تمارين (5-3)

ارسم باستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال الآتية:

$f\left(x\right)=10-3x-x^2$

• أوسع مجال للدالة = R
• نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=10-0-0=10\dot{0}(0,10)\\ & y=0\Rightarrow 10-3x-x^2=0\\ & x^2+3x-10=0\Rightarrow (x+5)(x-2)=0\Rightarrow x=-5 , x=2\end{array}$

نقط التقاطع $(2,0),(-5,0),(0,10)$

• التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

$\begin{array}{rl}& f(-x)=10+3x-x^2\\ & f\left(x\right)=10-3x-x^2\\ & f(-x)\ne -f\left(x\right) , f(-x)\ne f\left(x\right)\end{array}$

• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=-3-2x\\ & -3-2x=0\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=\frac{-3}{2}\\ & f\left(\frac{-3}{2}\right)=10-3\left(\frac{-3}{2}\right)-\frac{9}{4}\Rightarrow 10+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{40+18-9}{4}=\frac{49}{4}\end{array}$

النقطة $(\frac{-3}{2},\frac{49}{4})$ نقطة نهاية عظمى محلية.

• متزايدة $\{\mathrm{\forall }x:x<-\frac{3}{2}\}$
• متناقصة $\{\mathrm{\forall }x:x>-\frac{3}{2}\}$

• $\therefore f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-2$ الدالة محدبة دائماً مهما تكن قيمة $x$ ولا توجد نقطة انقلاب.

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=x^2+4x+3$

• أوسع مجال للدالة = R
• نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=0-0+3=3\Rightarrow (0,3)\\ & y=0\Rightarrow 0=x^2+4x+3\Rightarrow (x+3)(x+1)=0\\ & x=-3 , x=-1\end{array}$

فإن $(-1,0),(-3,0)$

نقط التقاطع $(2,0),(-5,0),(0,10)$

• التناظر: $f(-x)\ne f\left(x\right) , f(-x)\ne -f\left(x\right)f(-x)=x^2-4x+3$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2x+4\\ & 2x+4=0\Rightarrow 2x=-4\Rightarrow x=-2\\ & f(-2)=(-2{)}^2+4(-2)+3\Rightarrow 4-8+3=-1\end{array}$

$(-2,-1)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

• متزايدة $\{\mathrm{\forall }x:x>-2\}$
• متناقصة $\{\mathrm{\forall }x:x<-2\}$

• مناطق التقعر والتحدب.

الدالة مقعرة ولا توجد نقطة انقلاب $\therefore f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=(1-x{)}^3+1$

• أوسع مجال للدالة = R
• نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=(1-0{)}^3+1=2\therefore (0,2)\\ & y=0\Rightarrow (1-x{)}^3+1=0\Rightarrow (1-x{)}^3=-1\Rightarrow 1-x=-1\Rightarrow x=2\therefore (2,0)\end{array}$

• التناظر: $f(-x)=(1-(-x){)}^3+1=(1+x{)}^3+1$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل $f(-x)\ne -f\left(x\right) , f(-x)\ne f\left(x\right)$

• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3(1-x{)}^2\cdot (-1)=-3(1-x{)}^2\left(f\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & -3(1-x{)}^2=0\stackrel{÷-3}{⟹}(1-x{)}^2=0\stackrel{\mathrm{الطرفين} \mathrm{نجذر}}{=}1-x=0\Rightarrow x=1\\ & f\left(x\right)=(1-x{)}^3+1\Rightarrow f(1)=(1-1{)}^3+1\Rightarrow y=0+1=1\end{array}$

$(1,1)$ نقطة حرجة $f\left(x\right)=(1-x{)}^3+1\Rightarrow f(1)=(1-1{)}^3+1\Rightarrow y=0+1=1$

$f\left(x\right)$ متناقصة $\{\mathrm{\forall }x:x<1\},\{\mathrm{\forall }x:x>1\}$

• $$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6(1-x)\cdot (-1)\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6(1-x) \left(f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right) \\ \begin{array}{rl}& 6(1-x)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow x=1\\ & f\left(1\right)=(1-1{)}^3+1=1\end{array} \end{gathered}$$

نقطة انقلاب مرشحة $\left(1,1\right)$

• مقعرة $\{\mathrm{\forall }x:x<1\}$
• محدبة $\{\mathrm{\forall }x:x>1\}$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=6x-x^3$

