حلول الأسئلة

السؤال

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

الحل

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 (0, 0) (النقطة)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = (0)^{5} = 0 (0, 0) (النقطة)$

التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = - f (x) f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$y' = 5 x^{4} \Rightarrow 5 x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في ${x : x > 0}, {x : x < 0}$

$(0, 0)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

الشكل

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y'' = 20 x^{3} \Rightarrow 20 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = (0)^{5} = 0, x = 0 \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $(0, 0)$

الدالة محدبة في ${x : x < 0}$
الدالة مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(1, 1)$	1	1
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, 32)$	2	32

الشكل

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

رسم المخطط البياني للدالة

لرسم المخطط البياني لأي دالة معطاة نتبع الخطوات التالية والتي تمثل النقط الأساسية للرسم:

أوسع مجال للدالة.
نقط التقاطع مع المحورين.
التناظر.
المحاذيات.
دراسة $f' (x)$ وما ينتج عنها.
دراسة $f'' (x)$ وما ينتج عنها.
تحديد النقط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها.

1. أوسع مجال للدالة.

كثيرات الحدود: أوسع مجال لها = $R$
الدوال الكسرية: القيم التي تجعل المقام = صفر / $R / صفر$
الدوال الجذرية: $الجذر داخل التي القيمة \geq 0$

2. نقط التقاطع مع المحورين: وهي على نوعين:

التقاطع مع المحور الصادي: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(y)$ نجعل $(x = 0)$ لإيجاد قيم $y$
التقاطع مع المحور السيني: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(x)$ نجعل $(y = 0)$ لإيجاد قيم $x$

مثال توضيحي:

جد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - 4 x \\ x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x (x - 2) (x + 2) = 0 \end{aligned}$

نقط التقاطع $(2, 0), (- 2, 0), (0, 0)$

3. التناظر: هو على نوعين:

يكون المنحني متناظر مع المحور الصادي إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها زوجية أي أن $f (- x) = f (x)$
يكون المنحني متناظر حول نقطة الأصل إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها فردية أي أن $f (- x) = - f (x)$

مثال توضيحي:

$1) f (x) = x^{4} - x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow f (- x) = (- x)^{4} - (- x)^{2} - \frac{1}{(- x)^{2}} f (- x) = x^{4} - x^{2} - \frac{1}{x^{2}} (f (x) = f (- x)) 2) f (x) = x^{3} - 2 x \Rightarrow f (- x) = (- x)^{3} - 2 (- x) = - x^{3} + 2 x = - [x^{3} - 2 x] (f (- x) = - f (x))$

4. المحاذيات: دراستنا للمحاذيات تقتصر على الدوال الكسرية فقط:

المحاذي الأفقي الموازي لمحور السينات: تكون معادلته $y = عدد$ هذا العدد هو حاصل قسمة معامل الحد الأكبر درجة من البسط على معامل الحد الأكبر درجة من المقام بشرط تساوي الدرجتين.
المحاذي الشاقولي (العمودي) الموازي لمحور الصادات: نجعل الدالة بدلالة المتغير $x$ أي نجعل $y = \frac{g (x)}{h (x)}$ ثم نجعل $h (x) = 0$ ونجد قيم $(x)$ فهي تمثل معادلة المستقيم الشاقولي.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$\begin{aligned} x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) \\ y = \frac{3 x - 4}{x + 2} \Rightarrow y = \frac{3}{1} \Rightarrow y = 3 (الأفقي المحاذي) \end{aligned}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) y = \frac{0 x^{2} + x + 3}{x^{2} - 4} (الدرجتين نساوي) \Rightarrow y = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل} = \frac{0}{1} \Rightarrow y = 0 (الأفقي المحاذي)$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5} = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{0 x^{2} + x - 5} (الدرجتين نساوي) \Rightarrow y = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل} = \frac{1}{0} \Rightarrow y = (معرف غير) (الأفقي المحاذي)$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$f (x) = y = 0 \Rightarrow {(x^{2} - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 (1, 0), (- 1, 0) (التقاطع نقاط)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = {((0)^{2} - 1)}^{2} = (- 1)^{2} = 1 (0, 1) (التقاطع نقاط)$

