عين قيمتي الثابتين $a,b$ لكي يكون لمنحتي الدالة $y=x^3+a{x}^2+bx$ نهاية عظمى محلية عند $x=-1$ ونهاية صغرى محلية عند $x=2$ ثم جد نقطة الانقلاب.

$y=x^3+a{x}^2+bx\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=3x^2+2ax+b$

للدالة نهاية عظمى محلية عند $x=-1$ فإن $y^{\mathrm{\prime }}=0$

$\begin{array}{rl}& 0=3(-1{)}^2+2a(-1)+b\\ & 3-2a+b=0\Rightarrow -2a+b=-3....\left(1\right)\end{array}$

للدالة نهاية صغرى محلية عند $x=2$ فإن $y^{\mathrm{\prime }}=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 0=3(2{)}^2+2a(2)+b\\ & 12+4a+b=0\Rightarrow 4a+b=-12\dots \text{(2)}\\ & -2a+b=-3\text{...... (1)}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mp 4a\mp b=+12\dots ..\left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\\ & -6a=9\Rightarrow a=\frac{-9}{6}\Rightarrow a=\frac{-3}{2} \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & -2\left(\frac{-3}{2}\right)+b=-3\Rightarrow b=-6\\ & y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x\\ & y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3x-6\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }=6x-3(y^{\prime \prime }=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x-3=0\Rightarrow 6x=3\Rightarrow x=\frac{1}{2}\\ & (\frac{1}{2},\frac{-13}{4}) \left(\mathrm{هي} \mathrm{الانقلاب} \mathrm{نقطة}\right)\\ & y={\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\left(\frac{1}{2}\right)\\ & y=\frac{1}{8}-\frac{3}{8}-3=\frac{1-3-24}{8}=\frac{-26}{8}=\frac{-13}{4}\end{array} \end{gathered}$$

• الدالة $f$ مقعرة في $\{x:x>\frac{1}{2}\}$
• الدالة $f$ محدبة في $\{x:x<\frac{1}{2}\}$

إيجاد الثوابت

ملاحظات حول أسئلة الثوابت:

• إذا أعطى في السؤال نهاية عظمى أو صغرى أو نقطة حرجة، فنجد المشتقة الأولى، ونعوض النهاية فيها وتجعلها تساوي صفراً.
• إذا أعطى في السؤال نقطة انقلاب، نجد المشتقة الثانية ونعوض نقطة الانقلاب فيها وتجعلها تساوي صفراً.
• إذا أعطى في السؤال معادلة المماس تتبع ما يلي:

1. نجد ميل المماس من المشتقة الأولى عند نقطة التماس.
2. نجد ميل المماس = $\frac{x \mathrm{معامل} -}{y \mathrm{معامل} }$.
3. نساوي الميلين.

• كل زوج مرتب يعطى في السؤال يعوض في الدالة الأصلية.
• كل نهاية لم يذكر الإحداثي لها يعتبر إحداثي صادي.
• كل مستقيم یوازي محور السينات فإن ميله = صفراً.
• المنحنيات المتماسة ميلاهما متساوي.

(1)- عين قيمتي الثابتين $a,b$ لكي يكون لمنحتي الدالة $y=x^3+a{x}^2+bx$ نهاية عظمى محلية عند $x=-1$ ونهاية صغرى محلية عند $x=2$ ثم جد نقطة الانقلاب.

$y=x^3+a{x}^2+bx\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=3x^2+2ax+b$

للدالة نهاية عظمى محلية عند $x=-1$ فإن $y^{\mathrm{\prime }}=0$

$\begin{array}{rl}& 0=3(-1{)}^2+2a(-1)+b\\ & 3-2a+b=0\Rightarrow -2a+b=-3....\left(1\right)\end{array}$

للدالة نهاية صغرى محلية عند $x=2$ فإن $y^{\mathrm{\prime }}=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 0=3(2{)}^2+2a(2)+b\\ & 12+4a+b=0\Rightarrow 4a+b=-12\dots \text{(2)}\\ & -2a+b=-3\text{...... (1)}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mp 4a\mp b=+12\dots ..\left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\\ & -6a=9\Rightarrow a=\frac{-9}{6}\Rightarrow a=\frac{-3}{2} \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & -2\left(\frac{-3}{2}\right)+b=-3\Rightarrow b=-6\\ & y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x\\ & y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3x-6\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }=6x-3(y^{\prime \prime }=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x-3=0\Rightarrow 6x=3\Rightarrow x=\frac{1}{2}\\ & (\frac{1}{2},\frac{-13}{4}) \left(\mathrm{هي} \mathrm{الانقلاب} \mathrm{نقطة}\right)\\ & y={\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\left(\frac{1}{2}\right)\\ & y=\frac{1}{8}-\frac{3}{8}-3=\frac{1-3-24}{8}=\frac{-26}{8}=\frac{-13}{4}\end{array} \end{gathered}$$