• أوسع مجال للدالة = R
• نقاط التقاطع مع المحورين:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=0-0=0 \left(0,0\right)\\ & y=0\Rightarrow 6x-x^3=0\Rightarrow x(6-x^2)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \left(\mathrm{إما}\right) x=0\\ & \left(\mathrm{أو}\right) 6-x^2\Rightarrow x^2=6\Rightarrow x=\pm \sqrt{6}\end{array} \end{gathered}$$

نقط التقاطع $(0,0),(\sqrt{6},0),(-\sqrt{6},0)$

• التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

$$\begin{gathered} f(-x)=6(-x)-(-x{)}^3\Rightarrow f(-x)=-6x+x^3\Rightarrow f(-x)=-(6x-x^3) \\ f(-x)=-f(x) , f(-x)\ne f(x) \end{gathered}$$

الدالة متناظرة حول نقطة الأصل ولا يوجد تناظر حول محور الصادات.

• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{cc}f\text{'}\left(x\right)=6-3x^2& (f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ 6-3x^2=0\Rightarrow & -3x^2=-6\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

• نقطة نهاية عظمى $f\left(\sqrt{2}\right)=6\sqrt{2}-(\sqrt{2}{)}^3\Rightarrow y=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}(\sqrt{2},4\sqrt{2})$
• نقطة نهاية صغرى $f(-\sqrt{2})=6(-\sqrt{2})-(-\sqrt{2}{)}^3\Rightarrow -6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=-4\sqrt{2}(-\sqrt{2},-4\sqrt{2})$
• $f\left(x\right)$ متزايدة في $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
• $f\left(x\right)$ متناقصة في $\{x:x<-\sqrt{2}\},\{x:x>\sqrt{2}\}$

• $$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6x\left(f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right) \\ -6x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0 \end{gathered}$$

$\left(0,0\right)$ نقطة انقلاب.

• $f\left(x\right)$ مقعرة $\{x:x<0\}$
• $f\left(x\right)$ محدبة $\{x:x>0\}$

الرسم البياني:

ملاحظة: التحدب بقدر التقعر في الرسم لأن التناظر حول نقطة الأصل.

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}/\left\{0\right\}$
• التقاطع مع المحورين:

$x\ne 0$ لأن $\frac{1}{0}$ غير معرفة لا توجد نقاط تقاطع مع محور الصادات.

$y\ne 0$ لأن $0\ne 1$ لا توجد نقاط تقاطع مع محور السينات.

• التناظر: $f(-x)=-f\left(x\right) , f(-x)=-\left(\frac{1}{x}\right)$ التناظر مع نقطة الأصل.

• المحاذيات:

1. المستقيم المحاذي الشاقولي $x=0$
2. المستقيم المحاذي الأفقي $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow y=\frac{0}{1}\Rightarrow y=0$

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 0=\frac{-1}{x^2}\Rightarrow -1=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right)\end{array}$

توجد فجوة ولا توجد نقاط حرجة.

الدالة متناقصة بالفترتين $\{x:x\in R,x>0\},\{x:x\in R,x<0\}$

• $$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x^{-3}(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)) \\ 0=\frac{2}{x^3}\Rightarrow 0=2 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right) \end{gathered}$$

لا توجد نقاط انقلاب.

• محدبة $\{\mathrm{\forall }x:x<0\}$
• مقعرة $\{\mathrm{\forall }x:x>0\}$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}/\{-1\}$
• التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=\frac{0-1}{0+1}\Rightarrow y=-1,(0,-1)\\ & y=0\Rightarrow 0=\frac{x-1}{x+1}\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\end{array}$

• التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$$\begin{gathered} f(-x)=\frac{-x-1}{-x+1} \\ f(-x)\ne -f\left(x\right) , f(-x)\ne f\left(x\right) \end{gathered}$$

• المحاذيات:

1. المحاذي الشاقولي $x+1=0\Rightarrow x=-1$
2. المحاذي الأفقي $y=\frac{1}{1}\Rightarrow y=1$

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 0=\frac{-1}{x^2}\Rightarrow -1=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right)\end{array}$

لا توجد نقاط حرجة.