التناظر: الدالة متناظرة مع المحور الصادي لأنه $f (- x) = f (x)$

$f (- x) = {((- x)^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2}$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} y' = 2 (x^{2} - 1) \cdot 2 x = 4 x^{3} - 4 x \\ y = 0 \Rightarrow [4 x^{3} - 4 x = 0] \div 4 \\ x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ either x = 0 \\ or x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 (مرشحة حرجة نقطة) \end{aligned} \begin{aligned} x = \pm 1 \Rightarrow y = {[(\pm 1)^{2} - 1]}^{2} = 0 (محلية صغرى نهاية نقطة) (- 1, 0), (1, 0) \\ x = 0 \Rightarrow y = {[(0)^{2} - 1]}^{2} = 1 (محلية عظمى نهاية نقطة) (0, 1) \end{aligned}$

مناطق التناقص $(0, 1), {x : x < - 1}$
مناطق التزايد $(- 1, 0), {x : x > 1}$

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y^{''} = 12 x^{2} - 4 \\ 12 x^{2} - 4 = 0] \div 4 \\ 3 x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ y = {[{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} - 1]}^{2} \Rightarrow y = {[\frac{1}{3} - 1]}^{2} = {(\frac{- 2}{3})}^{2} = \frac{4}{9} \end{aligned} \begin{aligned} \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $∴ (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$
مناطق التحدب $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$
مناطق التقعر ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(1, 0)$	0	1
$(- 1, 0)$	0	1-
$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$

الشكل

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 (0, 0) (النقطة)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = (0)^{5} = 0 (0, 0) (النقطة)$

التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = - f (x) f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$y' = 5 x^{4} \Rightarrow 5 x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في ${x : x > 0}, {x : x < 0}$

$(0, 0)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

الشكل

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y'' = 20 x^{3} \Rightarrow 20 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = (0)^{5} = 0, x = 0 \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $(0, 0)$

الدالة محدبة في ${x : x < 0}$
الدالة مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(1, 1)$	1	1
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, 32)$	2	32

الشكل

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

أوسع مجال للدالة = $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, R / {- 1}$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$0 = \frac{3 x - 1}{x + 1} \Rightarrow 3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow (\frac{1}{3}, 0)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$f (0) = \frac{3 (0) - 1}{0 + 1} \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow (0, - 1)$

التناظر: العدد $(1)$ ينتمي إلى مجال الدالة $(- 1)$ لا ينتمي إلى الدالة لذلك فالمنحني غير متناظر مع محور الصادات وغير متناظر مع نقطة الأصل.
المحاذيات:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) y = \frac{3}{1} \Rightarrow y = 3 (الأفقي المحاذي)$

$f' (x) = \frac{(x + 1) (3) - (3 x - 1) (1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3 x + 3 - 3 x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{4}{(x + 1)^{2}}, f^{'} (x) = 0 4 = 0 (ممكن غير) \forall x \in R / {- 1}, f' (x) > 0$

الدالة متزايدة في ${x : x < - 1}, {x : x > - 1}$ ولا توجد نقاط حرجة.

$f' (x) = 4 (x + 1)^{- 2} f'' (x) = - 8 (x + 1)^{- 3} = \frac{- 8}{(x + 1)^{3}}, f'' (x) = 0 - 8 = 0 (ممكن غير)$

الدالة مقعرة في ${x : x < - 1}$
الدالة محدبة في ${x : x > - 1}$

الشكل

الدالة لا تملك نقطة انقلاب لأن $(- 1)$ لا ينتمي إلى مجال الدالة.

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, - 1)$	1-	0
$(\frac{1}{3}, 0)$	0	$\frac{1}{3}$
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, \frac{5}{3})$	$\frac{5}{3}$	2
$(- 2, 7)$	7	2-
$(1, 1)$	1	1

الشكل

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السينات:

$(0, 0), y = 0 \Rightarrow x = 0$ مع محور السينات.

2. المحور الصادات:

$(0, 0), x = 0 \Rightarrow y = 0$ مع محور الصادات.

التناظر مع الصادي: $\forall x \in R, \exists - x \in R$

$f (- x) = \frac{(- x)^{2}}{(- x)^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

$f (- x) = f (x)$ متناظرة مع المحور الصادي لأنها زوجية.

المحاذيات:

$الأفقي المحاذي = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل}$ $y = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow y = 1$

لا يوجد محاذي عمودي $x^{2} + 1 \neq 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f' (x) = \frac{(2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \begin{aligned} 0 = \frac{(2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \\ 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 \end{aligned}$

$(0, 0)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

تزايد ${\forall x : x > 0}$
تناقص ${\forall x : x < 0}$

الشكل

$\begin{aligned} f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2) - 2 x (2) (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} - 8 x^{2} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) [2 (x^{2} + 1) - 8 x^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \\ 0 = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (بالوسطين الطرفين بضرب) \end{aligned} \begin{aligned} 2 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow 6 x^{2} = 2 \Rightarrow x^{2} = \frac{2}{6} \\ x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ f (\pm \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

محدبة في ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

مقعرة في الفترة المفتوحة $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

نقطتا الانقلاب $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4}), (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4})$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(- 1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1-
$(2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2
$(- 2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2-
$(1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1

الشكل

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow y = 4 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0 (المعادلة حل يمكن لا) \end{aligned}$

$(0, 4)$ نقطة التقاطع مع المحور الصادي.

التناظر:

$\forall x \in R \exists (- x) \in R \Rightarrow f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x)^{2} + 4 = - x^{3} - 3 x^{2} + 4 \neq f (x)$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = 3 x^{2} - 6 x (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 3 x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \\ f (0) = 4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow (0, 4) \\ f (2) = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow (2, 0) \end{aligned}$

$f$ متزايدة في كل من ${x : x < 0}, {x : x > 2}$
$f$ متناقصة في الفترة $(0, 2)$
$(0, 4)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
$(2, 0)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

الشكل

مناطق التقعر والتحدب.

$\begin{aligned} f'' (x) = 6 x - 6 (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x - 6 = 0 \Rightarrow 6 x = 6 \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (1, 2) \end{aligned}$

$f$ مقعرة في ${x : x > 1}$
$f$ محدبة في ${x : x > < 1}$

نقطة الانقلاب $(1, 2)$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 4)$	4	0
$(1, 2)$	2	1
$(2, 0)$	0	2
$(3, 4)$	4	3
$(- 1, 0)$	0	1-

الشكل

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

الحل

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 (0, 0) (النقطة)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = (0)^{5} = 0 (0, 0) (النقطة)$

التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = - f (x) f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$y' = 5 x^{4} \Rightarrow 5 x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في ${x : x > 0}, {x : x < 0}$

$(0, 0)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

الشكل

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y'' = 20 x^{3} \Rightarrow 20 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = (0)^{5} = 0, x = 0 \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $(0, 0)$

الدالة محدبة في ${x : x < 0}$
الدالة مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(1, 1)$	1	1
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, 32)$	2	32

الشكل

رسم المخطط البياني للدالة

لرسم المخطط البياني لأي دالة معطاة نتبع الخطوات التالية والتي تمثل النقط الأساسية للرسم:

أوسع مجال للدالة.
نقط التقاطع مع المحورين.
التناظر.
المحاذيات.
دراسة $f' (x)$ وما ينتج عنها.
دراسة $f'' (x)$ وما ينتج عنها.
تحديد النقط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها.

1. أوسع مجال للدالة.

