تمارين (6-3)

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما $75$ وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

الفرضية:

1. نفرض العدد الأول = $x$
2. نفرض العدد الثاني = $y$

الدالة: $L$ = حاصل ضرب العدد الأول × مربع العدد الثاني

العلاقة: مجموع العددين $x+y=75$

$\begin{array}{rl}& L=x\cdot y^2\dots \dots \left(1\right)\\ & x+y=75\\ & x=75-y\dots \dots \left(2\right)\\ & L=(75-y)\cdot y^2\\ & L=75y^2-y^3\\ & L^{\mathrm{\prime }}=150y-3y^2(L^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & either y=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\\ & or 50-y=0\Rightarrow y=50 \left(\mathrm{الثاني} \mathrm{العدد}\right) \left(\left(2\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & x=75-50=25 \left(\mathrm{الأول} \mathrm{العدد}\right)\end{array}$

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها $4\sqrt{3}\mathrm{cm}$.

الفرضية:

• نفرض الارتفاع = $2h$
• نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
• نفرض الحجم = $v$

الدالة: قانون حجم الأسطوانة (هي التي تقوم باشتقاقها)

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $ABC$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=r^2\pi .2h\dots \dots \left(1\right)\\ & \begin{array}{rl}& h^2+r^2=(4\sqrt{3}{)}^2\\ & h^2+r^2=48\\ & r^2=48-h^2\dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{نعوض}\right)\\ & V=2\pi (48-h^2)h\end{array}\\ & \begin{array}{ll}V=2\pi (48L-h^3)& \\ V\text{'}=2\pi (48-3h^2)& (V\text{'}=0)\\ [2\pi (48-3h^2)=0]& (÷2\pi )\end{array}\\ & [48-3h^2=0]÷3\Rightarrow 16-h^2=0\Rightarrow h^2=16\\ & \text{either }h=-4 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & \text{or}h=4 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& r^2=48-h^2=48-16\Rightarrow r^2=32\Rightarrow r=4\sqrt{2} \left(\mathrm{الاسطوانة} \mathrm{قطر} \mathrm{نصف}\right)\\ & 2h=2\left(4\right)=8\mathrm{cm} \left(\mathrm{الاسطوانة} \mathrm{ارتفاع}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها $4\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

الفرضية:

• نفرض طول المستطيل = $2x$
• نفرض عرض المستطيل = $y$
• نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها).

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $ABC$

$\begin{array}{rl}& A=2x\cdot y ....\left(1\right)\\ & x^2+y^2=(4\sqrt{2}{)}^2\\ & x^2+y^2=32\\ & y^2=32-x^2\\ & y=\sqrt{32-x^2}\dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & A=2x\sqrt{(32-x^2)}\\ & A=2\sqrt{32x^2-x^4}\\ & A\text{'}=\frac{\left(2\right)[64x-4x^3]}{2\sqrt{32x^2-x^4}}\Rightarrow A\text{'}=\frac{[64x-4x^3]}{\sqrt{32x^2-x^4}}(A\text{'}=0)\\ & \frac{[64x-4x^3]}{\sqrt{32x^2-x^4}}=0\Rightarrow [64x-4x^3=0](÷4)\Rightarrow x(16-x^2)=0\\ & either x=0 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & or 16-x^2=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4\\ & either x=-4 \left(\mathrm{تهمل}\right)\begin{array}{}\end{array}\\ & or x=4\\ & 2x=2\left(4\right)=8\mathrm{cm} \left(\mathrm{المستطيل} \mathrm{طول}\right) \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & y=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm} \left(\mathrm{المستطيل} \mathrm{عرض}\right)\end{array}$

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = $8\sqrt{2cm}$.

الفرضية:

• نفرض ارتفاع المثلث = $h$
• نفرض طول ضلع المثلث = $2L$
• نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث (هي التي نقوم باشتقاقها).

