إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي: 

$F:[0,\frac{\pi }{2}]\to R , F\left(x\right)=\sin x$

فأوجد قيمة ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(x\right)dx$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(x\right)=\left[F\right(x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}=F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F(0)=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ فإنه توجد دالة $F$ مستمرة على الفترة $\left[a,b\right]$ بحيث:

$\begin{array}{rl}& F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (a,b)\\ & {\int }_a^{b}f\left(x\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)\end{array}$

حيث تسمى $F$ الدالة المقابلة للدالة $f$ على الفترة $\left[a,b\right]$

ملاحظة: نشير إلى أن $\left[F\right(x){]}_1^2=F(2)-F(1)$

(1)- إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0,\frac{\pi }{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي:

$F:[0,\frac{\pi }{2}]\to R , F\left(x\right)=\sin x$ فأوجد قيمة ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(x\right)dx$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(x\right)=\left[F\right(x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}=F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F(0)=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$

(2)- إذا كانت $f\left(x\right)$ دالة مستمرة على الفترة $[1,5]$ بحيث $F\left(x\right)=3x^2$ دالة مقابلة للدالة $f$ فجد قيمة ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$.

${\int }_1^{5}f\left(x\right)=F\left(5\right)-F\left(1\right)=3(5{)}^2-3(1{)}^2=75-3=72$

(3)- أثبت فيما إذا كانت $F:[1,3]\to R , F\left(x\right)=x^3+2$ هي دالة مقابلة للدالة $f\left(x\right)=3x^2$.

$F\left(x\right)=x^3+2\because$ دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$ لأنها كثيرة حدود.

$F$ مستمرة على $\left[1,3\right]$ وقابلة للاشتقاق على $\left(1,3\right)$

$F\left(x\right)=3x^2=f\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (1,3)$

$F$ دالة مقابلة للدالة $f$ على $\left[1,3\right]$

(4)- أثبت أن الدالة $F:R\to R , F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x$ هي دالة مقابلة للدالة $f:R\to R , f\left(x\right)=\cos 2x$ ثم جد قيمة ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xdx$.

$f\left(x\right)=\cos 2x , f:R\to R$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2}(\cos 2x)2=\cos 2x=f\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in R$

$F$ هي دالة مقابلة للدالة $f$

$\begin{array}{rl}& \because {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xdx={[\frac{1}{2}\sin 2x]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}\sin 2\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\sin 2\left(0\right)\\ & =\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\sin 0=\frac{1}{2}\left(1\right)-\frac{1}{2}\left(0\right)=\frac{1}{2}\end{array}$

الجدول التالي يوضح العلاقة بين $\mathit{f}$ والدالة المقابلة لها $\mathit{F}$

لذا نستنتج أن $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c$ حيث أن $c$ ثابت حقيقي.

ملاحظة: أي نضيف إلى الأس واحد ونقسم على الأس الجديد ${\int }_a^b{x}^{n}dx={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_a^b$

(5)- أوجد ${\int }_1^3{x}^{3}dx$

${\int }_1^3{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_1^3=\frac{3^4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{81}{4}-\frac{1}{4}=\frac{80}{4}=20$

(6)- أوجد ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sec x\tan xdx$

${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sec x\tan xdx=[\sec x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}=\sec \frac{\pi }{3}-\sec 0=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{3}}-\frac{1}{\cos 0}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{1}=2-1=1$

(7)- أوجد ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\csc }^{2}xdx$

${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\csc }^{2}xdx=[-\cot x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=-[\cot \frac{\pi }{2}-\cot \frac{\pi }{4}]=-[0-1]=1$

(8)- أوجد ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sec }^{2}xdx$

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sec }^{2}xdx=[\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\tan \frac{\pi }{4}-\tan 0=1-0=1$

(9)- أوجد ${\int }_1^2{x}^{2}dx$

${\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=[\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}]=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$