استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية
من الممكن استخدام الطريقة الآتية لمعرفة نوع النقطة الحرجة (عظمى أو صغرى).
- نجد
- نجد قيم التي تجعل ونعوضها في فإذا كانت الإشارة بعد التعويض:
- موجبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية صغرى محلية.
- سالبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية عظمى محلية.
- تساوي صفراً فإن هذه الطريقة فاشلة في معرفة نوع النقطة الحرجة، ويعاد الاختبار بواسطة الطريقة السابقة عن طريق المشتقة الأولى.
(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:
توجد نهاية نقطة عظمى محلية عند
نقطة نهاية عظمى محلية.
نقطة نهاية عظمى محلية.
عندما
فإن
توجد نهاية عظمى محلية عند
النهاية العظمى المحلية هي
عندما
فإن
توجد نهاية صغرى محلية عند
النهاية الصغرى المحلية هي
هذه الطريقة لا تصح لذا نعود إلى ملاحظة تغير إشارة بجوار
- متزايدة في
- متناقصة في
توجد نهاية صغرى محلية وهي
ملاحظة: في حالة عدم إمكانية مساواة المشتقة الثانية بالصفر نثبت على خط الأعداد الحقيقية القيمة التي تجعل المقام يساوي صفر.
(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:
الدالة محدية في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.
الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.
(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.
مشاركة الدرس