إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^2-(x+b{)}^2$ والنقطة $(1,-2)$ حرجة جد قيمة $a,b$ الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

$\left(1,-2\right)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& -2=a-(1+b{)}^2\\ & -2=a-(1+2b+b^2)\Rightarrow -2=a-1-2b-b^2\\ & \therefore -1=a-2b-b^2\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\left(x\right)=2ax-2(x+b)f\text{'}\left(x\right)=0\\ & 2a\left(1\right)-2(1+b)=0\Rightarrow [2a-2-2b=0]÷2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& a-1-b=0\Rightarrow a=1+b\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & \therefore -1=1+b-2b-b^2\Rightarrow b^2+b-2=0\Rightarrow (b+2)(b-1)=0\\ & \text{either }b+2=0\Rightarrow b=-2 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \text{or}b-1=0\Rightarrow b=1\Rightarrow \therefore a=1+1\Rightarrow a=2\\ & f\text{'}\left(x\right)=4x-2(x+1)\end{array} \end{gathered}$$

$\left(1,-2\right)$ نهاية صغرى محلية.

الأسئلة الوزارية حول إيجاد الثوابت

(1)- إذا كان $\left(1,6\right)$ تمثل نهاية سفرة محلية للدالة $f\left(x\right)=a{x}^2+(x-b{)}^2$ جد قيمة كل من $a,b$ الحقيقيتين الموجبتين.

$\left(1,6\right)$ تحقق معادلة الدالة والمشتقة عندها تسوي صفر.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^2+(x-b{)}^2\\ & 6=a(1{)}^2+(1-b{)}^2\\ & 6=a+1-2b+b^2\dots \dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\left(x\right)=2ax+2(x-b)\Rightarrow 2a\left(1\right)+2(1-b)=0\\ & 2a+2-2b=0]÷2\Rightarrow a+1-b=0\Rightarrow a=b-1\dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & \therefore 6=b-1+1-2b+b^2\Rightarrow b^2-b-6=0\\ & (b-3)(b+2)=0\\ & \text{either }b-3=0\Rightarrow b=3\Rightarrow a=3-1=2\\ & \text{or}b+2=0\Rightarrow b=-2 \left(\mathrm{يهمل}\right)\end{array}$

(2)- إذا كان منحني $f\left(x\right)=x^3-b{x}^2+cx$ يمر بالنقطة $(-2,-2)$ وكانت للدالة نقطة انقلاب عند $x=1$ جد قيمتي كل من $b,c\in R$ ثم جد نقطة النهاية العظمي المحلية للدالة $f$

$(-2,-2)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-b{x}^2+cx\\ & -2=(-2{)}^3-b(-2{)}^2+c(-2)⟹-2=-8-4b-2c]÷2\\ & -1=-4-2b-c\Rightarrow -2b-c=3\dots \dots \text{(1)}\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2bx+c\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-2bf\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\\ & 6\left(1\right)-2b=0\Rightarrow 2b=6\Rightarrow \therefore b=3\\ & -2\left(3\right)-c=3\Rightarrow -6-c=3\Rightarrow \therefore c=-9\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2\left(3\right)x+(-9)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x-9\\ & 3x^2-6x-9=0]÷3\Rightarrow x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)=0\\ & \text{either }x-3=0\Rightarrow x=3\\ & \text{or }x+1=0\Rightarrow x=-1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x\\ & f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)=-1-3+9=5\end{array} \end{gathered}$$

$(-1,5)$ نهاية عظمى محلية.

(3)- جد نقطة الانقلاب لمنحني الدالة $f\left(x\right)=x^3-3x-2$ ثم جد معادلة مماس المنحني عند نقطة انقلابه.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x\\ & 6x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow f\left(0\right)=-2\end{array}$

نقطة الانقلاب $(0,-2)$

ميل المماس عند نقطة انقلابه $f\text{'}\left(0\right)=3(0{)}^2-3=-3$

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y+2=-3(x-0)\\ & y+2=-3x\Rightarrow 3x+y+2=0 \left(\mathrm{المماس} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(4)- لتكن $(-1,2) ,\hspace{0.17em}f\left(x\right)=x^3+b{x}^2+cx+1$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة جد قيمتي $b,c\in \mathrm{R}$ وهل توجد نقطة انقلاب للدالة؟