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& A=\frac{1}{2}\cdot 2L\cdot h\\ & A=L.h ....\left(1\right)\\ & h^2+L^2=(8\sqrt{2}{)}^2\\ & h^2+L^2=128\\ & h^2=128-L^2\\ & h=\sqrt{128-L^2}\dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & A=L\cdot \sqrt{128-L^2}\\ & A=\sqrt{128L^2-L^4}\\ & A\text{'}=\frac{256L-4L^3}{2\sqrt{128L^2-L^4}} \left(A\text{'}=0\right)\\ & 256L-4L^3\\ & \frac{2\sqrt{128L^2-L^4}}{}=0\\ & [256L-4L^3=0](÷4)\\ & L(64-L^2)=0\\ & either L=0 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & or L^2=64\Rightarrow L=\pm 8\\ & L=-8\Rightarrow \left(\mathrm{تهمل}\right)\Rightarrow L=8 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2L=2\left(8\right)=16\mathrm{cm} \left(\mathrm{المثلث} \mathrm{ضلع} \mathrm{طول}\right)\\ & h=\sqrt{128-64}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm} \left(\mathrm{الارتفاع}\right)\\ & A=Lh=\left(8\right)8=64{\mathrm{cm}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته $16{\mathrm{cm}}^2$.

الفرضية:

• نفرض طول المستطيل = $x$
• نفرض عرض المستطيل = $y$
• نفرض مساحة المستطيل = $A$
• نفرض محيط المستطيل = $P$

الدالة: هي محيط المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها) محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).

العلاقة: مساحة المستطيل.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& P=2(x+y)\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & A=xy\Rightarrow 16=xy\Rightarrow y=\frac{16}{x}\dots \dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & P=2(x+\frac{16}{x})\\ & P=2(x+16x^{-1})\\ & P=2x+32x^{-1}\\ & P^{\mathrm{\prime }}=2-32x^{-2}(p^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & [2-32x^{-2}=0](÷2)\\ & 1-16x^{-2}=0\Rightarrow 1-\frac{16}{x^2}=0\Rightarrow \frac{16}{x^2}=1\Rightarrow x^2=16\\ & x=\pm 4\Rightarrow x=-4 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & x=4 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=\frac{16}{4}=4\\ & P=2(4+4)=16\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها $3cm$.

الفرضية:

• نفرض نصف قطر المخروط = $r$
• نفرض ارتفاع المخروط = $h$
• نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية $ABC$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & r^2+(h-3{)}^2=(3{)}^2\\ & r^2+h^2-6h+9=9\\ & r^2=6h-h^2\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (6h-h^2)h=\frac{\pi }{3}(6h^2-h^3)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& V^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{3}(12h-3h^2)(V^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & [\frac{\pi }{3}(12h-3h^2)=0](\times 3)\\ & 12h\pi -3h^2\pi =0(÷3\pi )\\ & 4h-h^2=0\Rightarrow h(4-h)=0\\ & either h=0 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & or 4-h=0\Rightarrow h=4 \left(\mathrm{الارتفاع}\right) \left(\left(2\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & r^2=6\left(4\right)-(4{)}^2=24-16=8\end{array} \\ \begin{array}{rl}& r=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \left(\mathrm{القطر} \mathrm{نصف}\right)\\ & V=\frac{1}{3}\pi \left(8\right)\left(4\right)=\frac{32}{3}\pi {\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة $B(6,8)$ والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

الفرضية:

• نقرض النقطة $\left(x,0\right)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.
• نفرض النقطة $\left(0,y\right)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.
• نفرض أبعاد المثلث = $x,y$
• نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث.