كثيرات الحدود: أوسع مجال لها = $R$
الدوال الكسرية: القيم التي تجعل المقام = صفر / $R / صفر$
الدوال الجذرية: $الجذر داخل التي القيمة \geq 0$

2. نقط التقاطع مع المحورين: وهي على نوعين:

التقاطع مع المحور الصادي: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(y)$ نجعل $(x = 0)$ لإيجاد قيم $y$
التقاطع مع المحور السيني: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(x)$ نجعل $(y = 0)$ لإيجاد قيم $x$

مثال توضيحي:

جد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - 4 x \\ x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x (x - 2) (x + 2) = 0 \end{aligned}$

نقط التقاطع $(2, 0), (- 2, 0), (0, 0)$

3. التناظر: هو على نوعين:

يكون المنحني متناظر مع المحور الصادي إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها زوجية أي أن $f (- x) = f (x)$
يكون المنحني متناظر حول نقطة الأصل إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها فردية أي أن $f (- x) = - f (x)$

مثال توضيحي:

4. المحاذيات: دراستنا للمحاذيات تقتصر على الدوال الكسرية فقط:

المحاذي الأفقي الموازي لمحور السينات: تكون معادلته $y = عدد$ هذا العدد هو حاصل قسمة معامل الحد الأكبر درجة من البسط على معامل الحد الأكبر درجة من المقام بشرط تساوي الدرجتين.
المحاذي الشاقولي (العمودي) الموازي لمحور الصادات: نجعل الدالة بدلالة المتغير $x$ أي نجعل $y = \frac{g (x)}{h (x)}$ ثم نجعل $h (x) = 0$ ونجد قيم $(x)$ فهي تمثل معادلة المستقيم الشاقولي.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$f (x) = y = 0 \Rightarrow {(x^{2} - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 (1, 0), (- 1, 0) (التقاطع نقاط)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = {((0)^{2} - 1)}^{2} = (- 1)^{2} = 1 (0, 1) (التقاطع نقاط)$

التناظر: الدالة متناظرة مع المحور الصادي لأنه $f (- x) = f (x)$

$f (- x) = {((- x)^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2}$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات.
مناطق التزايد والتناقص.

مناطق التناقص $(0, 1), {x : x < - 1}$
مناطق التزايد $(- 1, 0), {x : x > 1}$

مناطق التحدب والتقعر.

مناطق الانقلاب $∴ (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$
مناطق التحدب $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$
مناطق التقعر ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(1, 0)$	0	1
$(- 1, 0)$	0	1-
$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$

الشكل

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 (0, 0) (النقطة)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = (0)^{5} = 0 (0, 0) (النقطة)$

التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = - f (x) f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$y' = 5 x^{4} \Rightarrow 5 x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في ${x : x > 0}, {x : x < 0}$

$(0, 0)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

الشكل

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y'' = 20 x^{3} \Rightarrow 20 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = (0)^{5} = 0, x = 0 \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $(0, 0)$

الدالة محدبة في ${x : x < 0}$
الدالة مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(1, 1)$	1	1
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, 32)$	2	32

الشكل

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

أوسع مجال للدالة = $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, R / {- 1}$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$0 = \frac{3 x - 1}{x + 1} \Rightarrow 3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow (\frac{1}{3}, 0)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$f (0) = \frac{3 (0) - 1}{0 + 1} \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow (0, - 1)$

التناظر: العدد $(1)$ ينتمي إلى مجال الدالة $(- 1)$ لا ينتمي إلى الدالة لذلك فالمنحني غير متناظر مع محور الصادات وغير متناظر مع نقطة الأصل.
المحاذيات:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) y = \frac{3}{1} \Rightarrow y = 3 (الأفقي المحاذي)$

$f' (x) = \frac{(x + 1) (3) - (3 x - 1) (1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3 x + 3 - 3 x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{4}{(x + 1)^{2}}, f^{'} (x) = 0 4 = 0 (ممكن غير) \forall x \in R / {- 1}, f' (x) > 0$

الدالة متزايدة في ${x : x < - 1}, {x : x > - 1}$ ولا توجد نقاط حرجة.