تزايد $\{\mathrm{\forall }x:-1<x<-1\}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2(x+1{)}^{-2}\Rightarrow f\text{'}\text{'}(x)=-4(x+1{)}^{-3} \\ 0\ne \frac{-4}{(x+1{)}^3} \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right) \end{gathered}$$

• $f$ محدبة في $\{x:x>-1\}$
• $f$ مقعرة في $\{x:x<-1\}$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=(x+2)(x-1{)}^2$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}$
• التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=(0+2)(0-1{)}^2=2(1)\Rightarrow y=2(0,2)\\ & y=0\Rightarrow 0=(x+2)(x-1{)}^2\\ & \text{either }x+2=0\Rightarrow x=-2\\ & \text{or}(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1(1,0),(-2,0)\end{array}$

• التناظر: $f(-x)=(-x+2)(-x-1{)}^2$ لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=(x+2)\cdot 2(x-1)+(x-1{)}^2\cdot 1(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & \begin{array}{rl}& (x+2)(2x-2)+(x^2-2x+1)=0\\ & 2x^2-2x+4x-4+x^2-2x+1=0\Rightarrow 2x^2+2x-4+x^2-2x+1=0\\ & 3x^2-3=0\\ & 3(x^2-1)=0\stackrel{÷3}{\Rightarrow }{x}^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\end{array}\end{array}$

• $\left(1,0\right)$ نقطة حرجة وتمثل نهاية صغرى.
• $\left(-1,4\right)$ نقطة حرجة وتمثل نهاية عظمى.

$\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=(1+2)(1-1{)}^2=0\Rightarrow y=0\\ & f(-1)=(-1+2)(-1-1{)}^2=4\Rightarrow y=4\end{array}$

• $f\left(x\right)$ متزايدة في $\{x:x>1\},\{x:x<-1\}$
• $f\left(x\right)$ متناقصة في الفترة المفتوحة $(-1,1)$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3(x^2-1) \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=3\left(2x\right)(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x=0\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=(0+2)(0-1{)}^2\therefore y=2\end{array} \end{gathered}$$

$\left(0,2\right)$ نقطة انقلاب.

• $f\left(x\right)$ محدبة في $\{x:x<0\}$
• $f\left(x\right)$ مقعرة في $\{x:x>0\}$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}$ لأن $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\notin \mathrm{R}$
• التقاطع مع المحورين:

$$\begin{gathered} 0=\frac{x^2-1}{x^2+1} \\ \begin{array}{rl}& x^2-1=0,x^2=1\Rightarrow x=\pm 1,(-1,0),(1,0)\\ & x=0\Rightarrow y=-1,(0,-1)\end{array} \end{gathered}$$

• التناظر: $f(-x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f\left(x\right)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f(-x)=f\left(x\right)$
• المحاذيات:

لا يوجد مستقيم شاقولي $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$

المحاذي الأفقي $y=\frac{1}{1}=1$

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^2+1)\cdot 2x-(x^2-1)\cdot 2x}{{(x^2+1)}^2}=\frac{4x}{{(x^2+1)}^2}(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & \frac{4x}{{(x^2+1)}^2}=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=-1\end{array}$

نقطة نهاية صغرى $\left(0,-1\right)$

• $f\left(x\right)$ متزايدة في $\{x:x>0\}$
• $f\left(x\right)$ متناقصة في $\{x:x<0\}$

• $$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{{(x^2+1)}^2\cdot 4-4x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{{(x^2+1)}^4} \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{4{(x^2+1)}^2-16x^2(x^2+1)}{{(x^2+1)}^4}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^2+1)[4(x^2+1)-16x^2]}{{(x^2+1)}^4}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{4x^2+4-16x^2}{{(x^2+1)}^3}(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & \frac{4-12x^2}{{(x^2+1)}^3}=0\\ & 4-12x^2=0\Rightarrow 12x^2=4\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& x=+\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow y=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{\frac{-2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}\Rightarrow (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{2}) \\ & x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow (\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{2}) \left(\mathrm{المرشحة} \mathrm{الانقلاب} \mathrm{نقطة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

$f\left(x\right)$ محدبة في $\{x:x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\},\{x:x>\frac{1}{\sqrt{3}}\}$

$f\left(x\right)$ مقعرة في $(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=2x^2-x^4$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}$
• التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=0-0=0 , (0,0)\\ & y=0\Rightarrow 2x^2-x^4=0\\ & 2x^2=x^4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2} , (\mp \sqrt{2},0)\end{array}$

