باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

$f\left(x\right)=x-\frac{4}{x^2} , x\ne 0$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x-4x^{-2}\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+8x^{-3}\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+\frac{8}{x^3} \left(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [1+\frac{8}{x^3}=0]\times x^3\Rightarrow x^3+8=0\Rightarrow x^3=-8\Rightarrow x=-2\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+8x^{-3}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-24x^{-4}\Rightarrow \hat{f}\left(x\right)=\frac{-24}{x^4}\\ & f\text{'}\text{'}(-2)=\frac{-24}{(-2{)}^4}=\frac{-24}{16}=\frac{-3}{2}<0\\ & f(-2)=-2-\frac{4}{(-2{)}^2}=-2-1=-3\end{array}$

$(-2,-3)\therefore$ نقطة نهاية عظمى محلية.

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

من الممكن استخدام الطريقة الآتية لمعرفة نوع النقطة الحرجة (عظمى أو صغرى).

1. نجد $f\text{'}\left(x\right) , f\text{'}\text{'}\left(x\right)$
2. نجد قيم $x$ التي تجعل $f\text{'}\left(x\right)=0$ ونعوضها في $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ فإذا كانت الإشارة بعد التعويض:

• موجبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية صغرى محلية.
• سالبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية عظمى محلية.
• تساوي صفراً فإن هذه الطريقة فاشلة في معرفة نوع النقطة الحرجة، ويعاد الاختبار بواسطة الطريقة السابقة عن طريق المشتقة الأولى.

(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

$f\left(x\right)=6x-3x^2-1$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=6-6x \left(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & 6-6x=0\Rightarrow 6=6x\Rightarrow x=1\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6<0\end{array}$

توجد نهاية نقطة عظمى محلية عند $x=1$

$f\left(1\right)=6\left(1\right)-3(1{)}^2-1=2$

$(1,2)\therefore$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f\left(x\right)=x-\frac{4}{x^2} , x\ne 0$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x-4x^{-2}\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+8x^{-3}\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+\frac{8}{x^3} \left(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & [1+\frac{8}{x^3}=0]\times x^3\Rightarrow x^3+8=0\Rightarrow x^3=-8\Rightarrow x=-2\\ & f\text{'}\left(x\right)=1+8x^{-3}\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-24x^{-4}\Rightarrow \hat{f}\left(x\right)=\frac{-24}{x^4}\\ & f\text{'}\text{'}(-2)=\frac{-24}{(-2{)}^4}=\frac{-24}{16}=\frac{-3}{2}<0\\ & f(-2)=-2-\frac{4}{(-2{)}^2}=-2-1=-3\end{array}$

$(-2,-3)\therefore$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x-9(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)) \\ \begin{array}{rl}& [3x^2-6x-9=0]÷3\\ & x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=3,x=-1\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-6\end{array} \end{gathered}$$

عندما $x=-1$

فإن $f\text{'}\text{'}(-1)=-12<0 , f\text{'}(-1)=0$

توجد نهاية عظمى محلية عند $(x=-1)$

النهاية العظمى المحلية هي $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)=-1-3+9=5$

عندما $x=3$

فإن $f\text{'}\text{'}\left(3\right)=12>0 , f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=0$

توجد نهاية صغرى محلية عند $(x=3)$

النهاية الصغرى المحلية هي $f\left(3\right)=(3{)}^3-3(3{)}^2-9\left(3\right)=27-27-27=-27$

$f\left(x\right)=4-(x+1{)}^4$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=-4(x+1{)}^3(f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & -4(x+1{)}^3=0\Rightarrow (x+1{)}^3=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1 , f\text{'}(-1)=0\\ & f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-12(x+1{)}^2\Rightarrow (x+1{)}^2=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1 , f\text{'}\text{'}(-1)=0\end{array}$

$f\text{'}\text{'}(-1)=0$ هذه الطريقة لا تصح لذا نعود إلى ملاحظة تغير إشارة $f\text{'}$ بجوار $(x=-1)$

• $f$ متزايدة في $\{x:x<0\}$
• $f$ متناقصة في $\{x:x>-1\}$

توجد نهاية صغرى محلية وهي $f(-1)=4-(-1+1{)}^4=4$

ملاحظة: في حالة عدم إمكانية مساواة المشتقة الثانية بالصفر نثبت على خط الأعداد الحقيقية القيمة التي تجعل المقام يساوي صفر.

(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

$f\left(x\right)=4-(x+2{)}^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-2(x+2)\cdot \left(1\right)=-2x-4\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=-2<0\end{array}$

الدالة محدية في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

$f\left(x\right)=x^4+3x^2-3$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4x^3+6x\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2+6>0\end{array}$

الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني $f\left(x\right)=(x-2)(x+1{)}^2$ ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=(x-2)(x^2+2x+1)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(x-2)(2x+2)+(x^2+2x+1)\left(1\right)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2x^2+2x-4x-4+x^2+2x+1\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-3\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x \left(f^{\prime \prime }\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\right)\\ & 6x=0\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=(0-2)(0+1{)}^{\prime \prime }(x)=0(0,-2) \left(\mathrm{انقلاب} \mathrm{نقطة}\right)\\ & m=f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=-3\\ & (y-y_1)=m(x-x_1)\\ & (y-(-2\left)\right)=-3(x-0)\\ & y+2=-3x\Rightarrow 3x+y+2=0\end{array}$