• الدالة $f$ مقعرة في $\{x:x>\frac{1}{2}\}$
• الدالة $f$ محدبة في $\{x:x<\frac{1}{2}\}$

(2)- إذا كانت الدالة $f\left(x\right)=a{x}^3+3x^2+c$ نهاية عظمى محلية تساوي $8$ ونقطة الانقلاب عند $x=1$نجد قيمة $a,c\in \mathrm{R}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+3x^2+c\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3a{x}^2+6x\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=6ax+6\left(f^{\prime \prime }\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\end{array}$

نجعل للدالة نقطة انقلاب عند $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0⟸x=1$

$\begin{array}{rl}& 6ax+6=0\\ & 6a\left(1\right)+6=0\Rightarrow 6a=-6\Rightarrow a=-1\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3a{x}^2+6x\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-3x^2+6x\left(f^{\mathrm{\prime }}\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & -3x^2+6x=0]÷3\Rightarrow -x^2+2x=0]\times -1\\ & x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\\ & \left(\mathrm{إما}\right) x=0\\ & \left(\mathrm{أو}\right) x-2=0\Rightarrow x=2\end{array}$

الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية $8$ وإن النقطة $\left(2,8\right)$ نقطة نهاية عظمى محلية$y=8 , x=2$ تحقق الدالة

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-x^3+3x^2+c\\ & 8=-(2{)}^3+3(2{)}^2+c\Rightarrow 8=-8+12+c\Rightarrow c=16-12=4\end{array}$

(3)- لتكن $f\left(x\right)=x^2+\frac{a}{x}$ دالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x=1$ جد قيمة $a$ ثم بين هل أن الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2+a{x}^{-1}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2x-a{x}^{-2}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=2+2a{x}^{-3}=2+\frac{2a}{x^3}\left(f^{\prime \prime }\right(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)) , x=1\\ & 2+2a=0\Rightarrow 2a=-2\Rightarrow a=-1\\ & f\left(x\right)=x^2+\frac{a}{x}\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+\left(\frac{-1}{x}\right)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2x+\frac{1}{x^2}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0\\ & [2x+\frac{1}{x^2}=0]\cdot x^2\\ & 2x^3-1=0\Rightarrow 2x^3=-1\Rightarrow x^3=\frac{-1}{2}\Rightarrow x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=2-\frac{2}{x^3}\Rightarrow f^{\prime \prime }\left(3\sqrt{-\frac{1}{2}}\right)=2-\frac{2}{-\frac{1}{2}}=2+4=6>0\end{array} \end{gathered}$$

توجد نهاية صغرى عند $x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}$ ولا تملك نهاية عظمى محلية.

(4)- إذا كان منحني الدالة $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c$ مقعر في $\{x:x<1\}$ ومحدب في $\{x:x>1\}$ ويمس المستقيم $y+9x=28$ عند النقطة $\left(3,1\right)$ فجد قيم الأعداد الحقيقية $a,b,c$

الدالة مستمرة لأنها كثيرة حدود ومقعرة في $\{x:x<1\}$ ومحدبة في $\{x:x>1\}$

الدالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x=1$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c\\ & f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6ax+2b\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(1\right)=6a+2b(f\text{'}\text{'}(1)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6a+2b=0\dots \dots \dots \left(1\right)\end{array}$

ميل المماس للمستقيم $y+9x=28$

$y^{\mathrm{\prime }}+9=0\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=-9\therefore m=-9$

$f\text{'}\left(3\right)\therefore$ هو الميل للمماس لمنحني الدالة عند $x=3$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(3\right)=3a(3{)}^2+2b(3)=27a+6b\\ & \therefore 27a+6b=-9]÷3\\ & 9a+2b=-3\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 6a+2b=0\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \mp 9a\mp 2b=+3\dots \dots \dots \left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\\ & -3a=3\Rightarrow a=\frac{3}{-3}\Rightarrow a=-1\end{array}$

وبالتعويض عن قيمة a في المعادلة (1) نحصل على:

$6(-1)+2b=0\Rightarrow -6+2b=0\Rightarrow 2b=6\Rightarrow b=3$

$\mathrm{\exists }(3,1)\therefore$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c$

$1=(-1)(3{)}^3+3(3{)}^2+c\Rightarrow 1=-27+27+c\Rightarrow c=1$