$f' (x) = 4 (x + 1)^{- 2} f'' (x) = - 8 (x + 1)^{- 3} = \frac{- 8}{(x + 1)^{3}}, f'' (x) = 0 - 8 = 0 (ممكن غير)$

الدالة مقعرة في ${x : x < - 1}$
الدالة محدبة في ${x : x > - 1}$

الشكل

الدالة لا تملك نقطة انقلاب لأن $(- 1)$ لا ينتمي إلى مجال الدالة.

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, - 1)$	1-	0
$(\frac{1}{3}, 0)$	0	$\frac{1}{3}$
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, \frac{5}{3})$	$\frac{5}{3}$	2
$(- 2, 7)$	7	2-
$(1, 1)$	1	1

الشكل

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السينات:

$(0, 0), y = 0 \Rightarrow x = 0$ مع محور السينات.

2. المحور الصادات:

$(0, 0), x = 0 \Rightarrow y = 0$ مع محور الصادات.

التناظر مع الصادي: $\forall x \in R, \exists - x \in R$

$f (- x) = \frac{(- x)^{2}}{(- x)^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

$f (- x) = f (x)$ متناظرة مع المحور الصادي لأنها زوجية.

المحاذيات:

$الأفقي المحاذي = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل}$ $y = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow y = 1$

لا يوجد محاذي عمودي $x^{2} + 1 \neq 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$(0, 0)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

تزايد ${\forall x : x > 0}$
تناقص ${\forall x : x < 0}$

الشكل

$\begin{aligned} f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2) - 2 x (2) (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} - 8 x^{2} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) [2 (x^{2} + 1) - 8 x^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \\ 0 = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (بالوسطين الطرفين بضرب) \end{aligned} \begin{aligned} 2 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow 6 x^{2} = 2 \Rightarrow x^{2} = \frac{2}{6} \\ x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ f (\pm \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

محدبة في ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

مقعرة في الفترة المفتوحة $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

نقطتا الانقلاب $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4}), (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4})$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(- 1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1-
$(2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2
$(- 2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2-
$(1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1

الشكل

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow y = 4 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0 (المعادلة حل يمكن لا) \end{aligned}$

$(0, 4)$ نقطة التقاطع مع المحور الصادي.

التناظر:

$\forall x \in R \exists (- x) \in R \Rightarrow f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x)^{2} + 4 = - x^{3} - 3 x^{2} + 4 \neq f (x)$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$f$ متزايدة في كل من ${x : x < 0}, {x : x > 2}$
$f$ متناقصة في الفترة $(0, 2)$
$(0, 4)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
$(2, 0)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

الشكل

مناطق التقعر والتحدب.

$\begin{aligned} f'' (x) = 6 x - 6 (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x - 6 = 0 \Rightarrow 6 x = 6 \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (1, 2) \end{aligned}$

$f$ مقعرة في ${x : x > 1}$
$f$ محدبة في ${x : x > < 1}$

نقطة الانقلاب $(1, 2)$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 4)$	4	0
$(1, 2)$	2	1
$(2, 0)$	0	2
$(3, 4)$	4	3
$(- 1, 0)$	0	1-

الشكل

حلول الأسئلة

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل f ( x ) = x 5

مشاركة الحل

رسم المخطط البياني للدالة

f(x)=3x−4x+2

f(x)=x+3x2−4

f(x)=x2+3x+3x−5

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة f(x)=(x2−1)2

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل f(x)=x5

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة f(x)=3x−1x+1

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني y=x2x2+1

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة f(x)=x3−3x2+4

مشاركة الدرس

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل f ( x ) = x 5

رسم المخطط البياني للدالة

f(x)=3x−4x+2

f(x)=x+3x2−4

f(x)=x2+3x+3x−5

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة f(x)=(x2−1)2

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل f(x)=x5

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة f(x)=3x−1x+1

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني y=x2x2+1

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة f(x)=x3−3x2+4

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$