• التناظر: $f(-x)=2x^2-x^4=f\left(x\right)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f(-x)=f\left(x\right)$
• المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.
• مناطق التزايد والتناقص.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=4x-4x^3(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 4x-4x^3=0\Rightarrow x-x^3=0\Rightarrow x(1-x^2)=0\\ & \text{either }x=0\\ & \text{or}(1-x^2)=0\Rightarrow x=\pm 1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\left(1\right)=2-1=1\Rightarrow y=1\\ & f(-1)=2-1=1\Rightarrow y=1\\ & f\left(0\right)=0-0=1\Rightarrow y=0\end{array} \end{gathered}$$

• $\left(1,1\right)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
• $\left(-1,1\right)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
• $\left(0,0\right)$ نقطة نهاية صغرى.
• $f\left(x\right)$ متزايدة في $\{x:x<-1\}$ والفترة $(0,1)$
• $f\left(x\right)$ متناقصة في $\{x:x>1\}$ والفترة $(-1,0)$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4-12x^2(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 4-12x^2=0\Rightarrow -12x^2=-4\\ & x^2=\frac{4}{12}\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^4=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{0}{9},(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{0}{9})\\ & f\left(\frac{-1}{\sqrt{n}}\right)=2{\left(\frac{-1}{\sqrt{n}}\right)}^2-{\left(\frac{-1}{\sqrt{n}}\right)}^4=\frac{2}{2}-\frac{1}{0}=\frac{5}{0},(\frac{-1}{\sqrt{n}},\frac{5}{0})\end{array}$

النقط $(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{5}{9}),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{5}{9})$ نقط انقلاب مرشحة.

$f\left(x\right)$ مقعرة في $(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

$f\left(x\right)$ محدبة في $\{x:x<\frac{-1}{\sqrt{3}}\},\{x:x>\frac{1}{\sqrt{3}}\}$

الرسم البياني:

$f\left(x\right)=\frac{6}{x^2+3}$

• أوسع مجال للدالة = $\mathrm{R}$ لأن ${\mathrm{x}}^2+3=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=-3\notin \mathrm{R}$
• نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow f\left(0\right)=\frac{6}{0+3}=2\\ & \frac{6}{3}=0\Rightarrow 0\ne 6\end{array}$

• التناظر: $f(-x)=\frac{6}{x^2+3}=f\left(x\right)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f(-x)=f\left(x\right)$
• المحاذيات:

لا يوجد مستقيم شاقولي $x^2+3\ne 0$

المحاذي الأفقي $y=\frac{0}{1}\Rightarrow y=0$

• مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=\frac{(x^2+3)0-\left(6\right)\left(2x\right)}{{(x^2+3)}^2}=\frac{-12x}{{(x^2+3)}^2}(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & \frac{-12x}{{(x^2+3)}^2}=0\Rightarrow -12x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow f\left(0\right)=2\Rightarrow y=2\end{array}$

النقطة $(0,2)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

• $f\left(x\right)$ متزايدة بالفترة $\{x:x\in R,x<0\}$
• $f\left(x\right)$ متناقصة بالفترة $\{x:x\in R,x>0\}$

• $$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{{(x^2+3)}^2(-12)-[-(12x\left)2(x^2+3)\right(2x\left)\right]}{{(x^2+3)}^4} \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-12{(x^2+3)}^2+48x^2(x^2+3)}{{(x^2+3)}^4}=\frac{(x^2+3)[-12(x^2+3)+48x^2]}{{(x^2+3)}^4}\end{array} \\ \begin{array}{ll}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{36x^2-36}{{(x^2+3)}^3}=0(f\text{'}\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 36x^2-36=0\stackrel{÷36}{⟹}{x}^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\\ & x=1\Rightarrow f\left(1\right)=y=\frac{6}{(1{)}^2+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\ & x=-1\Rightarrow f(-1)=y=\frac{6}{(-1{)}^2+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\end{array} \end{gathered}$$

النقاط $(-1,\frac{3}{2}),(1,\frac{3}{2})$ نقاط انقلاب.

• $f\left(x\right)$ مقعرة في $\{x:x<-1\},\{x:x>1\}$
• $f\left(x\right)$ محدبة في الفترة $(-1,1)$

الرسم البياني: