جد إن وجدت مناطق التزايد والتناقص والنقط الحرجة وقيم نقاط النهايات للدوال الآتية:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-6x\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 3x^2-6x=0]÷3\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0 , x=2\\ & \text{either }x=2\Rightarrow y=-4 \text{or }x=0\Rightarrow y=0\end{array}$

• النقط الحرجة هي $(2,-4) , (0,0)$
• النقطة $(0,0)$ نهاية عظمى محلية وقيمة النهاية العظمى المحلية تساوي $\left(0\right)$
• النقطة $(2,-4)$ نهاية صغرى محلية وقيمة النهاية الصغرى المحلية تساوي $(-4)$

1. مناطق التزايد $\{x:x>2\} , \{x:x<0\}$
2. مناطق التناقص = الفترة $(0,2)$

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد إن وجدت مناطق التزايد والتناقص والنقط الحرجة وقيم نقاط النهايات للدوال الآتية:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-6x\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 3x^2-6x=0]÷3\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0 , x=2\\ & \text{either }x=2\Rightarrow y=-4 \text{or }x=0\Rightarrow y=0\end{array}$

• النقط الحرجة هي $(2,-4) , (0,0)$
• النقطة $(0,0)$ نهاية عظمى محلية وقيمة النهاية العظمى المحلية تساوي $\left(0\right)$
• النقطة $(2,-4)$ نهاية صغرى محلية وقيمة النهاية الصغرى المحلية تساوي $(-4)$

1. مناطق التزايد $\{x:x>2\} , \{x:x<0\}$
2. مناطق التناقص = الفترة $(0,2)$

$f\left(x\right)=2x+3$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{جعل} \mathrm{يمكن} \mathrm{لا}\right))0\ne 2$

لا توجد نقط حرجة.

مناطق التزايد $\{x:\mathrm{\forall }x\in R\}$

$f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(x^2-4)2x-(x^2+1)\left(2x\right)}{{(x^2-4)}^2}=\frac{2x^3-8x-2x^3-2x}{{(x^2-4)}^2}=\frac{-10x}{{(x^2-4)}^2}\\ & \frac{-10x}{{(x^2-4)}^2}=0\Rightarrow -10x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=\frac{-1}{4}\end{array}$

النقطة الحرجة $(0,-\frac{1}{4})$ تمثل نهاية عظمي محلية.

قيمة النهاية العظمي المحلية = $-\frac{1}{4}$

مناطق التزايد:

$\{\begin{array}{c}x:x<-2\\ (-2,0) \left(\mathrm{الفترة}\right)\end{array}$

مناطق التناقص:

$\{\begin{array}{c}x:x>2\\ (0,2) \left(\mathrm{الفترة}\right)\end{array}$

(2)- إذا كانت $f\left(x\right)=3+bx+c{x}^2$ تمتلك نقطة حرجة هي $\left(1,4\right)$ جد قيمة $b\in R$ ثم بين نوع النقطة الحرجة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=3+bx+c{x}^2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=b+2cx\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{الحرجة} \mathrm{عند}\right))\\ & b+2cx=0\left(x=1 \left(\mathrm{عند}\right)\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& b+2c=0\dots \dots \left(1\right)\\ & f\left(x\right)=3+bx+c{x}^2 \left(\mathrm{المعادلة} \mathrm{تحقق} (1,4)\right)\\ & 4=3+b+c\Rightarrow b+c=1...\left(2\right)\\ & b+2c=0\dots \dots \left(1\right)\\ & \mp b\mp c=\mp 1\dots ..\left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c=-1\\ & b-1=1\Rightarrow b=2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2-2x\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)) \\ & 2-2x=0\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1\end{array} \end{gathered}$$

$\left(1,4\right)$ نهاية عظمى محلية.

(3)- إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2$ جد قيمة $a,b$ إذا علمت أن للمنحني نقطة انقلاب $(1,2)$

$(1,2)$ تحقق معادلة المنحني.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2\\ & 2=a(1{)}^3+b(1{)}^2\Rightarrow a+b=2\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=6ax+2b\left(f^{\prime \prime }\right(x)=0)(x=1 \left(\mathrm{عند}\right))\\ & 6a+2b=0]÷2\Rightarrow 3a+b=0\dots \dots \dots (2)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& a+b=2\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \mp 3a\mp b=0\dots \dots \left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -2a=2\Rightarrow a=-1 \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} a \mathrm{قيمة} \mathrm{نعوض}\right)\\ & -1+b=2\Rightarrow b=3\end{array} \end{gathered}$$

(4)- إذا علمت أن للدالة $f\left(x\right)=a{x}^3+bx$ حيث $a,b\in R$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(-1,2)$ جد قيمة $a,b$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+bx\Rightarrow f\left(x\right)=3a{x}^2+b\\ & f\text{'}(-1)=3a(-1{)}^2+b\Rightarrow 3a+b=0....\left(1\right)\end{array}$

$\mathrm{\exists }(-1,2)\because$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+bx\\ & 2=a(-1{)}^3+b(-1)\Rightarrow 2=-a-b\dots .\left(2\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 3a+b=0....\left(1\right)\\ & -a-b=2....\left(2\right) \left(\mathrm{بالجمع}\right)\\ & 2a=2\Rightarrow \therefore a=1 \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 3\left(1\right)+b=0\Rightarrow 3+b=0\Rightarrow b=-3\end{array} \end{gathered}$$