$\left(-1,2\right)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3+b{x}^2+cx+1\\ & 2=-1+b-c+1\\ & b-c=2\dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2bx+cf\text{'}\left(x\right)=0\\ & 3(-1{)}^2+2b(-1)+c=0\Rightarrow 3-2b+c=0\Rightarrow -2b+c=-3\dots (2)\end{array} \\ \begin{array}{rl}b-c& =2...\left(1\right)\\ -2b+c& =-3\dots \left(2\right) \left(\mathrm{بالجمع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -b=-1\Rightarrow b=1 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 1-c=2\Rightarrow c=-1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x+2b=6x+2\Rightarrow 6x+2=0\Rightarrow 6x=-2\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\\ & f\left(x\right)=x^3+x^2-x+1\\ & f(-\frac{1}{3})={(-\frac{1}{3})}^3+{(-\frac{1}{3})}^2+\frac{1}{3}+1=\frac{38}{27}(-\frac{1}{3},\frac{38}{27}) \left(\mathrm{انقلاب} \mathrm{نقطة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(5)- إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^2-(x+b{)}^2$ والنقطة $(1,-2)$ حرجة جد قيمة $a,b$ الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

$\left(1,-2\right)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& -2=a-(1+b{)}^2\\ & -2=a-(1+2b+b^2)\Rightarrow -2=a-1-2b-b^2\\ & \therefore -1=a-2b-b^2\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\left(x\right)=2ax-2(x+b)f\text{'}\left(x\right)=0\\ & 2a\left(1\right)-2(1+b)=0\Rightarrow [2a-2-2b=0]÷2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& a-1-b=0\Rightarrow a=1+b\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & \therefore -1=1+b-2b-b^2\Rightarrow b^2+b-2=0\Rightarrow (b+2)(b-1)=0\\ & \text{either }b+2=0\Rightarrow b=-2 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \text{or}b-1=0\Rightarrow b=1\Rightarrow \therefore a=1+1\Rightarrow a=2\\ & f\text{'}\left(x\right)=4x-2(x+1)\end{array} \end{gathered}$$

$\left(1,-2\right)$ نهاية صغرى محلية.

(6)- إذا كان المستقيم $y+9x=28$ مماساً للدالة $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+1$ عند النقطة $(3,1)$ جد قيمة $b,a$

$(3,1)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+1\\ & 1=a(3{)}^3+b(3{)}^2+1\\ & 1=27a+9b+1\Rightarrow 0=27a+9b]÷9\\ & 3a+b=0\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx\Rightarrow f\text{'}\left(3\right)=3a\left(9\right)+2b\left(3\right)\Rightarrow f\text{'}\left(3\right)=27a+6b \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

$\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}=\frac{x \mathrm{معامل} -}{y \mathrm{معامل}}=\frac{-9}{1}=-9$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& [27a+6b=-9]÷3\\ & 9a+2b=-3\dots \dots \dots \dots \left(.2\right)\\ & 3a+b=0\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)]\times 2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 9a+2b=-3\dots \dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 6a+2b=0\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)]\times 2\\ & \mp 9a\mp 2b=+3\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & -3a=3\Rightarrow a=-1 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & \therefore 3(-1)+b=0\Rightarrow -3+b=0\Rightarrow b=3\end{array} \end{gathered}$$

(7)- إذا علمت أن لمنحني الدالة $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x-1}$ نقطة نهاية صغرى محلية هي $(3,10)$ فجد قيمة $a,b\in R$

$(3,10)$ تحقق معادلة المنحني والمشتقة عندها تساوي صفر.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x-1}\Rightarrow 10=3a+\frac{b}{3-1}\Rightarrow 10=3a+\frac{b}{2}\stackrel{(\times 2)}{⟹}20=6a+b\dots \left(1\right)\\ & f\left(x\right)=ax+b(x-1{)}^{-1}\Rightarrow f\text{'}(x)=a-b(x-1{)}^{-2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=a-\frac{b}{(x-1{)}^2}\\ & a-\frac{b}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow a-\frac{b}{(3-1{)}^2}=0\Rightarrow a-\frac{b}{4}=0\stackrel{(\times 4)}{⟹}4a-b=0\dots .\left(2\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 6a+b=20\dots \left(1\right)\\ & 4a-b=0\dots \left(2\right)\\ & 10a=20\Rightarrow a=2\\ & 4\left(2\right)-b=0\Rightarrow b=8\end{array} \end{gathered}$$