية عند $x<a$ أو $x>a$ حسب طبيعة الدالة.

(9)- إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x^2-3& x<1\\ 4x+3& x\ge 1\end{array}$ جد إن أمكن:

${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$

عندما $x\ge 1$ الدالة تكون مستمرة لأنها كثيرة حدود.

${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx={\int }_1^5(4x+3)dx={[2x^2+3x]}_1^5=[50+15]-[2+3]=60$

${\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx$

نثبت الاستمرارية.

$\begin{array}{r}f\left(1\right)=4+3=7\\ \underset{x\to 1}{lim} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim} (4+3)=7=L_1\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim} (2-3)=-1=L_2\end{array}\right.\end{array}$

$L_1\ne L_2$ الدالة غير مستمرة ولا يمكن إجراء التكامل.

(10)- إذا كان ${\int }_{-3}^1 f\left(x\right)dx=-1$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}6-x\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}2\le x\le 4\\ a{x}^2+b\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}-3\le x<2\end{array}\right.$ جد قيمتي $a,b\in R$

بما أن التكامل موجود فإن الدالة مستمرة عند الحد الفاصل وهو العدد $\left(2\right)$ أي أن الغاية من اليمين تساوي من اليسار.

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\underset{x\to 2}{lim} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lr}\underset{x\to 2^{+}}{lim} 6-2& =4=L_1\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim} 4a+b& =L_2\end{array}\Rightarrow L_1=L_2\right.\\ 4a+b=4\Rightarrow 4a=4-b\dots \dots \dots \left(1\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx=-1\Rightarrow {\int }_{-3}^{2}f\left(x\right)dx+{\int }_2^{4}f\left(x\right)dx=-1\\ & {\int }_{-3}^2(a{x}^2+b)dx+{\int }_2^4(6-x)dx=-1\Rightarrow {[\frac{a{x}^3}{3}+bx]}_{-3}^2+{[6x-\frac{x^2}{2}]}_2^4=-1\\ & [(\frac{8a}{3}+2b)-(-9a-3b\left)\right]+\left[\right(24-8)-(12-2\left)\right]=-1\\ & \frac{8a}{3}+2b+9a+3b=-7]\times 3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 8a+6b+27a+9b=-21\Rightarrow 35a+15b=-21\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 35a+15(4-4a)=-21\Rightarrow 35a+60-60a=-21\Rightarrow -25a=-21-60\\ & -25a=-81\Rightarrow a=\frac{-81}{-25}=\frac{81}{25} \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & b=4-\frac{324}{25}=\frac{-224}{25}\end{array} \end{gathered}$$

(11)- لتكن $f\left(x\right)=|x-2|$ جد ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x-2& x\ge 2\\ -(x-2)& x<2\end{array}$

$$\begin{gathered} \text{1) }f\left(2\right)=|2-2|=0 \\ \text{2) }\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{lim}(x-2)=0=L_1\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}-(x-2)=0=L_2\end{array} \\ {L}_1=L_2 \left(\mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\right) \\ \text{3) }\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)=0 \end{gathered}$$

الدالة $f$ مستمرة على كل من $\{x:x>2\},\{x:x<2\}$ فتكون الدالة $f$ مستمرة على الفترة $\left[0,4\right]$

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{4}f\left(x\right)dx& ={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx+{\int }_2^{4}f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^2(-x+2)dx+{\int }_2^4(x-2)dx\\ & \begin{array}{rl}& ={[\frac{-x^2}{2}+2x]}_0^2+{[\frac{x^2}{2}-2x]}_2^4\\ & =[\frac{-4}{2}+4]-\left[0\right]+[\frac{16}{2}-8]-[\frac{4}{2}-4]\\ & =[-2+4]+\left[2\right]=4\end{array}\end{array}$

(12)- إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x\ge 2\\ x+2& x<2\end{array}$ أوجد ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$

الدالة مستمرة في $R$ لأنها مستمرة عند $x=2$ .. الدالة مستمرة 4 R عند 2 = x

$$\begin{gathered} \text{1) }f\left(2\right)=4 \\ 2) \underset{x\to 2}{lim}f(x)=\{\begin{array}{c}\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4=L_1\\ \underset{x\to 2}{lim}(x+2)=4=L_2\end{array} \\ {L}_1=L_2 \left(\mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\right) \\ \text{3) }\underset{x\to 2}{lim}f(x)=f(2)=4 \end{gathered}$$

الدالة مستمرة في $R$ عند $x=2$

الفترة$\left[-1,1\right]$ تنتمي إلى الفترة $(x<2)$ فيكون التكامل $f\left(x\right)=x+2$

${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^1(x+2)dx={[\frac{x^2}{2}+2x]}_{-1}^1=[\frac{1}{2}+2]-[\frac{1}{2}-2]=4$

(13)- إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x^2+2x& x\ge 1\\ 6x-1& x<1\end{array}$ أوجد ${\int }_{-2}^{3}f\left(x\right)dx$

الدالة $f$ مستمرة على الفترة $\left[-1,3\right]$

$$\begin{gathered} \text{1) }f\left(1\right)=3(1{)}^2+2(1)=5 \left(\mathrm{معرفة}\right) \\ 2) \underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{lim}3x^2+2x=5=L_1\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}6x-1=5=L_2\end{array} \\ {L}_1=L_2 \left(\mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\right) \\ \text{3) }\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)=5 \end{gathered}$$

• الدالة $f$ مستمرة على كل $\{x:x<1\},\{x:x>1\}$
• الدالة $f$ مستمرة على كل $[-2,3]$

$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{3}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{3}f\left(x\right)dx={\int }_{-2}^1(6x-1)dx+{\int }_1^3(3x^2+2x)dx\\ & ={[3x^2-x]}_{-2}^1+{[x^3+x^2]}_1^3=[2-14]+[36-2]=-12+34=22\end{array}$