العلاقة: قانون الميل (ميل $\overline{AC}$ = میل $\overline{BC}$)

النقطة $B(6,8)$ تنتمي للمستقيم $\overline{AC}$

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}x\cdot y \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Rightarrow (\frac{y-8}{0-6}=\frac{8-0}{6-x}) \left(\mathrm{وسطين} \mathrm{في} \mathrm{طرفين}\right) \\ \begin{array}{rl}& (y-8)(6-x)=-48\Rightarrow 6y-xy-48+8x=-48\\ & 6y-xy+8x=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y(6-x)=-8x\Rightarrow y=\frac{-8x}{6-x}\dots \dots \dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & A=\frac{1}{2}x\cdot y=\frac{1}{2}x\frac{-8x}{6-x}=\frac{-4x^2}{6-x}\dots \cdots \cdots \left(3\right) \left(\mathrm{نشتق}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& A^{\mathrm{\prime }}=\frac{(6-x)(-8x)-(-4x^2)(-1)}{(6-x{)}^2}=\frac{-48x+8x^2-4x^2}{(6-x{)}^2}\\ & A^{\mathrm{\prime }}=\frac{-48x+4x^2}{(6-x{)}^2}(A^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & \frac{4x^2-48x}{(6-x{)}^2}=0\Rightarrow [4x^2-48x=0](÷4)\\ & x^2-12x=0\Rightarrow x(x-12)=0\\ & \text{either }x=0 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & \text{or}x-12=0\Rightarrow x=12\\ & y=\frac{-8\left(12\right)}{6-12}=\frac{-8\left(12\right)}{-6}=16\end{array} \end{gathered}$$

• $(12,0)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.
• $(0,16)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.

$\begin{array}{rl}& m\overline{BC}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-0}{6-12}=\frac{8}{-6}=\frac{-4}{3}\\ & (y-y_1)=m(x-x_1)\\ & (y-8)=\frac{-4}{3}(x-6)\stackrel{\times 3}{\Rightarrow }3y-24=-4(x-6)\\ & 3y-24=-4x+24\\ & 4x+3y-48=0\end{array}$

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة $f\left(x\right)=12-x^2$ ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

الفرضية:

• نفرض طول المستطيل = $2x$
• نفرض عرض المستطيل = $y$
• نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل.

مساحة المستطيل = الطول × العرض.

العلاقة: المعادلة $y=12-x^2$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& A=2x.y\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & y=12-x^2\dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & A=2x(12-x^2)\\ & A=24x-2x^3\\ & A^{\mathrm{\prime }}=24-6x^2 \left(A^{\mathrm{\prime }}=0\right)\\ & 24-6x^2=0\Rightarrow 6x^2=0)\\ & x=\mp 2\Rightarrow x=-2 \left(\mathrm{تهمل}\right) , x=2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2x=4\mathrm{cm} \left(\mathrm{الطول}\right)\\ & y=12-x^2\Rightarrow y=12-(2{)}^2=12-4=8\\ & P=2(2x+y)\\ & P=4x+2y=4\left(2\right)+2\left(8\right)=8+16=24\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $\left(8\mathrm{cm}\right)$ وطول قطر قاعدته $\left(12\mathrm{cm}\right)$.

الفرضية:

• نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
• نفرض نصف قطر قاعدتها = $r$
• نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع.

العلاقة: تشابه المثلثان $\left(ADE , ABC\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=r^2\pi h\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \frac{8}{8-h}=\frac{6}{r}\\ & 8r=6(8-h)\\ & 8r=48-6h(÷2)\\ & 4r=24-3h\\ & 3h=24-4r\\ & h=\frac{24-4r}{3}\dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & V=r^2\pi h=r^2\pi \left(\frac{24-4r}{3}\right)\\ & V=\frac{\pi }{3}(24r^2-4r^3)\\ & V^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{3}(48r-12r^2)(V^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & \frac{\pi }{3}(48r-12r^2)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& [16\pi r-4\pi r^2=0](÷4\pi )\\ & 4r-r^2=0\\ & r(4-r)=0\\ & \text{either}r=0 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \text{or}4-r=0\Rightarrow r=4cm\\ & h=\frac{24-4\left(4\right)}{3}=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}\end{array} \end{gathered}$$

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره $6\sqrt{3}\mathrm{cm}$ دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

الفرضية:

• نفرض ارتفاع المخروط = $h$
• نفرض نصف قطر قاعدته = $r$
• نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h .....\left(1\right)\\ & h^2+r^2=(6\sqrt{3}{)}^2\\ & r^2=108-h^2\dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{نعوض}\right)\\ & V=\frac{1}{3}(108-h^2)\pi h\\ & V=\frac{\pi }{3}(108h-h^3)\\ & V^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{3}(108-3h^2) (V^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & 36\pi -h^2\pi =0\stackrel{\bullet \pi }{\Rightarrow }36-h^2=0\Rightarrow h^2=36\Rightarrow h=\pm 6\\ & \text{either }h=-6 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \text{or }h=6 \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& r^2=108-6^2=108-36=72\\ & r=\sqrt{72}cm\\ & V=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h=\frac{\pi }{3}\left(72\right)\left(6\right)=\frac{72\times 6\pi }{3}=144\pi {\mathrm{cm}}^3 \left(\mathrm{للمخروط} \mathrm{حجم} \mathrm{أكبر}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها $\left(125\pi \right){\mathrm{cm}}^3$ جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

الفرضية:

• نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
• نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
• نفرض المساحة الكلية بدون غطاء = $A$
• نفرض حجم الاسطوانة = $v$

الدالة: قانون المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة قاعدة واحدة.

العلاقة: قانون حجم الاسطوانة الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& A=2r\pi h+r^2\pi \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & v=r^2\pi h\Rightarrow 125\pi =r^2\pi h\\ & h=\frac{125}{r^2} .....\left(2\right)\\ & A=2r\pi h+r^2\pi \\ & A=2r\pi \left(\frac{125}{r^2}\right)+r^2\pi \\ & A=250\pi r^{-1}+r^2\pi \\ & A^{\mathrm{\prime }}=-250\pi r^{-2}+2r\pi (A^{\mathrm{\prime }}=0)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{-250\pi }{r^2}+2r\pi =0\stackrel{(÷2\pi )}{⟹}\frac{-125}{r^2}+r=0\Rightarrow \frac{125}{r^2}=r\\ & r^3=125\Rightarrow r=5\mathrm{cm} \left(\left(2\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & h=\frac{125}{25}=5\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

(12)- خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فإذا كانت مساحة المعدن المستخدم في صناعته $108m^2$ جد أبعاد الخزان لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن الخزان ذو غطاء كامل.

الفرضية:

• نفرض عرض القاعدة = x
• نفرض طول القاعدة (ضعف عرضها) = 2x
• نفرض الارتفاع = y
• نفرض حجم الخزان = V

الدالة: حجم الخزان.

العلاقة: مساحة المعدن = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& V=\left(2x\right)\left(x\right)\left(y\right)=2x^{2}y\dots \dots \dots .\left(1\right)\\ & 108=\underset{\text{القاعدة محيط}}{\underbrace{2(2x+x)}}y+2\left(2x\right)\left(x\right)\\ & 108=2\left(3x\right)y+4x^2(÷2)\\ & 54=3xy+2x^2\\ & 3xy=54-2x^2\\ & y=\frac{54-2x^2}{3x} .....\left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \left(2\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& V=2x^2\frac{54-2x^2}{3x}=\frac{2}{3}(54x-2x^3)\\ & V^{\mathrm{\prime }}=\frac{2}{3}(54-6x^2)(V^{\mathrm{\prime }}=0)\\ & \frac{2}{3}(54-6x^2)=0\stackrel{\frac{3}{2}}{\Rightarrow }54-6x^2=0(÷6)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 9-x^2=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3\mathrm{m} \left(\mathrm{القاعدة} \mathrm{عرض}\right)\\ & 2\left(3\right)=6\mathrm{m} \left(\mathrm{القاعدة} \mathrm{طول}\right)\\ & y=\frac{54-2\left(9\right)}{3\left(3\right)}=\frac{36}{9}=4\mathrm{m} \left(\mathrm{الارتفاع}\right)\end{array} \end{gathered}$$